формы и виды связей в статистике

Виды и формы связей, различаемые в статистике

Понятие и виды статистической связи

Оценка значимости параметров взаимосвязи Непараметрические методы оценки связи

Эмпирическое корреляционное отношение

Парная корреляция и парная регрессия

Применение и задачи корреляционно-регрессионного анализа

Лекция 8. Изучение статистической связи

Задачи статистики состоят в выявлении связи, определении ее направления и ее измерении. Наиболее же общая задача – это прогнозирование и регулирование социально-экономических явлений на основе полученных представлений о связях между явлениями.

Статистика рассматривает экономический закон как существенную и устойчивую связь между определенными явлениями и процессами. Познавая связи, статистика познает законы. А их знание позволяет управлять общественным развитием. Основой изучения связей является качественный анализ.

(1) Факторные – те, которые влияют на изменение других процессов.

(2) Результативные – те, которые изменяются под воздействием других признаков.

Функциональная связь – такая связь, при которой значение результативного признака целиком определяется значением факторного (например, площадь круга). Она полностью сохраняет свою силу и проявляется во всех случаях наблюдения и для всех единиц наблюдения. Каждому значению факторного признака соответствует одно или несколько определенных значений результативного признака.

Для корреляционной связи характерно то, что одному и тому же значению факторного признака может соответствовать сколько угодно различных значений результативного признака. Здесь связь проявляется лишь при достаточно большом количестве наблюдений и лишь в форме средней величины.

По направлению изменений факторного и результативного признака различают связь прямую и обратную.

Прямая связь – такая связь, при которой с изменением значений факторного признака в одну сторону, в ту же сторону меняется и результативный признак.

Обратная связь – такая связь, при которой с увеличением (уменьшением) факторного признака происходит уменьшение (увеличение) результативного признака.

Такие связи также можно назвать соответственно положительными и отрицательными.

По аналитическому выражению выделяются две основные формы связи:

– прямолинейная (выражается уравнением прямой);

– криволинейная (описывается уравнениями кривых линий – гипербол, парабол, степенных функций).

Существует еще одна достаточно важная характеристика связей с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то ее принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные – множественной.

Указанные выше классификационные признаки наиболее часто встречаются в статистическом анализе. Но кроме перечисленных различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. Собственно, суть каждой из них очевидна из названия. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, которая опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь – это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.

По силе различаются слабые и сильные связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

Источник

Виды и формы связей, различаемые в статистике

Современная наука об обществе объясняет суть явлений через изучение их взаимосвязи. Например, объем валютных торгов зависит от спроса на валюту, который в свою очередь определяется состоянием экономики, активностью внешнеэкономической деятельности субъектов и др., объем продукции предприятия связан с численностью работников, стоимостью основных фондов и т.д.

Различают два типа взаимосвязей между различными явлениями и их признаками: функциональную или жестко детерминированную и статистическую или стохастически детерминированную.

Функциональная жестко детерминированная связь– это вид причинной зависимости, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно или несколько точно заданных значений результативного признака. Этот вид связи встречается чаще в естественных науках, но так же и в экономике.

Например, при простой сдельной оплате труда связь между оплатой труда y и количеством изготовленных изделий x при фиксированной расценке за одну деталь, например, 7 руб. можно выразить формулой y = 7x

Стохастическая связь – это вид причинной зависимости, проявляющейся не каждом отдельном случае, а в общем, среднем, при большом числе наблюдений.

Среди взаимосвязанных признаков одни могут рассматриваться как определенные факторы, влияющие на изменение других, а вторые как следствие, результат влияния первых. Соответственно первые, то есть признаки, влияющие на изменение других, называют факторными, а вторые – результативными. Стохастические взаимосвязи могут быть изучены различными способами. Наиболее известный из них метод изучения корреляционных связей.

Корреляционная связь между признаками может возникать различными путями. Важнейший путь – взаимосвязь вариации результативного признака с вариацией факторного признака. Обычно в этом случае говорят о взаимосвязи признаков. Например, y – урожайность сельскохозяйственной культуры, х – балл оценки плодородия почв. Либо, y – сумма налоговых поступлений в региональный бюджет, x – выручка от реализации продукции. Здесь совершенно логически ясно, какой признак выступает как независимая переменная (фактор), какой как зависимая переменная ( результат).

По направлению выделяют связь прямую и обратную(положительную и отрицательную), По аналитическому выражению линейную и нелинейную.Изучение корреляционных связей сводится в основном к решению следующих задач:

— выявление наличия (или отсутствия) связи между изучаемыми признаками;

— измерение степени тесноты связи между признаками;

— нахождение аналитического выражения связи, отражающей зависимость между х и у;

— экономическая интерпретация и практическое использование полученного результата.

В начальной стадии анализа статистических зависимостей применяются простейшие методы оценки наличия связи, её направления и характера, выявляется форма воздействия одних факторов на другие. Для этих целей применяются методы приведения параллельных данных; графический и аналитических группировок.

Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических величин. Такое сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о её характере.

Пример 1.Предположим, мы имеем данные о выпуске продукции на 6 однотипных предприятиях (х) и потреблении на них электричества (у):

Сравним изменения двух величин:

Таблица 1. Зависимость потребления электричества от объема выпуска продукции

Таблица наглядно демонстрирует, что с увеличением х возрастает и у, поэтому связь между ними считать прямой.

Графический метод используется для наглядного изображения формы связи между изучаемыми признаками. Для этого в прямоугольных осях координат строят график, по оси y, которого откладывают индивидуальные значения результативного признака, а по оси х – индивидуальные значения – факторного. Полученная совокупность точек называется полем корреляции.

График, построенный по индивидуальным значениям признаков Примера 1, указывает на то то, что связь носит приблизительно линейный характер.

Метод аналитических группировок.В теме группировка мы уже говорили, что при аналитической группировке исследуется связь между двумя и более признаками, из которых один рассматривается как результат, другой (другие) как фактор (факторы). Для установления связи между признаками данные группируются по признаку-фактору,который располагается в подлежащем аналитической таблицы.Изменения факторного признака при переходе от одной группы к другой вызывают соответствующие изменения результативного признака.

Таблица 2. Характеристика зависимости прибыли малых предприятий от оборачиваемости оборотных средств на 200__ год

Оборачиваемость в днях – фактор, обозначаемый обычно х, а прибыль – результат – y. Таблица ясно демонстрирует присутствие связи между признаками, это – обратная (отрицательная) связь.

Источник

Раздел 1. Теория статистики

Цель: сформировать представление о методах измерения стохастических связей, специфических черт, преимуществ и ограничений применения этих методов.

Задачи: представить классификацию видов и методов измерения связей, раскрыть особенности корреляционного и регрессионного методов анализа, а также непараметрических методов изучения связей.

Оглавление

5.1. Виды связей. Задачи статистики по изучению связи. Общая характеристика методов измерения связи.

В статистике для изучения взаимосвязей признаки делятся на два типа: факторные и результативные. Признаки, обусловливающие изменение других признаков, называются факторными. Признаки, зависимые от изменения факторов, называются результативными. Обусловленность явлений множеством факторов называется детерминизмом.

Связь является стохастически детерминированной, если с изменением признака-фактора результативный признак может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями. Это обусловлено тем, что зависимая переменная, кроме выделенного признака-фактора, подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов. Стохастическая причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в среднем, при большом числе наблюдений. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой с изменением признака-фактора закономерным образом изменяются средние значения результативного признака.

В статистику термин «корреляция» введен английским ученым Френсисом Гальтоном в конце XIX в. и означает соответственно «corelation». Чем теснее связь между явлениями, тем, следовательно, больше исключается действие второстепенных, случайных факторов. В результате корреляционная связь приближается к функциональной. Поэтому функциональная связь может рассматриваться как предельный случай корреляции.

В процессе статистического исследования связи между явлениями и их признаками классифицируются по направлению (прямая и обратная) и форме выражения (линейная и нелинейная).

Разнообразие связей определяет разнообразие методов их изучения. Изучению функциональных связей соответствует балансовый метод, система средних и относительных величин, система индексов.

Для характеристики стохастических связей используются методы: аналитической группировки, корреляции и регрессии. Особое место занимают методы измерения связи по неколичественным признакам (корреляция по таблицам сопряженности, ранговая корреляция).

5.2. Показатели силы и тесноты связи на основе аналитической группировки.

Методы изучения корреляционной зависимости основаны на сопоставлении вариации признаков-факторов и результативного признака. Выбор признаков-факторов и результативного признака, а также принципиальная возможность причинно-следственной зависимости устанавливаются на основе содержательного анализа. На первых этапах исследования анализ связи включает задачи определения формы и направления воздействия одних признаков на другие. Для этих целей применяются метод приведения параллельных рядов и метод аналитической группировки. Используется графическое представление данных в виде поля корреляции.

Метод приведения параллельных рядов предусматривает сопоставление значений признаков-факторов и соответствующих им значений результативного признака у каждой единицы совокупности. Аналитическая группировка обобщает исходные данные: во-первых, все единицы совокупности группируются по факторному признаку и, во-вторых, каждая группа характеризуется средними величинами результативного признака. Благодаря обобщению, более четко проявляется связь между признаками, ее направление и форма. Выводы о характере связи делают через сопоставление изменений средних значений результата по группам с переходом от одного интервала к другому по признаку фактору.

Аналитическая группировка позволяет измерить связь количественно путем расчета показателей силы и тесноты связи. Показатель силы связи характеризует, как меняется результативный признак при изменении признака-фактора на единицу. Разности между соседними групповыми средними результативного признака дают возможность определить, как меняется результат при изменении фактора на величину интервала. При группировке по равным интервалам эти разности сопоставимы. Различия в их значениях, полученных в расчете на единицу интервала, свидетельствуют о том, что с изменением уровня фактора меняется сила связи, т. е. связь признаков нелинейная. В случае линейной связи при группировке по равным интервалам важным показателем является средний для совокупности показатель силы связи.

Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного или нескольких факторов. Их построение базируется на использовании правила сложения дисперсий, когда общую дисперсию можно представить как сумму межгрупповой и внутригрупповой дисперсий. Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака-фактора на изучаемый результативный признак.

Показателями тесноты связи являются коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Коэффициент детерминации определяется как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии признака-результата. Он показывает, какая часть общей вариации признака-результата объясняется влиянием изучаемого фактора . Формула расчета:

где — общая дисперсия; – межгрупповая дисперсия.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из коэффициента детерминации. Формула расчета:

Для оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чэддока:

Если связь между признаками отсутствует, то межгрупповая дисперсия равна нулю, а, следовательно, и коэффициент корреляции равен нулю. Таким образом, чем ближе значение показателя к единице, тем сильнее связь между признаками.

5.3. Понятие о регрессии и корреляции

Задачи, решаемые методами регрессии и корреляции, непосредственно связаны между собой. В то время, ак в корреляционном анализе оценивается интенсивность, теснота связи, в регрессионном анализе исследуется ее форма. Иногда регрессию рассматривают как частный случай корреляции, считая тем самым корреляцию более широким понятием. Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями и процессами. Не каждую корреляцию можно отождествлять с причинной связью. При изучении совместного изменения явлений может быть установлена так называемая ложная корреляция. Под ложной корреляцией понимается чисто количественная сопряженность в вариации изучаемых явлений, не имеющая логического объяснения по содержанию. Причины возникновения ложной корреляции различны. К ложной корреляции может привести анализ совместной вариации признаков, которые не имеют непосредственной причинно-следственной связи, а детерминированы общей для них причиной. Ложная корреляция может возникнуть и в том случае, когда одна переменная входит в состав другой и тем самым формально обусловливает соответствие вариации этих переменных. Часто ложная корреляция возникает при изучении рядов динамики.

В зависимости от числа анализируемых переменных различают парную, множественную и частную корреляцию. Парная – то корреляция между двумя переменными, множественная- между более чем двумя переменными. Частная – то корреляция между двумя переменными при «фиксированном» влиянии остальных переменных, включенных в анализ.

При измерении тесноты связи проблема корреляции рассматривается в узком смысле. Одним из наиболее часто применяемых показателей тесноты связи является линейный коэффициент корреляции. Формула расчета:

Он является мерой линейной статистической зависимости между двумя признаками и изменяется в пределах от –1 до +1. Степень тесноты связи между переменными в случае не только линейной, но и нелинейной зависимости можно оценить с помощью теоретического корреляционного отношения. Его величина определяется как корень квадратный из соотношения факторной и общей дисперсии. Факторная дисперсия определяется на основе отклонения значений результата, рассчитанных по уравнению регрессии, от его среднего уровня.

Теоретическое корреляционное отношение может быть найдено и через отклонение от единицы доли остаточной дисперсии в общей дисперсии. В этом случае оно получило название индекса корреляции. Величина этих показателей находится в пределах от 0 до 1.

Для определения факторной и остаточной дисперсии при расчете теоретического корреляционного отношения и индекса корреляции необходимо построить уравнение регрессии.

В качестве этапов регрессионного анализа называют: обоснование формы зависимости, определение числа факторных признаков, включаемых в модель, оценку параметров, интерпретацию результатов. Функция регрессии формально устанавливает соответствие между переменными, хотя они могут не состоять в причинно-следственных отношениях. Имеется множество параллельно существующих явлений, которые вызываются общей для них причиной. Вопрос о реальном бъективном существовании связи, о наличии причинных отношений между явлениями в каждом конкретном случае решается на основе содержательного анализа, который раскрывает механизм связи.

Поскольку не каждая функция или корреляция соответствует причинной зависимости между явлениями, необходимо соблюдать основные условия и предположения при использовании этих методов анализа. Так, для эффективного изучения связи необходимо использовать совокупности единиц достаточно большого объема и однородные в отношении тех признаков, связь которых изучается.

Прямолинейная зависимость имеет место, когда с возрастанием (или убыванием) значений признака-фактора значения результативного признака увеличиваются (или уменьшается) более ли менее равномерно. Линейное уравнение парной регрессии:

где – среднее значение результативного признака при определенном значении факторного признака x;

a – свободный член уравнения регрессии;

b – коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак у при изменении факторного признака х на одну единицу его измерения. Криволинейная форма связи может выражаться различными видами функций, из которых наиболее часто используются парабола второго порядка, гипербола, показательная, степенная.

С целью проверки качества модели связи используются математические критерии адекватности, т. е соответствия модели фактическим статистическим данным. Например, рассчитывается средняя ошибка аппроксимации, которая определяется следующим образом:

Оценки неизвестных параметров уравнения регрессии находят обычно методом наименьших квадратов (МНК), который предполагает, что сумма квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических должна быть минимальной. Это условие МНК формулируется следующим образом:

Система нормальных уравнений МНК для прямой:

где – определитель системы; – частный определитель, получаемый путем замены коэффициентов при a членами правой части системы уравнений; – частный определитель, получаемый путем замены коэффициентов при b членами правой части системы уравнений.

Параметры a и b могут быть выражены следующим образом:

Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результативный признак при изменении признака-фактора на один процент.

Изучение связи между тремя и более факторами носит название множественного корреляционного и регрессионного анализа. При построении многофакторных моделей необходимо соблюдать требование возможно меньшей корреляции между объясняющими переменными (интеркорреляции факторов). В случае, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т. е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга, наблюдается явление мультиколлинеарности. В результате затруднена оценка воздействия каждого фактора в отдельности. Многофакторный анализ включает множественный и частные коэффициенты корреляции. Множественный коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между зависимой переменной и остальными переменными, входящими в модель. Для нелинейной множественной связи рассчитывают индекс корреляции. Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации. Частный коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между двумя переменными при исключении влияния третьей переменной, также учтенной в модели.

5.4. Измерение связи по неколичественным признакам: коэффициенты взаимной сопряженности, контингенции и др.

Корреляционно-регрессионный метод анализа применим только к количественным признакам. В этом случае характеристики связи основаны на вычислении основных параметров распределения (средних величин, дисперсий). Задача изучения связи атрибутивных признаков решается непараметрическими методами анализа, с помощью которых можно измерить связь между явлениями, не используя при этом количественные значения признаков, а следовательно, и параметры распределения. Непараметрические методы анализа включают показатели, которые рассчитываются на основе распределения единиц совокупности по вариантам атрибутивного признака. Распределение представлено в форме так называемых таблиц взаимной сопряженности. Сравнить проявление связей в разных совокупностях с множеством групп по обоим признакам позволяют коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона, Чупрова, Крамера. Чем ближе величина этих коэффициентов к единице, тем теснее связь.

5.5. Ранговая корреляция

Ранговая корреляция используется для количественных и качественных признаков. Для измерения связи количественных признаков ранговую корреляцию рекомендуется использовать, если имеют место ограничения для применения корреляционно-регрессионного анализа, в частности, если совокупность малого объема и если распределение существенно отличается от нормального. Методы ранговой корреляции основаны на ранжировании единиц совокупности по значению признака-фактора и определении соответствующих им рангов значений результативного признака. Ранжирование факторного и результативного признаков ведется в одинаковом направлении: если первый ранг присваивается наименьшему значению признака-фактора, то и по результативному признаку ранжирование идет от наименьшего к наибольшему значению признака. К мерам тесноты парной связи относится предложенный английским психологом Ч. Спирменом коэффициент ранговой корреляции, который имеет границы изменения от –1 до +1. Полное совпадение рангов означает максимально тесную прямую связь, полная противоположность рангов – максимально тесную обратную связь. Формула расчета коэффициента корреляции рангов Ч. Спирмена:

где n – число наблюдений;

d – разность рангов единиц совокупности по анализируемым признакам x и y.

Для определения тесноты связи между произвольным числом признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции – коэффициент конкордации.

Выводы

Задача оценки степени тесноты связи между признаками решается методами корреляционного анализа. Показатели тесноты связи дают представление о взаимодействии изучаемых факторов, а также об аппроксимации фактических данных аналитической функцией.

Если линейный коэффициент корреляции мало отличается от теоретического корреляционного отношения, то зависимость между переменными близка к линейной. Это позволяет использовать теоретическое корреляционное отношение в качестве меры линейности связи между признаками.

Задача восстановления средних значений результативного признака по заданным значениям факторного признака решается методами регрессионного анализа. Методы корреляции и регрессии относятся к категории параметрических методов, т. к. их использование предполагает вычисление основных параметров распределения (средних величин, дисперсии). Для оценки тесноты связи атрибутивных признаков используются непараметрические методы анализа (коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона, Чупрова, Крамера, ассоциации, контингенции). Коэффициенты взаимной сопряженности требуют большого объема совокупности. При малом числе наблюдений, но при достаточном числе градаций атрибутивных признаков связь между ними может быть измерена с помощью метода ранговой корреляции.

Источник