формула линзы с учетом показателя преломления

9.4. Общая формула линзы

Формулу (6) можно положить в основу геометрической теории любых центрированных систем в параксиальных лучах. Применяя ее к первой преломляющей поверхности сложной системы, найдем положение изображения, возникающего от преломления на этой поверхности. Полученное изображение играет роль предмета для преломления на второй сферической поверхности. Положение второго промежуточного изображения, возникающего от преломления на второй сферической поверхности, можно найти с помощью той же формулы и т. д. Путем такого применения формулы (6) к каждой из преломляющих поверхностей можно найти положение окончательного изображения, даваемого всей системой.

В качестве примера рассмотрим центрированную систему, состоящую из двух сферических поверхностей, ограничивающих какой-либо прозрачный, хорошо преломляющий материал (стекло, кварц). Такая система представляет обычную линзу. Линза называется Тонкой, если ее толщина мала по сравнению с радиусами кривизны ограничивающих поверхностей. На рис. 3 для ясности линза изображена толстой, но в расчетах будем полагать, что точки О1 и О2 сливаются в точку О, которая носит название оптического центра линзы и от которой отсчитываются все расстояния.

Любой параксиальный луч, проходящий через О, практически не испытывает преломления, так как для этих лучей участки обеих поверхностей линзы можно считать параллельными, и лучи, проходя через них, не меняют направления, а лишь смещаются параллельно самим себе. Так как толщиной линзы мы пренебрегаем, то смещение это ничтожно мало и луч практически проходит без преломления, если с обеих сторон линзы находится одинаковая среда. Луч, проходящий через оптический центр, называется Осью линзы. Ось, проходящая через центры обеих поверхностей, называется Главной, остальные оси называются побочными.

Преломление на первой сферической поверхности создало бы без второй поверхности в сплошном стекле с показателем преломления N изображение в точке С, расположенной на расстоянии ОС = А, так что

, (11)

R1 — радиус кривизны первой поверхности линзы;

N1 — показатель преломления среды, в которой расположен предмет.

Для второй поверхности промежуточное изображение С будет служить предметом. Изображение такого предмета после преломления на второй поверхности, получаемое в точке S1, и будет окончательным изображением источника S, которое дает линза. Здесь опять применима формула (6), которая примет вид:

, (12)

Где R2 — радиус кривизны второй поверхности;

N2 – показатель преломления среды, в которой находится изображение.

Складывая равенства (11) и (12), получим формулу тонкой линзы:

, (13)

Где (N2 – N)/R2 + (N – N1)/R1 — оптическая сила тонкой линзы, равная сумме оптических

Сил обеих преломляющих поверхностей.

, (14)

Где (N – 1) — относительный показатель преломления.

Общая формула линзы (13) справедлива для тонких линз любой формы (двояковыпуклых, двояковогнутых и т. д.) при любом расположении предмета и соответствующем расположении фокуса. Нужно только принять во внимание знаки A1, a2, R1, R2, считая их положительными, если они отложены вправо от линзы, по ходу луча, и отрицательными, если они отложены влево от линзы (против хода луча).

Если предмет удаляется от линзы (А1 возрастает по абсолютной величине), то изображение перемещается. Положение изображения, соответствующее предельному случаю, когда источник удален в бесконечность, носит название Фокуса линзы. Фокус линзы есть точка, сопряженная бесконечно удаленной точке главной оси, или – место схождения лучей, параллельных главной оптической оси. Расстояние от линзы до фокуса есть Фокусное расстояние тонкой линзы. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оси, называется Фокальной плоскостью.

Для фокусных расстояний с использованием формулы (14) имеем следующие соотношения:

; (15)

. (16)

Если справа и слева от линзы находится одна и та же среда, то фокусные расстояния линзы равны по величине и противоположны по знаку, т. е. фокусы лежат по разные стороны от линзы.

В зависимости от знака и величины R1 и R2, а также от знака (N – 1), величина F1 может быть положительной либо отрицательной, т. е. Фокус может быть Мнимым или Действительным. То же относится и к F2, причем нетрудно видеть, что если первый фокус мнимый, то и второй тоже будет мнимым и наоборот. Если фокусы действительны, т. е. параллельные лучи после преломления сходятся, то линза называется Собирательной или Положительной. При мнимых фокусах параллельные лучи после преломления в линзе становятся расходящимися. Поэтому такие линзы называются Рассеивающими или Отрицательными.

Если материал тонкой линзы преломляет сильнее, чем окружающая среда (N > N0, N – 1 > 0), то собирательными будут линзы утолщающиеся к середине (двояковыпуклые, плосковыпуклые, вогнуто-выпуклые). К рассеивающим линзам принадлежат Двояковогнутые, плосковогнутые, выпукло—Вогнутые, т. е. линзы утончающиеся к середине. Если материал тонкой линзы преломляет меньше, чем окружающая среда, то линзы меняются свойствами.

Вводя фокусное расстояние линзы, придадим формуле линзы вид:

. (17)

Легко видеть, что изменение величины А1 приводит к изменению а2 того же знака, т. е. изображение сдвигается вдоль оси в том же направлении, что и предмет. Исключение составляет лишь точка A1 = f1, при прохождении которой изображение переходит из A2 = +¥ в A2 = –¥. На рис. 4 показано построение изображений и перемещение их в зависимости от перемещения предмета для положительной (рис. 4А) и отрицательной (рис. 4Б) тонких линз, находящихся в воздухе. Для построения выбраны лучи, ход которых заранее известен. К таким лучам относятся:

1) луч, идущий параллельно оптической оси. В пространстве изображений ему соответствует сопряженный луч, идущий через задний фокус F2;

2) наклонный луч, проходящий через передний фокус F1. Сопряженный ему луч пойдет параллельно оптической оси.

На рис. 4 показано построение изображения для семи положений предмета, заданных расстоянием А1:

Источник

1.2 Преломление света в линзе. Формула тонкой линзы

Простейший случай центрированной системы, состоящей всего из двух сферических поверхностей, отделяющих какой-либо прозрачный, хорошо преломляющий материал от окружающей среды, имеет очень большое значение. Такая система представляет собой линзу и играет важную роль во многих оптических приборах.

(2.12)

Выражение позволяет однозначно определить положение изображения, если задано положение предмета. Правая часть равенства не зависит от положения предмета и его изображения и определяется только свойствами самой оптической системы. Первая скобка (n_л – n_ср) определяет физические параметры системы, а (1/R₁ – 1/R₂) – геометрические. По аналогии с формулой сферической преломляющей поверхности, правая часть выражения (2.12) названа оптической силой тонкой линзы:

. (2.13)

Легко показать, что оптическая сила тонкой линзы по сути есть сумма оптических сил ее поверхностей. Действительно:

Линза называется собирающей (положительной), если D > 0; рассеивающей (отрицательной), если D 0, а R₂ 0, если n_л > n_ср. Таким образом, знак оптической силы линзы определяется ее геометрическими параметрами и соотношением показателей преломления сред.

Величина и знак линейного увеличения для одной и той же линзы зависят от расположения предмета. Если предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы (рис. 2.12а), то его изображение оказывается действительным, перевернутым и уменьшенным.

Если предмет находится в точке двойного фокуса, то изображение становится равным, оставаясь действительным и перевернутым (рис. 2.12б). При дальнейшем приближении предмета к линзе изображение постепенно отдаляется, увеличиваясь в размерах, а при достижении предметом передней фокальной плоскости – переносится в бесконечность (рис. 2.12в, г).

Расположение предмета между фокусом и линзой приводит к формированию мнимого, прямого, увеличенного изображения (случай увеличительного стекла или лупы, рис. 2.12д).

Отрицательная (рассеивающая) линза характеризуется существенно меньшей вариативностью формируемых изображений: при любом расположении предмета изображение получается мнимым, прямым и уменьшенным (рис. 2.12е).

Если есть оптическая система, состоящая из нескольких сложенных вместе тонких линз, находящихся в однородной среде (n_ср), то для определения фокусного расстояния такой системы можно воспользоваться выражением

, (2.16)

где D_сист определяется как сумма оптических сил каждой линзы в отдельности, рассчитанных для той среды, в которой находится сама система.

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник

Формула тонкой линзы

Г=H/h=f/d

Также из по­до­бия тре­уголь­ни­ков CFO и A’FB’ сле­ду­ет, что:

Те­перь мы можем при­рав­нять по­лу­чен­ные ра­вен­ства, про­из­во­дим неслож­ные ариф­ме­ти­че­ские вы­чис­ле­ния и по­лу­ча­ем ко­неч­ную фор­му­лу:

1/d=1/F-1/f

Дво­я­ко­во­гну­тая линза

Дво­я­ко­во­гну­тую линзу, из­го­тов­лен­ную из ма­те­ри­а­ла с ко­эф­фи­ци­ен­том пре­лом­ле­ния боль­шим 1, на­зы­ва­ют рас­се­и­ва­ю­щей. Такое на­зва­ние обу­слов­ле­но тем, что лучи, иду­щие до пре­лом­ле­ния в линзе па­рал­лель­но ее глав­ной оп­ти­че­ской оси, после пре­лом­ле­ния от­кло­ня­ют­ся от сво­е­го на­прав­ле­нию в сто­ро­ну от глав­ной оп­ти­че­ской оси, в от­ли­чие от со­би­ра­ю­щей линзы. Все утвер­жде­ния о ходе лучей в рас­се­ва­ю­щей линзе яв­ля­ют­ся ана­ло­га­ми для со­от­вет­ству­ю­щих утвер­жде­ний в со­би­ра­тель­ной линзе с той лишь раз­ни­цей, что те­перь го­во­рить стоит не о ходе самих лучей, а об их про­дол­же­ни­ях.

1. Луч, про­хо­дя­щий через оп­ти­че­ский центр, не пре­лом­ля­ет­ся

2. Луч, па­рал­лель­ный глав­ной оп­ти­че­ской оси, после пре­лом­ле­ния идет так, что его про­дол­же­ние про­хо­дит через глав­ный фокус

Луч, па­рал­лель­ный по­боч­ной оп­ти­че­ской оси, после пре­лом­ле­ния идет так, что его про­дол­же­ние про­хо­дит через по­боч­ный фокус, ко­то­рый яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­боч­ной оп­ти­че­ской оси па­рал­лель­ной лучу с фо­каль­ной плос­ко­стью

Фор­му­ла тон­кой рас­се­ва­ю­щей линзы будет иметь вид:

По­лу­чен­ная фор­му­ла яв­ля­ет­ся фор­му­лой тон­кой линзы, как мы видим, она свя­зы­ва­ет три ве­ли­чи­ны: рас­сто­я­ние от пред­ме­та до линзы, рас­сто­я­ние от изоб­ра­же­ния до линзы и фо­кус­ное рас­сто­я­ние линзы. Зная два из выше при­ве­ден­ных па­ра­мет­ров, мы с лег­ко­стью можем найти тре­тий.

Важно от­ме­тить, что в за­да­чах лишь два из этих па­ра­мет­ров могут ме­нять свое зна­че­ние, а имен­но рас­сто­я­ние от пред­ме­та до линзы и рас­сто­я­ние до изоб­ра­же­ния.

Т.о. формула тонкой линзы:

Правило знаков

Величины d, f, F могут быть как положительными, так и отрицательными. Если линза собирающая, то ее фокус действительный, и перед членом «1/|F|» ставиться знак «+». В случае рассеивающей линзы F больше 0 и в правой части формулы будет стоять отрицательная величина «-1/|F|». Перед членом «1/|f|» ставиться знак «плюс», если изображение действительное, и знак «минус» в случае мнимого изображения. Наконец, перед членом «1/|d|» ставят знак «плюс» в случае действительной светящейся точки, и «минус», если она мнимая (т.е. на линзу падает сходящийся пучок лучей, продолжения которых пересекаются в одной точке).

Источник

Формула тонкой линзы

теория по физике 🧲 оптика

Формула тонкой линзы — формула, связывающая три величины: расстояние от предмета до линзы, расстояние от изображения до линзы и фокусное расстояние линзы.

Вывод формулы

Обратимся к рисунку, который мы использовали для объяснения правила построения изображений в собирающих линзах:

Видно, что треугольники АОВ и А₁В₁О подобные (по двум углам). Следовательно:

По двум углам также являются подобными треугольники COF и FA₁B₁. Отсюда делаем вывод, что:

Линия предмета образует с частью главной оптической оси, перпендикуляром, проведенным из верхней точки к линзе, и частью самой линзы прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны:

Отсюда следует, что:

B O является расстоянием от предмета до линзы. Обозначим его за d. O B 1 является расстоянием от линзы до изображения. Обозначим его за f. O F является фокусным расстоянием линзы. Обозначим его за F. F B 1 является разностью расстояния от линзы до изображения и фокусного расстояния линзы. Поэтому это выражение мы можем записать так:

Избавимся от знаменателей и получим:

Или можно записать так:

Теперь все члены равенства поделим на произведение Ffd. В результате вычислений получим формулу тонкой линзы:

Формула тонкой линзы

Поскольку величиной, равной обратной фокусному расстоянию, является оптическая сила, формулу тонкой линзы можно записать следующим образом:

Величины d, ƒ и F могут быть как положительными, так и отрицательными. Отметим (без доказательства), что при применении формулы тонкой линзы знаки нужно ставить перед членами уравнения согласно следующим правилам.

Иногда случается, что перед величинами F, f и d знаки неизвестны. Тогда при вычислениях перед ними ставят знаки «плюс». Но если в результате вычислений фокусного расстояния или расстояния от линзы до изображения либо до источника получается отрицательная величина, то это означает, что фокус, изображение или источник мнимые.

Пример №1. Фокусное расстояние линзы равно 10 см. Найти расстояние от предмета до линзы, если расстояние от нее до изображения составляет 15 см.

Переводить в СИ единицы измерения не будем, поскольку они однородны. Так как все величины выражены в см, то и ответ будет выражен в см.

Применим формулу тонкой линзы:

Умножим выражение на 150d:

Увеличение линзы

Раньше мы уже упоминали, что изображение, полученное в линзе, может быть увеличенным или уменьшенным. Различие размеров предмета и изображения характеризуется увеличением.

Чтобы найти линейное увеличение изображения предмета в линзе, снова обратимся к первому рисунку этого параграфа. Если высота предмета АВ равна h, а высота изображения А₁В₁ равна Н, то:

Мы уже выяснили, что треугольники АОВ и ОА₁В₁ подобны. Поэтому:

Где H — высота изображения предмета, h — высота самого предмета.

Отсюда вытекает, что увеличение линзы равно:

Пример №2. Предмет имеет высоту h = 2 см. Какое фокусное расстояние F должна иметь линза, расположенная от экрана на расстоянии f = 4 м, чтобы изображение указанного предмета имело высоту H = 1 м?

Сначала применим формулы тонкой линзы:

Она необходима, чтобы выразить фокусное расстояние линзы:

Расстояние от предмета до линзы неизвестно. Но его можно выразить из формулы увеличения линзы:

Отсюда это расстояние равно:

Подставим полученное выражение в формулу фокусного расстояния линзы:

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2,5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.

Источник

Линза. Виды линз. Фокусное расстояние.

теория по физике 🧲 оптика

Мы уже познакомились с явлением преломления света на границе двух плоских сред. Но на практике особый интерес представляет явление преломления света на сферических поверхностях линз.

Линза — прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями.

Какими бывают линзы?

По форме различают следующие виды линз:

Выпуклые линзы тоже имеют разновидности:

Разновидности вогнутых линз:

Тонкая линза

Мы будем говорить о линзах, у которых толщина l = AB намного меньше радиусов сферических поверхностей этой линзы R₁ и R₂. Такие линзы называют тонкими.

Тонкая линза — линза, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами сферических поверхностей, которыми она ограничена.

Главная оптическая ось тонкой — прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы (на рисунке она соответствует прямой O₁O₂).

Оптический центр линзы — точка, расположенная в центре линзы на ее главной оптической оси (на рисунке ей соответствует точка О). При прохождении через оптический центр линзы лучи света не преломляются.

Побочная оптическая ось — любая другая прямая, проходящая через оптический центр линзы.

Изображение в линзе

Подобно плоскому зеркалу, линза создает изображения источников света. Это значит, что свет, исходящий из какой-либо точки предмета (источника), после преломления в линзе снова собирается в точку (изображение) независимо от того, какую часть линзы прошли лучи.

Оптическое изображение — картина, получаемая в результате действия оптической системы на лучи, испускаемые объектом, и воспроизводящая контуры и детали объекта.

Практическое использование изображений часто связано с изменением масштаба изображений предметов и их проектированием на поверхность (киноэкран, фотоплёнку, фотокатод и т. д.). Основой зрительного восприятия предмета является его изображение, спроектированное на сетчатку глаза.

Изображения разделяют на действительные и мнимые. Действительные изображения создаются сходящимися пучками лучей в точках их пересечения (см. рисунок а). Поместив в плоскости пересечения лучей экран или фотоплёнку, можно наблюдать на них действительное изображение.

Если лучи, выходящие из оптической системы, расходятся, но если их мысленно продолжить в противоположную сторону, они пересекутся в одной точке (см. рисунок б). Эту точку называют мнимым изображением точки-объекта. Она не соответствует пересечению реальных лучей, поэтому мнимое изображение невозможно получить на экране или зафиксировать на фотоплёнке. Однако мнимое изображение способно играть роль объекта по отношению к другой оптической системе (например, глазу или собирающей линзе), которая преобразует его в действительное.

Собирающая линза

Обычно линзы изготавливают из стекла. Все выпуклые линзы являются собирающими, поскольку они собирают лучи в одной точке. Любую из таких линз условно можно принять за совокупность стеклянных призм. В воздухе каждая призма отклоняет лучи к основанию. Все лучи, идущие через линзу, отклоняются в сторону ее главной оптической оси.

Если на линзу падают световые лучи, параллельные главной оптической оси, то при прохождении через нее они собираются на одной точке, лежащей на оптической оси. Ее называют главным фокусом линзы. У выпуклой линзы их два — второй главный фокус находится с противоположной стороны линзы. В нем будут собираться лучи, которые будут падать с обратной стороны линзы.

Главный фокус линзы обозначают буквой F.

Фокусное расстояние — расстояние от главного фокуса линзы до их оптического центра. Оно обозначается такой же букой F и измеряется в метрах (м).

В однородных средах главные фокусы собирающих линз находятся на одинаковом расстоянии от оптического центра.

Пример №1. Что произойдет с фокусным расстоянием линзы, если ее поместить в воду?

Вода — оптически более плотная среда, поэтому преломленные лучи будут располагаться ближе к перпендикуляру, восстановленному к разделу двух сред. Следовательно, фокусное расстояние увеличится. На рисунке лучам, выходящим из линзы в воздухе, соответствуют красные линии. Лучам, выходящим из линзы в воде — зеленые. Видно, что зеленые линии больше приближены к перпендикуляру, восстановленному к разделу двух сред, что соответствует закону преломления света.

Направим три узких параллельных пучка лучей от осветителя под углом к главной оптической оси собирающей линзы. Мы увидим, что пересечение лучей произойдет не в главном фокусе, а в другой точке (рисунок а). Но точки пересечения независимо от углов, образуемых этими пучками с главной оптической осью, будут располагаются в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси линзы и проходящей через главный фокус (рисунок б). Эту плоскость называют фокальной плоскостью.

Поместив светящуюся точку в фокусе линзы (или в любой точке ее фокальной плоскости), получим после преломления параллельные лучи.

Если сместить источник дальше от фокуса линзы, лучи за линзой становятся сходящимися и дают действительное изображение.

Когда же источник света находится ближе фокуса, преломленные лучи расходятся и изображение получается мнимым.

Рассеивающая линза

Вогнутые линзы обычно являются рассеивающими (лучи, выходя из них, не собираются, а рассеиваются). Это бывает если, поместить вогнутую линзу в оптически менее плотную среду по сравнению с материалом, из которого изготовлена линза. Так, стеклянная линза в воздухе является рассеивающей.

Если направить на вогнутую линзы световые лучи, являющиеся параллельными главной оптической оси, то образуется расходящийся пучок лучей. Если провести их продолжения, то они пересекутся в главном фокусе линзы. В этом случае фокус (и изображение в нем) является мнимым. Этот фокус располагается на фокусном расстоянии, равном F.

Другой мнимый фокус находится по другую сторону линзы на таком же расстоянии при условии, что среда по обе стороны линзы одинаковая.

Оптическая сила линзы

Оптическая сила линзы — величина, характеризующая преломляющую способность симметричных относительно оси линз и центрированных оптических систем, состоящих из таких линз.

Обозначается оптическая сила линзы буквой D. Единица измерения — диоптрий (дптр). Оптической силой в 1 дптр обладает линза с фокусным расстоянием 1 м.

Оптическая сила линзы равна величине, обратной ее фокусному расстоянию:

На рисунке показан ход двух лучей от точечного источника света А через тонкую линзу. Какова приблизительно оптическая сила этой линзы?

Источник