отношение объемов треугольных пирамид с общим трехгранным углом

23.08.202323.08.2023 admin 0 Comments

Решение задачи 14. Вариант 216

На боковых ребрах EA EB EC правильной четырехугольной пирамиды
ABCDE расположены точки M N K соответственно, причем EM:EA=1:2, EN:EB=2:3, EK:EC=1:3
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M N K
б) В каком отношении плоскость MNK делит объем пирамиды?

Искомое сечение MNKP — четырехугольник.

Будем применять подобие многогранников, а именно треугольных пирамид.

Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. (у нас такое имеется)

То есть вся задача сводится к нахождению EP:PD

Сделаем выносной чертеж на треугольник AEC, чтобы найти отношение ES:SO, и позже найти отношение EP:PD

Проведем прямую MM1 параллельную AC, для того, чтобы использовать теорему Менелая.

Выразим отношение ES:SO1, MO1:MM1=1:2 (так как MM1 — средняя линия)

Рассмотрим треугольник EBD

Проведем NN1 параллельную BD и применим теорему Менелая

NO2:NN1=1:2 (та как O2-середина отрезка NN1)

Мы уже узнали, что EO=10 частей. Пусть EO=10y

\( O_<2>O=\frac<10><3>y \) (так как EN:EB=2:3, т.е O2O- треть от EO)

Все отношения мы знаем, подставляем и находим \( \fracP>=\frac<4> <3>\)

EN1=2x — по условию, значит \( EN_<1>=EP+PN_<1>=3z+4z=7z \)

Значит \( z=\frac<2x> <7>\) отсюда \( EP=\frac<6x> <7>\)

Теперь все отношения мы знаем, находим отношения объемов пирамид

\( V_=V_ \) (эти пирамиды равны одинаковые)

Источник

Отношение объемов треугольных пирамид с общим трехгранным углом

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра PA, точка K — середина ребра PB. Найдите расстояние от вершины A до плоскости CMK, если PC = 6, AB = 4.

Координатный метод решения.

Пусть O — центр основания пирамиды. Тогда PO — ее высота.

Поместим пирамиду в декартову систему координат, как показано на рисунке.

Уравнение плоскости KMC в общем виде: ax + by + cz + d = 0. Найдем a, b, c.

Вычитая из второго уравнения первое, получим: Из третьего уравнения: Подставляя найденные значения a и b в первое уравнение, найдем c. Далее:

(уравнение плоскости CMK).

Ответ:

Элементарно-геометрический метод решения.

Соединим отрезками точки: M с точками K и С.

Вычислим длину отрезка CK, который является медианой треугольника BPC.

Аналогично вычислим МС — медиану треугольника РАС.

Рассмотрим пирамиду PABC (рис.2), зеркально симметричную пирамиде PADС относительно плоскости APC. При этом объем пирамиды PABC будет равна половине объема пирамиды PABCD. То есть

Пирамиды PMKС и PABC имеют общий трехгранный угол. Следовательно, в соответствии с теоремой об отношении объемов треугольных пирамид будем иметь: Отсюда

Соединим отрезком точки А и K и рассмотрим треугольные пирамиды CPMK и CAMK с вершиной С и с общей высотой, проведенной из точки С.

Найдем площадь треугольника CMK по уже известным его трем сторонам — по формуле Герона.

Итак,

Ответ:

1. При вычислении CK и МС использована формула медианы треугольника К этой формуле можно прийти методом удвоения медианы. Если она забыта, ее можно восстановить легко и просто. И вот каким образом.

Пусть задан треугольник, стороны которого равны a, b, c. Предположим, что требуется найти длину медианы, проведенной к стороне с. Обозначим искомую длину Достроим треугольник до параллелограмма, удвоив медиану. Очевидно, одна из диагоналей параллелограмма будет с, другая а его сторонами будут стороны треугольника длиной a и b. Как известно, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то будет выполнено равенство:

Отсюда: ;

2. Строить сечение пирамиды, проходящее через точки С, M, К никакой надобности нет. Тем более доказывать, что оно содержит вершину D. В условии задачи ничего не говорится об этом сечении. Поэтому я его обошел. В данном варианте решения вычисление площади треугольника CMK по формуле Герона, когда одна из его сторон число иррациональное, никаких неудобств не доставляет.

3. Теорема об отношении объемов треугольных пирамид является логическим следствием из более общей теоремы: «Объемы двух треугольных пирамид, имеющих по равному трехгранному углу, относятся друг к другу, как произведения длин трех ребер равных трехгранных углов».

4. Рис. 1 заимствован из моего же решения данной задачи координатным методом.

Источник

Сравнение объемов многогранников

Разделы: Математика

«В задачах по элементарной геометрии приходиться пользоваться очень остроумными,
подчас тонкими приемами, и тот, кто в своей молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет».
Э. Борель

Цель урока: продолжить изучение свойств многогранников, которые можно использовать для решения задач на сравнение их объемов; показать их применение в задачах; развивать умение учащихся применять полученные знания в конкретных ситуациях.

Оборудование: модели многогранников, мультимедийная установка, компьютерный класс, карточки для решения задач.

Ход урока

После решения данных задач проводим проверку ответов, обсуждаем особенности задач.

Вопросы по задачам:

— В чем заключается прием, используемый при решении задачи № 1?

— Какое свойство пирамиды, одна из боковых граней которой перпендикулярна плоскости основания, используется в решении задачи № 2?

— Какая формула связывает площадь основания и площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при ребрах основания равны?

3. Повторение материала, изученного на прошлом уроке.

Среди стереометрических задач часто рассматриваются не только задачи на вычисление объемов, но и на сравнение объемов многогранников, на нахождение отношения объемов частей, на которые многогранник разбивается секущей плоскостью.

В планиметрии мы изучали свойства площадей треугольников, четырехугольников, например:

— отношение площадей треугольников с общим основанием равно отношению их высот;

— медиана делит треугольник на два равновеликих;

— отношение площадей треугольников, имеющих равный угол, равно отношению произведений сторон, заключающих равный угол;

— если в трапеции провести диагонали, то треугольники, прилежащие к боковым сторонам будут равновелики; а треугольники, прилежащие к основаниям, подобны.

На прошлом уроке мы рассмотрели ряд свойств многогранников, связанных с их объемами:

— объемы пирамид с равными высотами пропорциональны площадям их оснований;

— объемы пирамид с общим основанием пропорциональны проведенным к нему высотам;

— объемы тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы, относятся как произведения длин ребер, образующих эти углы;

— отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия;

— плоскость, проходящая через ребро тетраэдра и середину противоположного ребра тетраэдра, делит его на две равновеликие части.

Доказательство данных свойств можно изучить в Приложении 1 (фрагмент реферата ученицы 11 класса по теме «Сравнение объемов многогранников», раздел «Некоторые интересные свойства объемов многогранников»).

А) Какие из перечисленных свойств вы использовали при выполнении домашнего задания (2.289; 2.328, [2])? Чертежи заготовлены заранее, решение задач обсуждаем.

Б) Работая в парах на компьютерах, примените изученные свойства для решения задач № 4, 5, 6, 7, 8, дополнительно задача № 9 (Диск » Стереометрия» 1С, [7], тема «Сравнение объемов многогранников»).

После окончания работы на компьютере фронтально проверяем решения задач, вынося чертежи и условие данных задач на доску через мультимедийную установку.

В) Используя каркасные модели, устно решаем задачу: Как провести сечение тетраэдра и параллелепипеда, чтобы объем отсеченного многогранника был равен половине, четверти, девятой, восьмой части исходного объема?

Г) На листах, где решали задачи на готовых чертежах, постройте сечения так, чтобы объем отсеченного многогранника был равен половине, трети и двадцать седьмой части объема тетраэдра.

4. Изучение нового материала. При определении объемов самых разных по форме многогранников можно эффективно использовать свойства ортогонального проектирования.

Выведем формулу для вычисления объема тела, полученного при пересечении призматической поверхности двумя плоскостями. Для этого рассмотрим теорему и следствие из нее:

Покажем применение данной формулы при решении задачи:

Площадь основания АВС прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 10. Точки К, Р, М лежат на ребрах АА₁, ВВ₁,СС₁, причем АК=6. Определите объем треугольной пирамиды MAKP.

Ортогональной проекцией сечений КРМ и АРМ на плоскость АВС является треугольник АВС, площадь которого равна 10. AK= a = 6, в = с = 0, тогда объем пирамиды МАКР равен

V= * 10 = 20.

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание: 2.325; 2.330, [2]; выучить свойства многогранников, которые используются для сравнения их объемов.

Источник

Избранные разделы математики для старшей школы программа элективного курса и методические указания

Найдите объём тетраэдра, радиусы вписанной и описанной сфер, если противоположные рёбра тетраэдра попарно равны 5, 6, 7.

3. Объёмы тетраэдров, имеющих равный трёхгранный угол

И сходя из рисунка, подобия треугольников и теоремы о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол, определим отношение объёмов тетраэдров, имеющих равный трёхгранный угол Таким образом, отношение объёмов равно отношению произведений трёх рёбер, исходящих из вершины общего трёхгранного угла каждого тетраэдра.

Пример: В треугольной пирамиде ABСD на ребре AD взята точка М, а на ребре AB взята точка К так, что AМ : МD = 7 : 3, АК : КВ = 1 : 4. Сколько процентов от объёма пирамиды ABСD составляет объём пирамиды AMKС?

8. Методы решения заданий С2

Б ольшинство задач С2 в настоящее время затрагивают тему двугранного угла или угла между прямыми, прямыми и плоскостями. Рассмотрим характерные задачи на тему углов в многогранниках.

Задача 3. В половине октаэдра РАВСD точка Е – середина ребра РD, а точка М – середина ребра РС. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и DМ.

Задача 4. В правильном тетраэдре РАВС точка Е – середина ребра РВ, а точка М – середина ребра РС. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВМ.

Задача 5. В правильном тетраэдре DАВС точка Р, N, R – середины рёбер АD, АС, ВD соответственно, О – центр грани АВС. Найдите косинус угла между прямыми ОР и NR.

Самостоятельная работа №1

1. В треугольнике АВС биссектриса уг- ла А делит высоту, проведённую из

вершины В, в отношении 5 : 4, считая

от точки В. Найдите радиус окружно- сти, описанной около треугольника АВС, если ВС = 12см.

2. Найдите площадь трапеции, диагона- ли которой равны 8 см и 15 см, а средняя линия равна 8,5 см.

3. Три окружности, радиусы которых равны 2см, 3см и 10см, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

1. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13см,

ВС = 24см. Найдите, в каком отношении, считая от вершины В, биссектриса угла А делит высоту, проведённую из этой вершины.

2. Найдите площадь трапеции, диагона- ли которой равны 20 см и 21 см, а средняя линия равна 14,5 см.

3. Три окружности, радиусы которых равны 4см, 8см и 12см, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Самостоятельная работа №2

2. Найти косинус угла, образованного плоскостью с координатной плоскостью XOY.

3. АВСD – тетраэдр. А(1;-4;-1), В(0;-2;1), С(2;0;0), D(5;2;4). Найти длину проекции ребра СD на плоскость АВС.

2. Найти угол между плоскостями и

3. АВСD – тетраэдр. А(-2;0;0), В(1;2;2),

С(-2;4;2), D(2;2;4). Найти величину угла между ребром АD и высотой, опущенной из вершины D на плоскость АВС.

Методическое обеспечение раздела 3

Функции в задачах с параметрами

в курсе старшей школы и на вступительных экзаменах

За основу раздела №3 принимается сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы [2]. Ниже приведены самостоятельные работы на параметры по всем разделам алгебры старшей школы. Выполнение этих работ является необходимой подготовкой к выполнению заданий С5 в ЕГЭ.

Самостоятельная работа №1

2. Для каждого значения параметра а

найдите число решений уравнения

и имеют хотя бы один общий корень.

5. Определите, при каких значениях параметра а неравенство верно для всех

2. Для каждого значения параметра а

найдите число решений уравнения

и имеют хотя бы один общий корень.

5. Определите, при каких значениях параметра а неравенство верно для всех

Самостоятельная работа №2

имеет хотя бы одно решение.

2. При каждом значении параметра а

имеет хотя бы одно решение.

2. При каждом значении параметра а

Самостоятельная работа №3

Самостоятельная работа №4

2. Для всех значений параметра а решите уравнение:

Самостоятельная работа №5

4. При каком значении а уравнение

имеет единственное решение.

4. При каком значении а уравнение

имеет единственное решение.

Самостоятельная работа №6

имеет хотя бы одно решение.

3. Для всех значений параметра а решить неравенство:

имеет хотя бы одно решение.

Методическое обеспечение раздела 4

Подготовка к единому государственному экзамену

Источник

Отношение объемов треугольных пирамид с общим трехгранным углом

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, K.

б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?

а) Проведем через точку прямую, параллельную и В грани продлим прямую до пересечения с этой прямой в точке после чего соединим и в грани Пусть пересекает в точке Тогда — искомое сечение.

б) Продлим прямую до пересечения с в точке и прямую до пересечения с в точке откуда то есть Поскольку треугольники и равны по стороне и двум углам, то