отношение рода и вида связывают понятия

Некоторые особенности родовидовых отношений между понятиями

2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Например, для понятия «квадрате родовыми являются по­нятия «прямоугольник», «ромб», «четырехугольник», «многоуголь­ник», «геометрическая фигура».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например: квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.

4) Если два понятия находятся в отношении рода и вида, то между их объемами и содержаниями существует взаимосвязь: если объем больше, то содержание меньше, и наоборот. Например, объем понятия «прямоугольник» больше, чем объем понятия «квадрат», так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «прямоугольник» меньше, чем содер­жание понятия «квадрат», так как квадрат обладает всеми свойства­ми прямоугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

Задание 2

Назовите, какие из перечисленных понятий находятся в отношении рода и вида: круг, ломаная, треугольник, отрезок, многоугольник, радиус, окружность.

Определение понятий

Для распознавания объекта необязательно проверять у него существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим полются, когда понятию дают определение.

Определение понятия позволяет отличать определяемые проекты от других объектов. Так, например, определение понятий «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от др: треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5).

Явные определения имеют форму равенства двух понятий. С из них называют определяемым, другое — определяющим.

Самый распространенный вид явных определений — это о деление через род и видовое отличие. Приведенное выше определение прямоугольного треугольника относится к таким определяем. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем птиц, является ближайшим родовым понятием по отношению понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь пругол» позволяет из всех треугольников выделить один из вид прямоугольный треугольник.

Видовое отличие — существенное свойство, которое отличае видовое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изобра; схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить ощления понятий не только в математике, но и в других науках.

Источник

Отношение рода и вида между понятиями

Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В–третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:

1) а – «прямоугольник», b- «ромб»;

Объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого. Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.

2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;

Объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид.

Замечание.Если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого.

Например, отрезок не обладает такими свойствами прямой, как ее бесконечность.

3. Определение понятий

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».

Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их подробнее.

Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части – определяющему понятию. В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Определение. Видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

+

Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во–первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а, определяющее буквой b, родовое понятие (по отношению к определяемому) – буквой с, а видовое отличие – буквой Р, то определение через род и видовое отличие можно представить так:

а

Почему видовое отличие обозначено заглавной буквой, мы узнаем позже.

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р: А= < х | хÎ С и Р (х)>.

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой – либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные.

Требования к определению понятий

Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Соразмерны, например, понятия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающие прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.

В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.

Это означает, чтонельзя определять понятие через само себя (в определении не должно содержатся определяемого термина) или определять его через другое понятие, которое определяется через него.

Возьмем такие понятия начальной математики, как “умножение” и “произведение”, и дадим им следующие определения:

Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.

Произведением чисел называется результат их умножения.

Видим, что умножение определяется через понятие произведение, а произведение – через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.

Порочный круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.

Определение должно быть ясным.

Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.

К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедится в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно показать, что включенное в определение свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное. Следовательно, правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».

Замечание. Чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выделены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простаты изложения это правило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат – это когда все стороны равны».

К сказанному следует добавить, что, формулируя определение, надо стремиться в определяющем указать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее.Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например, если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие – прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.

Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого есть прямой угол;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большего числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются, например, два различных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

Примеров явных родо-видовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.

5. Неявные определения

При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используются редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями детей. Но понятий в начальном курсе математики очень много – об этом мы говорили в начале лекции. Как же их определяют?

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявныеопределения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее.

В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивныеопределения.

Или, примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенного в учебнике математики для 3 класса. Здесь после записи ð + 6= 15 и перечня чисел 0,5,9,10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс):

Х + 6 = 15 – это уравнение.

Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9+6=15.

Объясни, почему числа 0; 5 и 10 не подходят».

Из приведенного текста следует, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения – это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Они используются также для введения терминов путем показа объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредством показа не выделяет понятие из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.

Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение».

Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими.

К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень.

Например, «Натуральный ряд чисел — это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.».

Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин.

Например, единицы времени год, месяц, час, минута.

Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языкомв виде равенства, например, а ×1 = а, а × 0 = 0

Источник

Отношение рода и вида между понятиями

Математические понятия могут находиться в разных отноше­ниях.

Понятия находятся в отношении рода и вида, если объем одного понятия включает объем другого понятия, но не совпадает с ним.

Уже в дошкольном возрасте дети рано начинают понимать ро­довидовые отношения, не называя их явно. Например, выполняя задание: «Назови одним словом» (рис. 4), они подразумевают, что понятия «квадрат», «прямоугольник», «трапеция», «ромб»,

«параллелограмм» являются видовыми по отношению к понятию «четырехугольника.

Если объемы понятий совпадают, то эти понятия тождественны.

Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равно­угольный треугольник» тождественны. В школе на уроках русского языка дети изучают понятие «синонимы» — слова, различные по звучанию, но тождественные по смыслу.

Некоторые особенности родовидовых отношений между понятиями

2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Например, для понятия «квадрате родовыми являются по­нятия «прямоугольник», «ромб», «четырехугольник», «многоуголь­ник», «геометрическая фигура».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например: квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.

4) Если два понятия находятся в отношении рода и вида, то между их объемами и содержаниями существует взаимосвязь: если объем больше, то содержание меньше, и наоборот. Например, объем понятия «прямоугольник» больше, чем объем понятия «квадрат», так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «прямоугольник» меньше, чем содер­жание понятия «квадрат», так как квадрат обладает всеми свойства­ми прямоугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

Задание 2

Назовите, какие из перечисленных понятий находятся в отношении рода и вида: круг, ломаная, треугольник, отрезок, многоугольник, радиус, окружность.

Определение понятий

Для распознавания объекта необязательно проверять у него существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим полются, когда понятию дают определение.

Определение понятия позволяет отличать определяемые проекты от других объектов. Так, например, определение понятий «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от др: треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5).

Явные определения имеют форму равенства двух понятий. С из них называют определяемым, другое — определяющим.

Самый распространенный вид явных определений — это о деление через род и видовое отличие. Приведенное выше определение прямоугольного треугольника относится к таким определяем. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем птиц, является ближайшим родовым понятием по отношению понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь пругол» позволяет из всех треугольников выделить один из вид прямоугольный треугольник.

Видовое отличие — существенное свойство, которое отличае видовое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изобра; схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить ощления понятий не только в математике, но и в других науках.

Основные правила определения через род и видовое отличие

1) Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего по­нятий должны совпадать. Например, в определении «Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами» допущена ошибка. Здесь объем определяемого понятия меньше объема определяющего поня­тия (в объеме определяющего понятия содержатся ромбы, которые необязательно являются квадратами).

2) В определении (или их системе) не должно быть порочного кру­га.

3) Определение должно быть ясным.

Смысл всех терминов, входящих в определяющую часть, должен быть ясен и четко определен. Например, если дети не знакомы с прямым углом, им нельзя давать такое определение: «Прямоуголь­ник — это четырехугольник, у которого все углы прямые».

4) Определяемый объект должен существовать.

5) Принято называть ближайшее родовое понятие.

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользу­ются, когда понятию дают определение.

Определение понятия — это логическая операция, которая рас­крывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объ­екты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5). Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым, другое — определяющим.

Например: «Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие — «прямо­угольный треугольник», а определяющее — «треугольник, у которого есть прямой угол».

Структура определения через род и видовое отличие изображена схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить опреде­ления понятий не только в математике, но и в других науках.

Для понятия часто существует несколько родовых понятий, так, например, для понятия «квадрат» можно сформулировать разные определения:

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны;

— это ромб, у которого все углы прямые;

— это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые;

— это многоугольник, у которого 4 равные стороны и 4 пря­мых угла.

Удобным считается первое определение, так как «прямоуголь­ник» — ближайшее родовое понятие по отношению к понятию «квадрат».

6) Желательно, чтобы определяющее не содержало избыточных свойств.

Удобно перечислить многие существенные свойства, но опреде­ление становится громоздким. При работе с детьми иногда это пра­вило нарушают. Например, ребенок спешит сообщить все сущест­венные свойства квадрата и дает такое определение: «Квадрат — это четырехугольник, у которого 4 прямых угла и 4 равные стороны».

Задание 4

Имеются пи логические ошибки в следующих определениях:

• параллельные прямые — прямые, не имеющие общих точек или совпадающие;

• смежные углы — это углы, которые в сумме составляют 180 гра­дусов;

• тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы тупые;

• перпендикулярные прямые — это прямые, которые перпен­дикулярны.

При формировании у детей начальных математических пред­ставлений чаще всего применяют неявные определения, которые не имеют формы равенства двух понятий, например остенсивные и контекстуальные определения.

Остенсивное определение— это неявное определение, при кото­ром называют и показывают объект, термин для которого вводят.

Определения посредством показа отличаются неза­вершенностью, неокончательностью, но именно они связывают слова с вещами.

При ознакомлении дошкольников и младших школьников с математическими понятиями, особенно Рис 7 в начале обучения, в основном используются остенсивные определения. Однако в дальнейшем это требу­ет изучения существенных свойств объектов, то есть формирования у детей представлений об объеме и содержании понятий, первоначально определенных остенсивно.

Контекстуальное определение — неявное определение, в котором содержание нового понятия раскрывается в контексте — отрывке текста.

Например, при формировании у дошкольников счетной дея­тельности детей учат правильно использовать количественные и по­рядковые числительные: «Чтобы ответить на вопрос «сколько?», надо считать так: один, два, три, — это количественный счет, а что­бы ответить на вопрос «который?», надо считать так: первый, вто­рой, третий, — это порядковый счет».

Контекстуальные определения остаются в значительной мере неполными, нечеткими, поэтому необходимо выявление существен­ных свойств таким образом определенного понятия.

Математические предложения

Взаимосвязи между объектами и свойствами выражаются с по­мощью предложений. Предложения могут быть сформулированы при помощи слов и записаны при помощи математических символов:

Составные предложения образуются из элементарных с по­мощью союзов «и», «или», частицы «не» и др. Эти слова называются логическими связками.

Примеры составных предложений различных по структуре при­ведены на рисунке 8:

Задание 5

Определите структуру предложений и выявите в них элементар­ные предложения:

— «Параллельные прямые не пересекаются»;

— «Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны»;

— «Число оканчивается нулем или пятерной».

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 3958; Нарушение авторского права страницы

Источник