отношение отрезков в прямоугольном треугольнике
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Разделы: Математика
Цели урока:
Тип урока: урок изучения нового материала.
План:
Ход урока
I. ОРГМОМЕНТ
– Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Все готовы к уроку?
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
– С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках? (с понятием подобия треугольников)
– Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными? (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника)
– Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников? (признаки подобия треугольников)
– Сформулируйте эти признаки (формулируют три признака подобия треугольников)
III. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА
а) подготовительный этап
– Ребята, посмотрите пожалуйста на первый слайд. (Приложение) Здесь изображены два прямоугольных треугольника – 
и 
. 
и 
– высоты 
и 
соответственно. 
.
Задание 1. а) Определите, подобны ли 
и 
.
– Что мы используем при доказательстве подобия треугольников? (признаки подобия треугольников)
– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)
– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (Две пары: 1. ∟В= ∟В1 (прямые),2. ∟A= ∟A1)
– Сделайте вывод.(по первому признаку подобия треугольников 
)
Задание 1. б) Определите, подобны ли 
и 
.
– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)
– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары (т.к. треугольники прямоугольные, то достаточно одной пары равных углов: ∟A= ∟A1)
– Сделайте вывод. (по первому признаку подобия треугольников заключаем, что данные треугольники подобны).
В результате беседы слайд 1 выглядит так:
б) открытие теоремы
Задание 2.
– Определите, подобны ли 
и 
, 
и 
. В результате беседы выстраиваются ответы, которые отражены на слайде.
– На рисунке было указано, что 
. Использовали ли мы эту градусную меру при ответах на вопросы заданий? (Нет, не использовали)
– Ребята, сделайте вывод: на какие треугольники разделяет прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла? (делают вывод)
– Возникает вопрос: а будут ли эти два прямоугольных треугольника, на которые высота разбивает прямоугольный треугольник, подобны между собой? Давайте попробуем найти пары равных углов.
В результате беседы выстраивается запись:
– А теперь давайте сделаем полный вывод.(ВЫВОД: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)
– Т.о. мы с вами сформулировали и доказали теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника.
Установим структуру теоремы и сделаем чертеж. Что в теореме дано и что нужно доказать? Учащиеся записывают в тетрадь:
– Докажем первый пункт теоремы для нового рисунка. Какой признак подобия будем использовать и почему? (Первый, т.к. в теореме ничего неизвестно о сторонах треугольников)
– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (В данном случае достаточно одной пары: ∟A-общий)
– Сделайте вывод. Треугольники подобны. В результате показывается образец оформления теоремы
– Второй и третий пункты распишите дома самостоятельно.
в) усвоение теоремы
– Итак, сформулируйте еще раз теорему (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)
– Сколько пар подобных треугольников в конструкции «в прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла» позволяет найти эта теорема? (Три пары)
Ученикам предлагается следующее задание:
IV. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ
– А теперь мы изучим с вами новое понятие.
Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) между отрезками AB и CD, если 
(записывают в тетрадь).
V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ
– Теперь обратимся к следующему слайду.
Задание 1. Найдите длину среднего пропорционального отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 16 см.
– Что дано в задаче? (Два отрезка и их длины: MN = 9 см, KP = 16 см)
– Что нужно найти? (Длину среднего пропорционального этих отрезков)
– Какой формулой выражается среднее пропорциональное и как мы его найдем?
(Подставляем данные в формулу и находим длину ср.проп.)
Задание №2. Найдите длину отрезка AB, если среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см и CD = 100 см
– Что дано в задаче? (длина отрезка CD = 100 см и среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см)
– Что нужно найти в задаче? (Длину отрезка AB)
– Как будем решать задачу? (Запишем формулу среднего пропорционального отрезков AB и СD, выразим из нее длину AB и подставим данные задачи.)
VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ
– Молодцы, ребята. А теперь давайте вернемся к подобию треугольников, доказанному нами в теореме. Сформулируйте еще раз теорему. (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)
– Давайте вначале будем использовать подобие треугольников 
и 
. Что из этого следует? (По определению подобия стороны 
пропорциональны сходственным сторонам 
)
– Какое равенство получится при использовании основного свойства пропорции? (
)
– Выразите СD и сделайте вывод (
;
.
Вывод: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)
– А теперь докажите самостоятельно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
Доказывают самостоятельно, потом проверяем на слайде
VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9», № 571(б)
– Прочитайте задачу. Что в задаче дано? (Дан прямоугольный 
)
– Что в задаче нужно найти? (Найти 
)
– Чем будет являться 
по отношению к 
и 
? (Это среднее пропорциональное по следствию из доказанной теоремы)
– Как найти 
? (
)
– Как теперь найти 
? (
найдем из 
по теореме Пифагора: 
)
– Как найдем 
? ( 
найдем из 
по теореме Пифагора: 
)
– Запишите ответ. (Ответ: 
)
VIII. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ
– Подведем итог урока. С каким свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, мы сегодня познакомились? (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)
– Какое новое математическое понятие изучили? (Понятие среднего пропорционального двух отрезков.)
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное м/у…(-… отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между…(-…гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой)
– Где мы применяем изученные утверждения? (При решении задач)
IX. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
д/з: №571, №572 (а,д), самостоятельная работа в тетради, теория.
Отношение отрезков в прямоугольном треугольнике
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
В этом уроке познакомимся с понятием «среднее геометрическое» или «среднее пропорциональное» для отрезков, выведем формулы для вычисления высоты и катетов прямоугольного треугольника через понятие среднее пропорциональное, рассмотрим задачу на применение формул.
Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
∆АВС – прямоугольный треугольник,
СD – высота, проведенная из вершины С к гипотенузе АВ.
1)Рассмотрим треугольники АВС и АСD.
∠АСВ = ∠АDС = 90°, отсюда следует, что треугольники АВС и АСD подобны по первому признаку подобия треугольников, т.е. по двум равным углам.
2)Рассмотрим треугольники АВС и СВD.
∠АСВ = ∠ВDС = 90°, то треугольники АВС и СВD тоже подобны по первому признаку подобия треугольников. А раз так, то ∠А = ∠ВСD.
3)Рассмотрим треугольники АСD и СВD.
Так как ∠АDС = ∠СDВ = 90° и ∠А = ∠ВСD, то треугольники АСD и СВD подобны по первому признаку подобия треугольников.
Что и требовалось доказать.
В геометрии в формулировках ряда утверждений и при решении отдельных задач используется понятие «среднее пропорциональное отрезков» или «среднее геометрическое».
Отрезок ХУ называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и СD, если выполняется равенство:
Исходя из доказанной выше задачи, можно выделить два утверждения.
1.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Для вывода данного утверждения воспользуемся доказанным, а именно, что:
Применяя основное свойство пропорции, получим
2.Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Также по выше доказанному в задаче:
Решим задачу, применяя данные утверждения.
Найдите катеты прямоугольного треугольника АВС, если АD = 24 см, ВD = 6 см.
Найдем гипотенузу данного прямоугольного треугольника:
Теперь воспользуемся равенством второго утверждения:
Для вычисления второго катета воспользуемся теоремой Пифагора:
или равенством все того же второго утверждения:
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Вы будете перенаправлены на Автор24
Признак подобия прямоугольных треугольников
Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников.
Признак подобия прямоугольных треугольников: два прямоугольных треугольника подобны тогда, когда у них есть по одному равному острому углу (рис. 1).
Рисунок 1. Подобные прямоугольные треугольники
Доказательство.
Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Доказательство.
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2
\[\angle A=<90>^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=<90>^0-\angle ACD=\angle A\]
Готовые работы на аналогичную тему
Среднее пропорциональное
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.
Доказательство.
В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.
Доказательство.
В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.
Примеры задач на использование пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике
Решение.
Изобразим условие на рисунке:
По теореме 4, с одной стороны, получим
А с другой стороны, получим
\[\frac<4><9>BD+BD=39\] \[13BD=39\cdot 9\] \[BD=27\] \[\ AD=12\]
«Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Важное свойство. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Доказательство:
Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Доказательство:
Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла. Доказательство:
Решение задачи Решение: СН – высота, проведённая из вершины прямого угла, значит, Ответ: 900; 900; 1200; 600.
B C А D Задача 1. 18 2 6 Найдите неизвестные линейные элементы прямоугольного треугольника АВС.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-251301
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Кабмин утвердил список вузов, в которых можно получить второе высшее образование бесплатно
Время чтения: 2 минуты
Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ
Время чтения: 1 минута
В Ульяновской области продлили школьные каникулы
Время чтения: 1 минута
Школьники Свердловской области с 8 ноября перейдут на дистанционку
Время чтения: 0 минут
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Технопарк универсальных педагогических компетенций откроют в Чечне
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.