отношение это отношение между двумя предметами

ОТНОШЕНИЕ

Полезное

Смотреть что такое «ОТНОШЕНИЕ» в других словарях:

ОТНОШЕНИЕ — отношения, ср. (книжн.). 1. только ед. Действие по глаг. отнестись в 1 знач. относиться. Невнимательное отношение к делу. Хорошее отношение к детям. 2. Связь, касательство, участие. Я имею нек рое отношение к этому предприятию. 3. только мн.… … Толковый словарь Ушакова

Отношение — двумерная таблица, содержащую некоторые данные. Строки таких таблиц соответствуют записям, а столбцы атрибутам. По английски: Relation См. также: Реляционная модель данных Финансовый словарь Финам. Отношение Отношение двумерная таблица,… … Финансовый словарь

отношение — См. известие, положение, приказ в отношении, имеющий отношение, натянутые отношения. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. отношение касательство, касательство, связь; аспект … Словарь синонимов

отношение — Набор ценностей и убеждений, связанных с определенным предметом. Наши отношения это выборы, которые мы сделали. Краткий толковый психолого психиатрический словарь. Под ред. igisheva. 2008. отношение … Большая психологическая энциклопедия

отношение — ОТНОШЕНИЕ множество упорядоченных п ок индивидов (где п > 1), т.е. двоек, троек и т.д. Число п называется «местностью», или «арностью», О. и, соответственно, говорят о n местном (п арном) О. Так, например, двуместное О. называют… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

ОТНОШЕНИЕ — ОТНОШЕНИЕ, см. относить. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

отношение — ОТНОШЕНИЕ, касательство, причастность, книжн. прикосновенность, книжн. сопричастие, книжн. сопричастность … Словарь-тезаурус синонимов русской речи

отношение Eb/N0 — Показатель помехоустойчивости канала связи, равный отношению энергии сигнала, приходящейся на один бит Eb (Дж/бит) к спектральной плотности шума N0 (Вт/Гц). Отношение Eb/N0 является безразмерной величиной, в чем нетрудно убедиться, если заменить… … Справочник технического переводчика

отношение Y — Отношение между эффективностью передачи и приема пассивной цепи телефона (МСЭ Т P.10/ G.100). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN Y ratio … Справочник технического переводчика

ОТНОШЕНИЕ — ОТНОШЕНИЕ, я, ср. 1. см. отнестись и относиться. 2. Взаимная связь разных предметов, действий, явлений, касательство между кем чем н. Между двумя событиями обнаруживается определённое о. Не иметь отношения к чему н. (никак не относится). О. между … Толковый словарь Ожегова

Источник

Отношения между объектами

Урок 5. Информатика 4 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Отношения между объектами»

На прошлом занятии мы вспомнили, что объект – это общее название любого предмета, живого существа, явления, процесса, события, если мы обратили на него наше внимание. Также поговорили о том, что каждый объект имеет имена (общее, конкретное и собственное) и свойства (существенные и несущественные, общие и отличительные).

Предлагаю продолжить изучение данной темы по следующему плану.

Вспомнить, что объекты находятся в отношениях между собой и эти отношения имеют свои имена.

Научиться видеть и называть отношения, а также строить схему отношений между двумя объектами.

Все объекты взаимодействуют между собой, то есть находятся в определённых отношениях. Обычно говорят: объекты связаны отношениями.

Отношения имеют свои имена: «меньше», «больше», «дороже», «дешевле», «сильнее», «крупнее», «быстрее», «левее», «шире», «выше», «старше», «младше». Ой, приводить примеры имён отношений можно бесконечно.

Люди могут быть связаны друг с другом родственными отношениями: «брат», «сестра», «бабушка», «мать», «отец», «внучка», «сын», «дядя» и другие.

Бывают производственные отношения: «начальник», «подчинённый», «помощник», «учитель», «ученик» и так далее.

Значит, мы смело может заявлять, что все объекты связаны друг с другом разными отношениями. Обычно это не одно, а много разных отношений.

Например, вот 2 объекта: ноутбук и калькулятор. Ноутбук сложнее, крупнее, дороже калькулятора.

Отношения между объектами удобно представлять в виде схемы. Например, отношения между ноутбуком и калькулятором в виде схемы будут выглядеть вот так. Обратите внимание, в сторону какого объекта указывает стрелка.

Мы говорим, что ноутбук сложнее, крупнее, дороже чем калькулятор. Значит стрелка идёт от ноутбука к калькулятору. Если мы стрелку изобразим справа налево, то получится, что калькулятор сложнее, крупнее, дороже ноутбука. А это совсем не так. Отношения в данной схеме будут следующие:

проще, мельче, дешевле.

Думаю, здесь ничего сложного для вас нет, но потренироваться стоит.

Вот перед вами несколько объектов и отношений между ними. Изобразите эти отношения в виде схемы.

А теперь проверьте, так ли у вас получилось.

Если у вас так, эти аплодисменты вам. Идём дальше.

Все отношения между объектами делятся на симметричные и несимметричные.

В симметричных отношениях объект А находится с объектом Б в таких же отношениях, как и объект Б с объектом А.

Например, фехтовальщик слева соперник фехтовальщику справа. И наоборот, фехтовальщик справа соперник фехтовальщику слева.

Максим ровесник Наташи и Наташа ровесница Максима.

Шарик друг Денису, и Денис друг Шарику.

Обратите внимание, что в симметричных отношениях между объектами стрелка двусторонняя.

Семейные отношения между братом и сестрой, отцом и сыном, отцом и дочерью, сыном и матерью – это примеры несимметричных отношений. Только не путайте, пожалуйста, направления стрелок. Чтобы случайно у вас не получилось, что женщина – сын мальчика, а мальчик – мать этой женщины.

А вот, например, отношение «сестра» между двумя девочками, конечно симметричное.

К несимметричным отношениям ещё относится такой важный вид отношений как «часть – целое» и «целое – часть».

Например, компьютер – это целое по отношению к его части – монитору.

А вот системный блок – это часть целого – компьютера.

Солнечная система – целое по отношению к планете Земля, которая является её частью.

А планета Земля – часть Солнечной системы.

Ещё в отношениях «часть – целое» и «целое – часть» находятся, например, объекты ветка и дерево, тетрадь и лист, буква и слово, предложение и слово.

Ну, вот ребята, это всё, о чём я хотел рассказать вам сегодня по теме «Отношения между объектами».

Но чувствую, что закрепить полученные знания несколькими заданиями всё же надо.

Итак, первое задание.

Отметьте подходящие пары отношений между объектами.

Давайте проверим то, что у вас получилось.

Для объектов слева – ёлок, подходят следующие пары отношений из предложенных: выше-ниже, ближе-дальше, правее-левее, светлее-темнее.

Для объектов «неваляшки» подходят следующие пары отношений из предложенных:

веселее-грустнее, правее-левее тоже подходит, как и для предыдущей пары объектов, проще-сложнее, новее-старее.

Кстати, можете ещё подумать и придумать несколько пар отношений между изображёнными объектами.

А теперь предлагаю представить в виде схем отношения между этими объектами.

Надеюсь, у вас так получилось.

Ну а сейчас, ребята, ещё одно задание.

Перед вами таблица. В первом столбике объект номер один, в третьем – объект номер два. А во втором столбике нам необходимо вставить подходящее из этого списка отношение между объектами один и два.

Итак, что же должно было получиться.

Далматин и пекинес. Отношение «крупнее». Да, это действительно так.

Мотоцикл и велосипед. Отношение «дороже».

Окунь – плавник. Отношение «целое».

Листок – ветка. Часть.

Колесо – автомобиль – тоже отношение «часть».

Число – цифра. Отношение «целое».

И последняя пара объектов – «лимон-апельсин». Отношение «кислее».

Вот и подошла к концу наша встреча. Осталось сделать выводы и отметить главное.

Каждый объект связан с другими объектами разными отношениями.

Отношения между объектами имеют имена («больше», «дороже», «уже», «сильнее», «шире», «светлее» и так далее).

Отношения бывают разными: характеризующими вес, размер, расстояние между объектами.

Отношения бывают симметричными и несимметричными.

Важный вид несимметричных отношений – это «часть – целое» и «целое – часть».

Источник

Отношение

Отношение — это логико-философская категория, которая определяет связь между некоторой сущностью и тем, что с ней соотнесено. Понятие об отношении возникает как результат сравнения любых двух предметов (называемых субъектами или членами отношения) по выбранному (или заданному) основанию сравнения (признаку). Таким образом, отношение характеризует взаимозависимость элементов определённой системы.

Категорию отношения в философию (см. Философия) впервые ввёл Аристотель, писавший, что нечто «есть то, что оно есть», лишь «в связи с другим или находясь в каком-то ином отношении к другому» (Аристотель. Сочинения, т. 2. — М., 1978, с. 66). В этом смысле существовать для соотнесённого — значит находиться в каком-либо отношении к другому. По Аристотелю, сущность есть условие возможности отношений. При этом подразумевается, что всякое отношение соотносит сущности определённых видов (или сортов, как принято говорить в прикладной логике). Однако ещё до Аристотеля понятие отношения фактически рассматривалось другими эллинскими мыслителями, в частности Платоном. Для последнего отношение есть связь между идеями, благодаря которой они становятся доступными познанию. Начиная от Платона и Аристотеля идёт осмысление комплекса проблем, связанных с бытием отношений, и, прежде всего, вопрос об онтологическом (см. Онтология) статусе отношения — является ли отношение столь же реальным, что и объекты, в этом отношении находящиеся. Различные философские школы давали на этот вопрос разные ответы. В целом, естественно считать, что отношения между вещами столь же реальны, как и сами вещи, — в том смысле, что нет вещей вне каких-либо отношений и нет отношений, которые не связывали бы какие-либо вещи (явления, события, процессы и так далее).

В формулировках естественных языков отношения выражаются обычно сказуемыми фраз, имеющих более одного подлежащего (или подлежащее и одно или несколько дополнений). В зависимости от числа этих подлежащих (или подлежащих и дополнений) различают двухместные (бинарные), трёхместные (тернарные) и вообще n-арные отношения. С точки зрения современной логики (см. Логики неклассические) отношения рассматриваются как многоместные (многочленные) предикаты — в отличие от свойств как одноместных предикатов (см. Логика предикатов). Понятие «отношение» служит исходным для определения некоторых важных для математики и логики понятий. Теория отношений, особенно её [полу]формализованное изложение в виде так называемого исчисления отношений (см. Логика отношений), была объектом пристального внимания многих логиков. Первые её систематические изложения принадлежат О. де Моргану и Ч. С. Пирсу, наиболее полное — Э. Шрёдеру.

Содержательные представления об отношении как логической категории реализуются в точных терминах на различных уровнях абстракции и процедур формализации. Простейший подход — теоретико-множественный, когда отношение понимается как упорядоченное множество пар (для бинарного отношения), троек (для тернарного отношения), вообще n-ок предметов. Если задан упорядоченный набор (кортеж) x₁, x₂, … x_n, где x_i (i = 1, 2, … n) — переменные из некоторой предметной области или областей (из множества или множеств, на которых определены соответствующие переменные), то говорят, что между предметами, представляемыми данными переменными, существует отношение R, и записывают это как R (x₁, x₂, … x_n); при n = 2 — это бинарное отношение, обычно представляемое формулой x₁ R x₂, — наиболее простой и вместе с тем весьма важный случай отношения, иллюстрируемый, например, равенствами и неравенствами (x₁ = x₂, x₁ ≠ x₂) для чисел и выводимостями (x₁ ⇒ x₂) для высказываний. Совокупность первых элементов, входящих в какое-либо бинарное отношение x₁ R x₂, называется областью (определения) отношения R, a совокупность вторых элементов — конверсной областью этого отношения, или противообластью. Область и противообласть могут не входить, а могут и входить в одно и то же множество и даже совпадать с ним (обозначим его через M). В этом случае бинарное отношение R на множестве M оказывается подмножеством Декартова произведения M x M, коим является множество всех упорядоченных пар элементов из M. Это означает, что выполнение R для элементов x и y из M равносильно включению кортежа x, у в R.

Бинарное отношение как двухместный предикат, интерпретируемый как высказывание x₁ Rx₂ относительно индивидных переменных x₁ и x₂, обращается в истину при выполнении отношения для некоторых предметов a и b, подставляемых на места переменных x₁ и x₂. Для бинарных отношений естественно определяются операции дополнения, объединения и пересечения (аналоги соответствующих операций над классами), а также операция умножения (композиции) двух отношений — R₁ и R₂; а именно R₁ R₂ выполнено для x₁ и x₂ (то есть верно высказывание x₁ R₁ R₂ x₂), если, и только если, в множестве M существует элемент x_k, для которого верны как x₁ R₁ x_k, так и x_k R₂ x₂ (если R₁ = R₂, то данная операция порождает степень отношения R₁ и обозначается R₁ 2 ). Для каждого бинарного отношения существует обратное ему отношение R_–1, обладающее свойством x₁ R_–1 x₂ = x₂ Rx₁.

Бинарное отношение R на множестве M геометрически интерпретируемо как граф, множеством вершин которого являются элементы множества M, a отношение x₁ R x₂ изображается стрелкой (ориентированным ребром графа), которое выходит из вершины x₁ и входит в вершину x₂. Среди бинарных отношений особо важны отношения эквивалентности (типа равенства), толерантности (сходства) и порядка. Эти отношения различаются по тому, выполняются или не выполняются для них свойства рефлексивности (или антирефлексивности), симметричности и транзитивности, имеющие следующий смысл: (1) рефлексивность: для любого объекта x_i из M верно высказывание x_i R x_i, то есть всякий элемент x_i находится сам с собой в данном отношении; (2) симметричность: для любых объектов x₁ и x₂ из высказывания x₁ R x₂ следует высказывание x₂ R x₁; (3) антисимметричность: если верно, что x₁ R x₂, то обратное отношение x₂ R x₁ верно, только если R рефлексивно; (4) транзитивность: если выполнены отношения x₁ R x₂ и x₂ R x₃, то выполнено и отношение x₁ R x₃.

Рефлексивное и симметричное отношение R называется отношением толерантности (сходства) или просто толерантностью; антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка; рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности (равенства) или эквивалентностью. Эквивалентность задаёт разбиение множества M на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности), так что если для неких x₁ и x₂ верно x₁ R x₂, то x₁ и x₂ принадлежат одному и тому же классу. Отношение толерантности порождает систему классов толерантности: выполнимость x₁ R x₂ для x₁ и x₂ означает в этом случае их попадание хотя бы в один общий класс.

Важный случай составляют тернарные отношения, обладающие тем свойством, что для любых x_i и x_j существует единственный x_k, при котором x_i, x_j, x_k входит в R. Такое отношение называется (некоторой) операцией, элементы x_i и x_j — операндами, а элемент x_k — результатом операции x_k = x_i * x_j, где * есть знак данной операции. Так, операция сложения чисел соответствует отношению, выполняемому на всех тройках чисел, для которых x_k = x_i + x_j.

На заданной области M можно определить отношение и неопределённой арности, когда R состоит из кортежей разной длины. Например, если M — множество слов, то можно задать отношение ранжированности, которое, по определению, выполняется для любого набора слов, в котором они перечислены в алфавитном порядке.

Для создания так называемых реляционных баз данных полезно формальное описание связи между объектами разных сортов; в этом случае отношение R понимается как подмножество Декартова произведения, определяемого не на единственном множестве M, a на многих множествах M₁, M₂, … M_m.

Источник

Отношения. Часть I

Формальная теория моделирования использует алгебраические отношения, включая их в сигнатуры моделей алгебраических структур, которыми описывает реальные физические, технические и информационные объекты, процессы их функционирования. К числу последних я отношу, например, базы данных (реляционные базы данных (РеБД)). Не менее важной считаю область принятия решений, которая состоит из двух основных статистической и алгебраической, основанной целиком на теории отношений. Образовательный уровень специалистов в этой теории близок к нулю.

Откройте учебник по специализации и там увидите в лучшем случае об эквивалентностях, которые авторами трактуются весьма своеобразно. Одного защитившегося уже ДТН спрашиваю: Вы рассматриваете отношение эквивалентности на указывая ни носителя отношения, ни конкретного отношения, как оно у Вас выглядит в записи? Ответ: как выглядит — обыкновенно. Выясняется, что он обо всем этом имеет весьма смутное представление.

Публикаций по проектированию РеБД, кроме иностранных статей назвать затрудняюсь. В 90-х годах был оппонентом, писал отзыв на диссертацию, где рассматривались и иерархические, и сетевые, и реляционные БД. Но как-то год, полтора назад опять на отзыв пришла работа, автор пишет уже только о РеБД, о нормализации отношений БД, но теоретической новизны не показал. Во многих ВУЗах читается курс о базах данных, но не о том, как их создать, создать СУБД, а как правило, о том как эксплуатировать готовую (зарубежную) БД.

Преп. состав не готов научить специалистов IТ-шников создавать отечественные СУБД, ОS, языки программирования, я уж не говорю о БИС, СБИС, заказных БИС. Здесь, по-видимому, поезд ушел давно и надолго. Так что напрасно надуваются у некоторых щеки от гордости (читай снобизма) это видно по комментариям к чужим публикациям, покажите сами, что можете, а не балуйтесь никчемными переводами и перепевками чужого ради предмета гордости — «рейтинга» и «кармы». Сказывается не только отсутствие креатива, но простой образованности и воспитания.

Вторая предметная область неразрывно, связанная с отношениями, — принятие решений. Каждый из нас постоянно занят этим. Мы без решения осознанного или неосознанного пальцем не пошевелим. Мало кто понимает, а еще меньше пишет о решениях. В основе решения любого ЛПР (лица, принимающего решение) лежит предпочтение альтернатив. А моделью предпочтения как раз и является такой тип отношений, который назван «пространством отношений предпочтения». Но кто их изучает. Когда я пришел к «специалисту» по отношениям с вопросом о количестве отношений каждого типа, он не зная ответа, «убил» встречным вопросом, а зачем это Вам?

Понятие отношения

Думаю, что термин отношение знаком каждому читателю, но просьба дать определение поставит большинство в тупик. Причин для этого много. Они чаще всего в преподавателях, которые, если и использовали отношения в процессе преподавания, внимания на этом термине не заостряли, запоминающихся примеров, по-видимому, не приводили.

В моей памяти есть несколько на всю жизнь запомнившихся примеров. Об отображениях и об отношениях. Расскажу вначале об отображениях. Имеется два ведерка с краской. В одном белая в другом — черная. И есть коробка с кубиками (очень много). Грани имеют рельефные номера. Сколькими способами можно раскрасить грани кубиков в два цвета? Ответ неожиданный — столькими, сколько 6-разрядных двоичных чисел, или 2 6 = 64. Поясню подробнее ф: 2→6 отображаются 2 объекта в 6. Каждая строчка таблицы- дискретное отображение фi.

Построим таблицу с 6 колонками и краскам сопоставим число белая — нуль, черная — единица, а граням кубика колонки. Начинаем с того, что все 6 граней белые — это 6-мерный нулевой вектор. Вторая строчка одна грань черная, т. е. младший разряд заполнен 1. и так до исчерпания 6-разрядных двоичных чисел. Кубики ставим в общий длинный ряд. У каждого из них как бы появился номер от 0 до 63.

Теперь отображение наоборот. Пачка листов бумаги (много) и 6 красок (фломастеры).
Фломастерами разного цвета надо пометить обе стороны бумажных листов. Сколько листов потребуется. Ответ f: 6 → 2 или 6 2 =36. Речь идет о произвольных отображениях.

Получили 9 упорядоченных пар элементов из А×А, в паре первый элемент из первого сомножителя, второй — из второго. Теперь попробуем получить все подмножества из декартова квадрата А×А. Вначале простенький пример.

Подмножества будут содержать из А×А разное количество элементов (пар): одну, две, три и так до всех 9 пар, включаем в этот список и пустое множество (Ø). Сколько же получилось подмножеств? Много, а именно 2 9 = 512 элементов.

Определение. Любое подмножество декартова произведения (у нас квадрата) множества называется отношением. Заметим, в произведении используется одно и то же множество. Если множества разные, возникает не отношение, а соответствие.

Символ отношения ставится слева от элементов R(x, y) или между ними x R y; х, у є А.
Определение Множество всех подмножеств множества А называется булеаном. Наш булеан состоит из 2 |А×А| элементов, здесь|А×А| — мощность множества.

Отношения можно задавать в разном представлении над А=:

Рисунок 1.2. а)Матрица 4×4 бинарного отношения б) нумерация клеток Матрицы

Здесь используются номера клеток, заполненные единицами на рис. 1б)
— Векторное представление. Двоичный вектор для представления бинарного отношения формируется из элементов <0,1>следующим образом:

Рассмотренный пример задания отношения в векторной форме будет иметь следующий вид:

— Представление графом. Поставим в соответствие элементам множества
А = точки на плоскости, т.е. вершины графа G = [Q, R].

Проведем в графе дугу от (xi) к (xj) тогда и только тогда, когда пара (xi,xj) є R (при i = j дуга (xi,xi) превращается в петлю при вершине (xi). Пример (рис. 1а) представления бинарного отношения A[4×4] графом изображен на рис.2.2.

Рисунок 2.2. Представление отношения ориентированным графом

Каталог бинарных отношений (n = 3)

Большое видится на расстоянии. Чтобы почувствовать отношения их разнообразие, мощность мне пришлось вручную создать каталог бинарных отношений над множеством из 3-х элементов, который включил все (боле 500 отношений) отношения. После этого «дошло» или «зашло»об отношениях.

Очевидно, что в каталог войдут 2 3×3 = 2 9 отношений, и каждое из них снабдим набором присущих им свойств. Ниже (табл. 3) приводится полный список всех 512 отношений над множеством А, |A| = 3, из трех элементов. Приводятся также результаты подсчета количества отношений (табл. 2), представленных сочетаниями номеров клеток декартова квадрата 3×3, различных подклассов для различных значений мощности множества-носителя (n = 3). Для каждого отношения указаны его основные свойства и принадлежность типу (табл. 3). Сокращения, используемые в каталоге раскрываются таблицей 2
Таблица 2. Количественные характеристики каталога при разных n

Сущность производимых операций с отношениями и их технику удобно пояснять на примерах, которые особенно просты и понятны для бинарных отношений. В операциях могут участвовать, два и/или более отношений. Операции, выполняемые над отдельными отношениями – унарные операции. Например, операции обращения (получение обратного) отношения, взятие дополнения, сужение (ограничение) отношения. Как пользоваться каталогом поясним примером примером.

Пример 2. Рассмотрим строку Nпр =14 таблицы каталога. Она имеет вид

Первые 9 символов строки (справа от равенства) — это двоичный вектор, соответствующий сочетанию из 9 по 2, а именно, номер первой клетки (отсчет слева направо) номер 5-й клетки матрицы бинарного отношения, т.е. элементы а1а1= а2а2 =1. Это сочетание имеет порядковый номер Ncч = 4 и сквозной номер Nпр = 14 в списке всех отношений. В остальных позициях этой строки стоят либо нули, либо единицы. Нули свидетельствуют об отсутствии свойства, соответствующего названию колонки нуля, а единицы – наличие такого свойства у рассматриваемого отношения.

Свойства и количественные характеристики отношений

Рассмотрим наиболее важные свойства отношений, которые позволят в дальнейшем выделить типы (классы) отношений, применяющиеся в реляционных базах данных в теории выбора и принятия решений и других приложениях. Далее будем обозначать отношение символом [R,Ω]. R- имя отношения, Ω — множество-носитель отношения.

1. Рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в отношении R сам с собой (рис. 2.3). Граф рефлексивного БО имеет во всех вершинах петли (дуги), а матрица отношения содержит (Е) единичную главную диагональ.

Рисунок 2.3. Рефлексивное отношение

2. Антирефлексивность. Отношение [R,Ω] называется антирефлексивным, если ни один элемент из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.4). Антирефлексивные отношения называют строгими.

Рисунок 2.4. Антирефлексивное отношение

3. Частичная рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется частично
рефлексивным, если один или более элементов из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.5).

4. Симметричность. Отношение [R,Ω] называется симметричным, если вместе с упорядоченной парой (х, у) отношение содержит и упорядоченную пару (у, х) (рис. 2.6).

7. Транзитивность. Отношение [R,Ω] называется транзитивным, если для всяких упорядоченных пар (х, у),(у, z) є R, в отношении R найдется упорядоченная пара (х, z) є R или если R×R⊆R (рис. 2.9).

8. Цикличность. Отношение [R,Ω] называется циклическим, если для его элементов найдется подмножество элементов , для которого можно выписать последовательность xiRxi+1R. RxjRxi. Такая последовательность называется циклом или контуром (рис. 2.10).

9. Ацикличность. Отношения, в которых отсутствуют контуры называются, ациклическими. Для ациклических отношений выполняется соотношение R k ∩R = Ø для любого k > 1 (рис. 2.11).

10. Полнота (связность). Отношение [R,Ω] называется полным (связным), если для любых двух элементов (у, z) є Ω один из них находится в отношении с другим (рис 2.12). Линейность. Линейные отношения – это минимально полные отношения.

Рисунок 2.12. Линейное отношение

Итак, нами установлено, что отношения, как математические объекты, обладают определенными свойствами, определение которых приведены ранее. В следующем пункте рассмотрим существо и проявление некоторых свойств:

Количественные соотношения таких дискретных пространств представляют большой как
теоретический, так и практический интерес. Ниже рассматриваются некоторые аспекты количественных характеристик, связанных со свойствами отношений разных типов.

Операции над отношениями

Как и большинстве систем счисления с отношениями выполняются операции:

Выше было введено понятие бинарного отношения, как подмножества упорядоченных пар декартова произведения множеств, а также были рассмотрены свойства отношений. Кроме того, были упомянуты бинарные отношения и матричное представление отношений. Рассмотрим теперь понятие отношения более подробно, кроме того, рассмотрим основные операции бинарных отношений, наиболее важные из всего их множества для отношений.

Для них должны выполняться следующие условия:

Унарные операции над отношениями

9. Двойственное отношение (P d ) к отношению Р – отношение, образованное всеми теми парами, которые принадлежат универсальному отношению и не принадлежат обратному отношению (дополнение к обратному):

Двойственное и обратное отношения в совокупности содержат все пары декартова произведения A×A и не имеют общих пар, они также как и отношения Р и P образуют разбиение A×A

Сужение (РА1). Отношение [R1, A1] называется сужением отношения [R, A] на множество Ω1, если Ω1⊆ Ω и R1=R∩Ω1×Ω1. Отношение РА1 на множестве А1 ⊆ А – отношение РА1 на множестве А1, образованное всеми теми парами, которые принадлежат отношению Р и одновременно входят в состав декартова произведения А1 × А1. Другими словами, РА1 – пересечение отношений Р и А1×А1. Пусть А1 = , тогда для отношений Р и Q в матричной форме отношения сужения будут иметь вид:

Операции, требующие не менее двух отношений – n-арные (n-местные). В таких операциях могут участвовать отношения только одинаковой арности. Примеры таких операций: пересечение, объединение, разность, симметрическая разность отношений и некоторые другие. Если в операции используется более чем два отношения, то она выполняется последовательно для двух первых, а затем для итогового отношения и третьего и т.д.

Иначе говоря, эти операции определены для двух отношений. При операциях над отношениями предполагается, что области задания отношений (операндов и результата) совпадают, арности отношений совпадают, и результатом операции снова является отношение той же арности. В качестве примеров будем рассматривать операции над бинарными отношениями P и Q, заданными на дискретном множестве
А = булевыми матрицами (нули в матрицу, как правило, не вписываются):

1. Пересечение (P ∩ Q) – отношение, образованное всеми теми парами элементов из А, которые входят в оба отношения, т.е. общие для P и Q,
P ∩ Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P) & ((ai aj) є Q)>.

Матрица отношения P ∩ Q получается как булево пересечение матриц P и Q:

При отсутствии таких общих пар говорят, что пересечение отношений пусто, т.е. оно является нуль-отношением. Пересечением отношений R1 и R2 (R1∩R2 ) называется отношение, определяемое пересечением соответствующих подмножеств из А×А.

2. Объединение (PUQ). Объединением отношений R1 и R2 (R1UR2 ) называется отношение, определяемое объединением соответствующих подмножеств из А×А. Отношение, образованное всеми парами, составляющими или отношение P, или отношение Q, т.е. парами, принадлежащими хотя бы одному из отношений (связка ∨ — или объединительная)
P U Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P) ∨ ( (ai aj) є Q)>.

Если в множестве А×А нет других пар, не вошедших в отношение PUQ, а пересечение их нулевое, то говорят, что отношения P и Q при объединении образуют полное отношение А×А, а их система – разбиение этого полного отношения. Объединение матриц отношений образуется как булева сумма матриц отношений:

3.Разность (P\Q) – отношение, образованное теми парами из Р, которые не входят в отношение Q
P\Q = <(ai aj) | ((ai aj) є P)&((ai aj)∉Q)>.

Разность для отношений в матричном представлении имеет вид

4. Умножение отношений. Упорядоченные пары, образующие отношения могут содержать одинаковые элементы, а могут и не содержать. Среди пар, имеющих в своем составе одинаковые элементы, выделим такие упорядоченные пары, которые назовем смежными (примыкающими) и которые имеют во второй паре 1-й элемент, а в первой паре 2-й элемент один и тот же. Определим произведение смежных пар как упорядоченную пару:
( ai ak)∙( ak aj) => (ai aj).

В терминах теории графов сказанное означает, что смежные пары образуют маршрут из точки (ai) в точку (aj) транзитом через точку (ak), состоящий из 2-х смежных дуг. Произведение этих дуг – третья дуга из точки (ai) в точку (aj), реализующая переход между крайними точками маршрута в том же направлении, минуя промежуточную точку (ak). Говорят, что дуга (ai aj) замыкает эти точки напрямую.

5. Симметрическая разность (P∆Q) – отношение, образованное теми парами, которые входят в объединение PUQ, но не входят в пересечение P∩Q. Другая форма определения объясняет название операции: P∆Q образовано теми упорядоченными парами, которые являются объединением разностей P\Q и Q\P. Таким образом, выражение для симметрической разности записывается двумя разными способами:
P∆ Q = (PU Q)\(P ∩ Q) = (P\Q)U (Q\P).

Матрица симметрической разности имеет вид:

Из последней записи следует, что операция симметрической разности допускает перестановку операндов, т. е. коммутативна.

5. Композиция или произведение (P∙Q) – отношение, образованное всеми парами, для которых выполняется:
P∙Q = <(ai aj)|((ai ak) є P) & ((ak aj) є Q)>.

Другими словами, каждая упорядоченная пара в результирующем отношении есть результат умножения смежных пар, из которых 1-я пара принадлежит первому сомножителю-отношению, 2-я – второму сомножителю-отношению. Операция композиции не коммутативна.

Композиция (Р◦Q) на множестве М – отношение R, заданное на том же множестве М, которое содержит пару (x, y), когда существует Z є M такое, что (x, z) є P и (z, y) є Q.

При матричном представлении отношений матрица композиции отношений равна булеву произведению матриц исходных отношений:

Частный случай композиции отношений – квадрат отношения.

Можно показать, используя индукцию, что n-я степень отношения определяется рекуррентно по формуле:P n =P n-1 ◦Р, это означает, что пара (x,y) є P n в том случае, когда в матрице Р существует цепочка элементов: такая, что (xi, xi+1)є P, 1 Литература

Источник