формула остроградского гаусса в векторной форме

19.08.202319.08.2023 admin 0 Comments

Формула Остроградского-Гаусса

Общая формулировка теоремы.

$\circ$ Докажем сначала формулу Остроградского Гаусса в одном важном частном случае, когда область $G$ еще и элементарна относительно всех трех координатных осей. Напомним, что область $G$ называется элементарной относительно оси $z$, если найдутся две такие непрерывные в замыкании области $\Omega \subset \boldsymbol^<2>$ функции $\varphi(x, y)$ и $\psi(x, y)$, что
$$
G = \ <(x, y, z): \varphi(x, y) Рис. 56.1

Аналогично, воспользовавшись элементарностью области относительно осей $x$ и $y$, докажем, что
$$
\iiint\limits_ \frac<\partial P> <\partial x>dx\ dy\ dz = \iint\limits_ <\partial G>P\ dy\ dz,\quad \iiint\limits_ \frac<\partial Q> <\partial y>dx\ dy\ dz = \iint\limits_ <\partial G>Q\ dz\ dx.\label
$$
Складывая равенства \eqref и \eqref, получим формулу \eqref.

Примерами областей, элементарных относительно всех трех координатных осей, являются шар, куб, симплекс (фигура, получающаяся при пересечении четырех полупространств (рис. 56.2)).

Рис. 56.2

Точки $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины симплекса, треугольники $ABC$, $ABD$, $ACD$ и $BCD$ — грани симплекса.

Дальнейшая схема последовательного расширения класса областей, для которых справедлива формула \eqref, такая же, как и при доказательстве формулы Грина на плоскости.

Будем называть область $G$ объемно односвязной, если для любой ограниченной области $\Omega$ из условия $\partial \Omega \subset G$ следует, что и $\Omega \subset G$. Для простоты будем говорить просто “односвязная область”. Формулу \eqref теперь можно обобщить на ограниченную односвязную область $G$ с кусочно гладкой границей, которая кусочно гладкой перегородкой делится на две области, $G_<1>$ и $G_<2>$, элементарные относительно всех трех координатных осей. При этом $\partial G_ <1>= \Sigma_ <1>\cup \Sigma_<3>$, $\partial G_ <2>= \Sigma_ <2>\cup \Sigma_<3>^<->$, $\partial G = \Sigma_ <1>\cup \Sigma_<2>$. Если $\partial G_<1>$ и $\partial G_<2>$ ориентированы внешними нормалями, то $\Sigma_<3>$ и $\Sigma_<3>^<->$ ориентированы противоположно (рис. 56.3).

Рис. 56.3

Складывая эти формулы и учитывая, что потоки через перегородку взаимно уничтожаются, получаем формулу \eqref для области $G$.

Далее индукцией формула \eqref распространяется на односвязные области с кусочно гладкой границей, которые при помощи $n$ непересекающихся гладких перегородок разбиваются на области, элементарные относительно всех трех координатных осей. Примером таких областей являются выпуклые многогранники, возникающие как пересечение конечного числа полупространств. Их всегда можно представить как объединение симплексов. Можно распространить формулу \eqref и на произвольные многогранники — связные множества в $\boldsymbol^<3>$, являющиеся объединением конечного числа симплексов, причем два симплекса могут пересекаться только по одной из граней и каждая грань может быть общей не более чем для двух симплексов.

Предельный переход от многогранников к произвольной односвязной области с кусочно гладкой границей требует преодоления некоторых нетривиальных технических трудностей. $\bullet$

Формула \eqref подобно формуле Грина может быть обобщена на некоторые неодносвязные области. Область с одной “дырой” будем называть двусвязной. Другими словами, двусвязная область — это область $G$ такая, что $G = G_<1>/\overline_<2>$, где $G_<1>$\ и $G_<2>$ — односвязные области и $\overline_ <2>\subset G_<1>$. Будем поверхность $\partial G_<1>$ называть внешней границей двусвязной области $G$, a $\partial G_<2>$ — внутренней границей $G$ (рис. 56.4).

Рис. 56.4

Будем каждую из поверхностей $\partial G_$ ориентировать внешними по отношению к соответствующей области $G_<1>$ или $G_<2>$ нормалями. Тогда, разрезая гладкой перегородкой область $G$ на две односвязные области, применяя к каждой из областей формулу \eqref, складывая полученные формулы и учитывая, что потоки через перегородку должны взаимно уничтожаться, получаем формулу \eqref для двусвязной области
$$
\iiint\limits_ \operatorname

\ \boldsymbol\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_<\partial G_<1>> (\boldsymbol, \boldsymbol)\ dS-\iint\limits_<\partial G_<2>> (\boldsymbol, \boldsymbol)\ dS = \iint\limits_ <\partial G>(\boldsymbol, \boldsymbol)\ dS.\label
$$
Здесь под границей $\partial G$ понимается объединение внешней и внутренней границ, ориентированных внешними по отношению к области $G$ нормалями. Формула \eqref обобщается на $n$-связную (с $n$ “дырами”) ограниченную область с кусочно гладкими границами.
Некоторые применения формулы Остроградского—Гаусса.
Формула Остроградского-Гаусса является основным инструментом, позволяющим переходить от записи законов природы в виде законов сохранения к записи в виде дифференциальных уравнений. С многочисленными примерами читатель встретится при изучении основ гидродинамики и других разделов физики. Многочисленны применения формулы Остроградского-Гаусса и в математике.
Источник
Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в векторной форме

Пусть задано векторное поле
Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:
На этот раз векторное поле порождает скалярное поле .
С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского–Гаусса можно представить в форме:
т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.
На основании формулы () можно записать:
и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0 ), имеем:
То есть есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.
то в область V втекает большее количество жидкости, чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.
Для характеристики точки можно использовать .
Если , то данная точка есть источник, если – то сток.
Заметим, что можно записать с помощью символического вектора Гамильтона

в следующем виде:
1˚ Если – постоянный вектор, то

4˚ , U – скалярная функция.
Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме
Вихревым вектором (вихрем), или ротором векторного поля

называется вектор, имеющий координаты:
Тем самым векторное поле порождает векторное поле вихря
Через символический вектор Гамильтона
вихревой вектор записывается как векторное произведение вектора на вектор поля , т. е.
Как легко видеть, выражение
стоящее под знаком поверхностного интеграла в формуле Стокса, представляет собой скалярное произведение вихря векторного поля на единичный вектор нормали к поверхности S.
Следовательно, формулу Стокса можно представить в векторной форме следующим образом:
Левая и правая части формулы () представляют, соответственно, циркуляцию векторного поля и поток его вихря. Значит, формула Стокса утверждает: циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку его вихря через поверхность S, натянутую на этот контур.
Можно определить проекцию вектора на любое направление следующим образом:
т.е. есть вектор, проекция которого на любое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки τ, перпендикулярной этому направлению , к площади этой площадки, когда размеры этой площадки стремятся к нулю.
Или другими словами: есть вектор, нормальный к поверхности, на которой плотность циркуляции достигает наибольшего значения.
Это, кроме прочего, означает и то, что вихрь поля (как и градиент, так и дивергенция) не зависит от выбора системы координат, а является характеристикой самого поля.
Отметим некоторые свойства ротора:
1˚ Если – постоянный вектор, то
2˚
3˚
4˚ Если U – скалярная функция, а – векторная, то
§4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция равна нулю, т.е. Примерами соленоидальных полей являются: поле скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и т.д.
Векторное поле называется безвихревым, если его ротор тождественно равен нулю в области определения поля:
Векторное поле называется потенциальным, если оно является полем градиентов некоторой скалярной функции φ(M), т. е. В этом случае функция φ(M) называется потенциалом поля.
Имеет место важное утверждение.
Если векторное поле непрерывно дифференцируемо в замкнутой односвязной области V, то каждое из следующих четырёх предложений равносильно любому другому из них:
ü – потенциальное поле;
ü – безвихревое поле;
ü циркуляция поля по любому замкнутому контуру, лежащему внутри области V, равна нулю;
ü криволинейный интеграл
не зависит от формы пути интегрирования.
Любой потенциал φ(М) поля очевидно, можно представить в виде:
Отметим важное свойство указанных выше специальных векторных полей.
Произвольное векторное поле всегда может быть представлено в виде суммы потенциального поля и соленоидального поля , т.е. .
Заметим, что для соленоидального поля можно определить векторный потенциал поля.
§5. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА. ГАРМОНИЧСЕКИЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим дифференциальную операцию второго порядка где U – скалярная функция. Тогда
то скалярный квадрат записывают в виде:
Подобно символическому оператору Гамильтона , можно ввести символический оператор:
называемый оператором Лапласа.
Скалярная функция φ(x; y; z) называется гармонической в некоторой области, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными удовлетворяет уравнению
Векторный анализ — раздел математики, изучающий вещественный анализ векторов в двух или более измерениях. Методы векторного анализа находят большее применение в физике и инженерии.
Векторный анализ изучает векторные поля — функции из n-мерного векторного пространства в m-мерное — и скалярные поля — функции из n-мерного векторного пространства во множество скаляров.
Многие из результатов векторного анализа рассматриваются как частные случаи результатов из дифференциальной геометрии.
Для получения основных соотношений, используемых в векторном анализе, оказывается практически важным рассмотрение криволинейных и поверхностных интегралов, и их геометрических приложений. Так, например, теорема Стокса в векторной форме приобретает совершенно новый физический смысл.
Практически полезным является и введение оператора Гамильтона, с его помощью удобно записывать векторные операции первого порядка (градиент, дивергенция, ротор), а также комбинации со скалярными и векторными функциями. Для введения дифференциальных операций второго порядка используется оператор Лапласа. Дифференциальное уравнение Лапласа играет важную роль в различных разделах математической физики.
К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Математическим ядром теории поля являются рассмотренные нами понятия градиента, потока, потенциала, дивергенции, ротора, циркуляции и др. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.
1. Березанский Ю. М., Левитан Б. М.. Функциональный анализ/ http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/117/905.htm
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для и инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1964. – 608 с.
3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1966. – 872 с.
4. Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. – М.: Высшая школа, 1967. – 240 с.
5. Кузнецов Д.С. Специальные функции. – М.: Высшая школа, 1965. – 424 с.
6. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков; Под ред. В.А. Садовничего. – 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2004. – 640 с.
7. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие поп высшей математике. Т.3. Ч.2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы. Изд. 6-е. – М.: КомКнига, 2007.
8. Магазинников Л.И. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования. Учебное пособие. – Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 1999. – 205 с.
9. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.
10. Письменный Д.Т. – Ч.2 – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006.
11. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 464 с.
12. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М.: Наука, 1969. – 800 с.
Источник