отношение порядка на множестве рациональных чисел

Отношение порядка на множестве рациональных чисел

Пусть R — бинарное отношение на множестве А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка на А или порядком на А, если оно транзитивно и антисимметрично.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение порядка R на множестве А называется нестрогим, если оно рефлексивно на А, т. е. для всякого из А.

Отношение порядка R называют строгим (на А), если оно антирефлексивно на А, т. е. для любого из А. Однако из антирефлексивности транзитивного отношения R следует его антисимметричность. Поэтому можно дать следующее эквивалентное определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение R на множестве А называется строгим порядком на А, если оно транзитивно и антирефлексивно на А.

Примеры. 1. Пусть — множество всех подмножеств множества М. Отношение включения на множестве есть отношение нестрогого порядка.

2. Отношения на множестве действительных чисел являются соответственно отношением строгого и нестрогого порядка.

3. Отношение делимости во множестве натуральных чисел есть отношение нестрогого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением предпорядка или предпорядком на А, если оно рефлексивно на и транзитивно.

Примеры. 1. Отношение делимости во множестве целых чисел не является порядком. Однако оно рефлексивно и транзитивно, значит является предпорядком.

2. Отношение логического следования является предпорядком на множестве формул логики высказываний.

Линейный порядок. Важным частным случаем порядка является линейный порядок.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение порядка на множестве называется отношением линейного порядка или линейным порядком на , если оно связанно на , т. е. для любых х, у из А

Отношение порядка, не являющееся линейным, обычно называют отношением частичного порядка или частичным порядком.

Примеры. 1. Отношение «меньше» на множестве действительных чисел есть отношение линейного порядка.

2. Отношение порядка, принятое в словарях русского языка, называется лексикографическим. Лексикографический порядок на множестве слов русского языка есть линейный порядок.

3. Отношение включения на совокупности подмножеств данного множества М является частичным порядком, если М содержит не менее двух различных элементов.

Одно и то же множество можно линейно упорядочить различными отношениями порядка. Так, например, на непустом конечном множестве М, состоящем из элементов, можно ввести различных линейных порядков.

Источник

Отношение порядка на множестве рациональных чисел

Элементарное представление о действительных числах дается в курсе средней школы. Однако этого представления недостаточно для строгого и последовательного построения понятия предела и бесконечно малой величины.

и действия сложения и умножения над ними.

Множество всех рациональных чисел относительно так введенных операций сложения и умножения и отношения порядка обладает следующими фундаментальными свойствами.

Имеет место одно и только одно соотношение для двух чисел:

Эти свойства можно доказать, исходя из определения рациональных чисел и операций над ними.

Следовательно, существуют несоизмеримые отрезки, и поэтому не всем точкам числовой оси можно поставить в соответствие рациональные числа.

Этот геометрический факт существования несоизмеримых отрезков может быть выражен в виде алгебраической задачи: уравнение не имеет решения в области рациональных чисел.

Необходимо расширение множества рациональных чисел с сохранением операций и всех свойств I-IV, перечисленных выше, так, чтобы существовало взаимно-однозначное соответствие между точками числовой оси и этими новыми числами.

Множество всех таких бесконечных десятичных дробей обозначим (для удобства исключим из рассмотрения бесконечные десятичные дроби с 9 в периоде).

Задача 2.3.1. Проверьте делением столбиком, что

Таким образом, все рациональные числа содержатся среди бесконечных десятичных дробей как периодические бесконечные десятичные дроби.

Пример 2.3.1. Число как непериодическая бесконечная десятичная дробь есть число иррациональное.

Сравнительно просто определять в отношение равенства и порядка («больше»). Рассмотрим два действительных числа

Пример 2.4.1. Приведем несколько примеров числовых последовательностей:

Если теперь взять номер (построенный в пункте 1), получим

Рассмотрим положительные действительные числа

Остальные арифметические операции определяются в аналогично.

Можно доказать, что арифметические операции с рациональными числами, как дробями и как периодическими десятичными дробями, описанными выше, приводят к одному результату. Таким образом, множество рациональных чисел расширено до множества действительных чисел с сохранением арифметических операций.

Геометрически модуль числа означает расстояние от числа до нуля. Соответственно, означает расстояние от точки до точки на числовой прямой (см. рис. 2.6.1).

Доказательство. Докажем свойство 2. Возможны несколько различных случаев расположения чисел и относительно нуля:

Остальные случаи разбираются аналогично.

Источник

Числа. Рациональные числа.

Какие числа рациональные? Рациональные числа (в отличии от иррациональных)– это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:

Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n, где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3.

Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.

Поэтому число «Пи» (π = 3,14. ), основание натурального логарифма, e (e = 2,718..) или √2 НЕ являются рациональными числами.

Рациональные числа, примеры:

Множество рациональных чисел.

Множество рациональных чисел обозначают и его можно записать вот так:

Кроме того, одну дробь можно записать разными способами и видами, но значение ее не потеряется. Например, 3/4 и 9/12, (любая дробь, которую можно получить из другой дроби (и наоборот) умножая их либо деля числитель и знаменатель на одинаковое натуральное число, являются одним и тем же рациональным числом). Так как делением числителя и знаменателя дроби на НОД, можем получить единственное представление рационального числа, которое нельзя сократить, то можем говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Использование рациональных чисел в реальной жизни.

В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например, тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Свойства рациональных чисел.

Основные свойства рациональных чисел.

Правило суммирования выглядит так:

3. Операция умножения. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения, оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c. Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b), а процесс нахождения этого числа называют умножение.

4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.

5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.

6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.

7. Наличие нуля. Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.

8. Наличие противоположных чисел. У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.

9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.

10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.

11. Наличие единицы. Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.

12. Наличие обратных чисел. Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:

14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.

15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.

16. Аксиома Архимеда. Каким бы ни было рациональное число a, легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a.

Источник

Курс лекций по математике. Учебнометодический комплекс по дисциплине Конспект лекций (на правах рукописи) Абакан

Определение. Если положительное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b — дробью , то их произведением называется число аb, которое представляется дробью .

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соот­ветствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.

Определение. Пусть а и b — положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.

2. Если рациональные числа а и b представлены дробями и , (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а 96. Множество положительных рациональных чисел как расширение

множества натуральных чисел
Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел явля­юсь расширением множества N натуральных чисел, необходимо вы­полнение ряда условий.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным числом m. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке Х точно mп раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом m, и положительным рациональным числом . Но это

должно п быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида являются записями натурального числа m.

Следовательно, N Ì Q+.

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: 6/1 12/2, 18/3 24/4, 30/5 и т.д.

Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 129.

Рисунок 129.
Числа, которые дополняют множество на­туральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби — можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа m и n и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

m : n =: = = .

Обратно, если дана дробь , то ее можно рассматривать как част­ое натуральных чисел m и n:

==:=m : n.

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде на­турального числа, либо в виде смешанной дроби.

1. Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними.

2. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные.

3. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби.

4. Преобразование периодических десятичных дробей в обыкновенные.
97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
В практической деятельности широко используются дроби, знаме­натели которых являются степенями 10. Их называют десятичными.

Десятичные дроби принято записывать без знаменателя. Например, дробь — записывают в виде 3,67, а дробь в виде 0,007.

m = a ∙ 10 + a∙10 + …+ a∙10 + a₀.

Тогда, по правилам действий над степенями при n 4,623, так как 4,623 = 4,62300, а 4,62517 > 4,62300, так как 462517 > 462300.

Как известно, для дробей, имеющих одинаковые знаменатели, сложение и вычитание сводится к соответствующим операциям над их числителями. Это позволяет свести сложение и вычитание десятичных дробей к действиям над натуральными числами.

2,54 + 3,7126 = 2,5400 + 3,7126 = 6,2526.

Умножение и деление десятичных дробей не требует приведения их к общему знаменателю, но они также сводятся к соответствую­щим действиям над натуральными числами.

Среди десятичных дробей выделяют и часто используют дробь 0,01. Ее называют процентом и обозначают 1%. Запись р% обозначает.

Простота сравнения и выполнения действий над десятичными дробями приводит к следующему вопросу: любую ли дробь вида

(m, nÎN) можно записать в виде конечной десятичной дроби, т.е. дроби, у которой после запятой стоит конечное число цифр? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы несократимая дробь была равна десятичной, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаме­нателя и на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.

Так, например, дробь можно записать в виде десятичной: она 80

1. Запишите числа 1234 \ 10, 6969 \ 10, 37 \ 10 в виде десятичных.

2. Запишите числа 7,11; 0,45; 13,745 в виде несократимых обыкновенных дробей.

3. Какими будут численные значения следующих величин, если в качестве единицы длины взять 1 м:

а) 23 см 2 мм; в) 90 дм 16 см 8 мм;

б) 5 м 17 дм; г) 1км 120 м?

4. Выразите в килограммах:

а) 1,52 т; б) 0,38 т; в) 13,6 г; г) 426,5г.

5. Выразите в квадратных сантиметрах:

а) 3,548 дм²; б) 3,9 м²; в) 635 мм².

6. Сформулируйте правила сложения и вычитания десятичных дробей; выполните действия:

а) 8,23 + 3,568; 6) 7,395-6,27;

в) 12,364+17,729; г) 15,36-9,68.

7. Сформулируйте правило умножения двух десятичных дробей и объясните, почему в произведении запятой отделяют столько послед­них цифр, сколько их отделено в первом и втором множителях вместе.

8. Сформулируйте правило деления десятичных дробей; проиллюстрируйте его на примере деления числа 4,62 на 0,2.

9. Расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км. Скорость света 300 тыс. км/с. За сколько минут луч Солнца достигнет Земли?

10. Вычислите наиболее простым способом:

11. Не выполняя вычислений, сравните следующие произведения:

а) 19,91∙199,2 и 1,991∙1992:

б) 1,992∙199,3 и 1,992∙1993.

12. Что больше: 35% от 40 или 40% от 35?

13. Увеличьте число:

а) 60 на 10%; б) 80 на 2,5%.

14. Число х увеличили на 45%. Во сколько раз увеличили число?

15. Число х увеличили в 2,4 раза. На сколько процентов увеличили
число?

16. Туристы прошли 75% маршрута и им осталось пройти еще 5,5 км.
Какова длина маршрута?

17. Какие из следующих чисел можно записать в виде конечных десятичных дробей:

а) 7\352; б) 12\56; в) 21\75; г) 12\96.

18. Следующие обыкновенные дроби запишите в виде десятичных:

а) 4\35 б) 7\24 в)123\82 г)48\15.

19. Решите задачи арифметическим методом.

а) Турист прошел в первый день 3\8 всего маршрута, во второй день 40% остатка, после чего ему осталось пройти на 6,5 км больше, чем он прошел во второй день? Какова длина маршрута?

б) На уборке улицы работают две машины. Первая из них может убрать всю улицу за 40 мин, второй для этого требуется 75% времени первой. Обе машины начали работу одновременно. После совместной работы в течение 0,25 часа вторая машина прекратила работу. За сколько времени после этого первая машина закончила уборку улицы?

20.Известно, что любое положительное рациональное число можно изобразить точкой на координатном луче. Исчерпывают ли точки с по­ложительными рациональными координатами весь координатный луч?
Лекция 51. Действительные числа

1. Понятие иррационального числа. Бесконечные десятичные непериодические дроби. Множество действительных чисел.

2. Арифметические действия над действительными числами. Законы сложения и умножения.

3. Расширение действительных положительных чисел до множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.

4. Приближенные числа. Правила округления действительных чисел и действия с приближенными числами. Вычисления с помощью микрокалькулятора.

5. Основные выводы
98. Действительные числа

При изучении материала данного параграфа мы уточнили многие известные из школьного курса математики понятия, связав их с изме­рением длины отрезка. Это такие понятия, как:

дробь (правильная и неправильная);

положительное рациональное число;

бесконечная периодическая десятичная дробь;

бесконечная непериодическая десятичная дробь;

Мы выяснили, что отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и воспользовались этим, определяя понятие положи­тельного рационального числа. Выяснили также, как связано с изме­рением длин отрезков сложение и умножение положительных рацио­нальных чисел и получили формулы для нахождения их суммы и произведения.

Определение отношения «меньше» на множестве Q+ позволило назвать его основные свойства: оно упорядоченное, плотное, в нем нет наименьшего и наибольшего числа.

Мы доказали, что множество Q+ положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его считать расширением множества N натуральных чисел.

Введя десятичные дроби, мы доказали, что любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Бесконечные непериодические дроби считают записями иррациональных чисел.

Если объединить множества положительных рациональных и иррациональных чисел, то получаем множество положительных действительных чисел: Q+ ∪ J + = R+.

Если к положительным действительным числам присоединить отрицательные действительные числа и нуль, то получаем множество R всех действительных чисел.

Источник