отношение сигнал шум на выходе согласованного фильтра

Согласованный фильтр его импульсная и частотная характеристики

В предыдущей статье рассмотрели оптимальный прием сигналов и ансамбль сигнала. В этой статье поговорим о согласованном фильтре, его свойствах и АЧХ и ФЧХ характеристиках.

Согласованный фильтр

Согласованный фильтр — линейный оптимальный фильтр, позволяющий получить максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра для сигналов известной формы.

Линейный фильтр вносит линейные искажения. Если на нелинейное устройство подать моногармонический сигнал (обычную синусоиду) с одной частотой, то на выходе устройства, посмотрев на спектр, увидим новые спектральные составляющие, гармоники. У линейного устройства новые спектральные составляющие не появляются. На выходе любого линейного устройства, те же самые спектральные составляющие, что и на его входе, без добавления новых гармоник, у этих устройств изменяются только амплитуда и фаза.

Оптимальный фильтр, оптимальный это значит, что он достигает какого-то наилучшего качества. Если мы говорим про оптимальность, то мы должны говорить и про критерий оптимальности, т.е. что у нас достигается наилучшим способом. В данном случае критерием оптимальности является отношение сигнал/шум.

Для каждого сигнала существует свой согласованный фильтр. Сигнал на выходе любого линейного фильтра, в том числе и согласованного, определяется выражением:

Свойства согласованного фильтра

Для любого линейного фильтра сигнал на выходе определяется через свертку сигнала на входе и его импульсной характеристики.

Импульсная характеристика фильтра это реакция фильтра (т.е. то что мы получим на выходе фильтра), на дельта импульс.

Если на вход фильтра подадим дельта импульс, то на выходе получим отклик, этот отклик и есть импульсная характеристика.

Дельта импульс это математическая абстракция, это импульс, который имеет бесконечно большую амплитуду, бесконечно малую длительность и площадь этого импульса равна единице. На практике, такой дельта импульс можно заменить коротким импульсом. Спектр дельта импульса равномерен и бесконечен.

Импульсная характеристика согласованного фильтра

Импульсная характеристика СФ имеет отзеркаленную форму сигнала, для которого фильтр согласован:

Не важно какую амплитуду имеет сигнал, если по форме сигнал повторяет импульсную характеристику, то фильтр будет согласован для этого сигнала. На картинке ниже представлено два примера. Есть треугольный сигнал, осциллограмма в виде треугольного импульса.

Какой фильтр будет для него согласован? Тот который имеет импульсную характеристику повторяющую форму сигнала, но отзеркаленную.

Другой пример, выше, затухающая синусоида сигнала. Чтобы спроектировать согласованный фильтр для такого сигнала, нужно взять форму сигнала и отзеркалить ее и получится импульсная характеристика.

Если у сигнала меняется амплитуда, становится больше или меньше, импульсная характеристика не меняется, фильтр всё равно будет согласован.

Частотные характеристики согласованного фильтра

Комплексная частотная передаточная характеристика СФ комплексно сопряжена с Фурье-образом сигнала.

Комплексная экспонента е^-i2πTf говорит о сдвиге фаз, возникшем в результате задержки сигнала в фильтре на время T. Откуда взялась комплексная экспонента? Любой фильтр вносит задержку, а комплексная экспонента поворачивает фазу сигнала.

Эта функция H(f) комплексная, у нее есть мнимая и реальная части. Формула с точностью до постоянного множителя (константы) повторяет Фурье-образ сигнала S(f). Единственное, нужно взять Фурье-образ и сделать над ним комплексное сопряжение. Фурье-образ сигнала это результат преобразования Фурье. Это комплексный спектр сигнала.

Комплексная частотная передаточная характеристика СФ комплексно сопряжена с Фурье-образом сигнала с точностью до какого-то постоянного коэффициента. Импульсная характеристика повторяет форму сигнала, частотная характеристика повторяет спектр сигнала, только комплексно сопряжена.

Комплексное сопряжение. Если есть комплексное число в котором есть реальная и мнимая часть, то комплексное число сопряженное, это число у которого меняется знак мнимой части. c=a+jb и c=a-jb.

АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра

Из передаточной характеристики H(f) получаем АЧХ и ФЧХ. Чтобы получить АЧХ нужно у этой функции взять модуль. АЧХ согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента k повторяет амплитудный спектр сигнала:

ФЧХ согласованного фильтра повторяет фазовый спектр сигнала с обратным знаком и с учетом задержки:

где ψs(f) — фазовый спектр сигнала.

На картинке выше есть амплитудный и фазовый спектр. Чтобы получить согласованный фильтр, нужно взять фильтр, который имеет АЧХ повторяющий амплитудный спектр сигнала и ФЧХ повторяющий фазовый спектр сигнала, но с обратным знаком. Наклон, который появился на графике “ФЧХ согласованного фильтра” появился из-за задержки сигнала.

Отклик согласованного фильтра

Предположим, есть сигнал, который имеет прямоугольную форму, для него спроектирован согласованный фильтр, который будет иметь импульсную характеристику в виде прямоугольного импульса.

Если на вход согласованного фильтра подать прямоугольный импульс, то на выходе получится сигнал, который определяется через свёртку.

Свёртка это перемножение двух функций в различный момент сдвига друг относительно друга и затем функции нужно их проинтегрировать.

На картинке, зафиксировали положение импульсов. Есть один импульс s(t) на входе и вторая импульсная характеристика согласованного фильтра h(t). В конкретный момент времени нужно вычислить площадь, которая образуется пересечением и эта площадь — значение сигнала на выходе в какой-то конкретный момент времени. И нужно постепенно смещать этот импульс и снова вычислять площадь и так далее. В итоге получим функцию, это и есть свертка.

Сигнал проходя через согласованный фильтр не сохраняет свою форму.

С точки зрения приема сигнала важна не его форма, а значение сигнала. В следующей статье расскажем про приемники.

Источник

Импульсная характеристика и отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

Согласованным фильтром называется линейная цепь, которая для определенной аддитивной смеси сигнала и шума обеспечивает на выходе наибольшее отношение сигнал/шум. Согласованный фильтр можно рассматривать как оптимальный, у которого критерием оптимальности является достижение максимума отношения сигнал/шум. Для согласованного фильтра не важно как искажается выходной сигнал по отношению к входному. Важно, чтобы при этом достигалось максимально возможное по отношению к любым другим фильтрам отношение сигнал/шум на выходе.

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра h_сф(t) и отношение сигнал/шум на его выходе q_вых в случае, если на вход поступает аддитивная смесь сигнала и шума

Входное отношение сигнал/шум, характеризующее процесс определим как отношение сигнал/шум по энергии:

.

Выходное отношение сигнал/шум, характеризующее отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определим как отношение сигнал/шум по мощности, равное квадрату пикового отношения сигнал/шум:

, (6.13)

где S_вых(t₀) – выходное значение сигнала в момент t₀, при котором выходной импульс достигает максимума; – дисперсия выходного шума в момент t₀.

В силу принципа суперпозиции величины и S_вых(t₀) могут быть найдены раздельно. В частности

(6.14)

Для определения воспользуемся формулой (4.14), в которой положим и учтём, что

(6.15)

Подставив (6.14) и (6.15) в (6.13), получим

(6.16)

Существует неравенство Буняковского-Шварца

(6.17)

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

(6.18)

Применяя неравенство (6.17) к выражению (6.16), получим

(6.19)

Неравенство (6.17) превращается в равенство, если импульс­ную характеристику согласно условию (6.18) выбрать в следующем виде:

(6.20)

Выражение (6.20) определяет импульсную характеристику согласованного фильтра, так как при этом достигается максимум отношения сигнал/шум на выходе. Этот максимум равен отношению сигнал/шум на входе независимо от формы сигнала S(t):

или

что для пикового отношения сигнал/шум соответствует равенству

(6.21)

где индекс СФ указывает, что равенство (6.21) достигается только в согласованном фильтре.

На рис. 6.2 показана методика построения импульсной характеристики , когда известна форма сигнала S(t). Пусть сигналом является треугольный импульс длительности t₀ (рис. 6.2,а). Строим его зеркальное отображение S(- t) путем поворота импульса вокруг оси ординат (рис. 6.2,б). Затем задерживаем импульс на время t₀ и изменяем масштаб по оси ординат, то есть учитываем коэффициент пропорциональности k (рис. 6.2,в).

Дата добавления: 2018-08-06 ; просмотров: 1273 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Отношение сигнал шум на выходе согласованного фильтра

12.4. Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра

Для определения формы сигнала на выходе используем общее выражение

Подставив в него соотношение (12.16), получим

При t = t₀ это выражение переходит в

Сделаем подстановку Тогда

Итак, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента А совпадает с корреляционной функцией входного сигнала.

Рассмотрим теперь параметры и статистические характеристики шума на выходе согласованного фильтра. При действии белого шума с нормальным законом распределения (именно такой шум и представляет основной интерес для практики) распределение шума на выходе линейного фильтра остается нормальным. Энергетический спектр шума на выходе, как это ясно из (7.1) и рис. 12.3, равен W_вых(ω) = К 2 (ω)W₀. Следовательно, корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра

Отсюда следует, что корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией входного сигнала (и, следовательно, с выходным сигналом).

Приравнивая τ = 0, находим дисперсию (среднюю мощность) шума на выходе

Составим отношение пикового значения сигнала s_вых(t) к среднеквадратическому значению шума В соответствии с формулами (12.26) и (12.30)

Итак, при белом шуме отношение сигнал-шум на выходе фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии сигнала и энергетического спектра шума W₀.

Из этого заключения следует, что при заданных энергии и ширине спектра сигналу можно придавать различную форму, выгодную для решения конкретной задачи.

Удлинение радиоимпульса, дополняемое внутриимпульсной модуляцией, позволяет также снизить пиковую мощность генератора в передатчике при заданной энергии сигнала и при сохранении разрешающей способности сигнала (после сжатия в согласованном фильтре). Это преимущество более подробно рассматривается в § 12.5, п.2.

Источник

Согласованный фильтр и его основные характеристики

6.2.1 Импульсная характеристика и отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

Согласованным фильтром называется линейная цепь, которая для определенной аддитивной смеси сигнала и шума обеспечивает на выходе наибольшее отношение сигнал/шум. Согласованный фильтр можно рассматривать как оптимальный, у которого критерием оптимальности является достижение максимума отношения сигнал/шум. Для согласованного фильтра не важно как искажается выходной сигнал по отношению к входному. Важно, чтобы при этом достигалось максимально возможное по отношению к любым другим фильтрам отношение сигнал/шум на выходе.

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра h_сф(t) и отношение сигнал/шум на его выходе q_вых в случае, если на вход поступает аддитивная смесь сигнала и шума

Входное отношение сигнал/шум, характеризующее процесс определим как отношение сигнал/шум по энергии:

.

Выходное отношение сигнал/шум, характеризующее отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определим как отношение сигнал/шум по мощности, равное квадрату пикового отношения сигнал/шум:

, (6.13)

где S_вых(t₀) – выходное значение сигнала в момент t₀, при котором выходной импульс достигает максимума; – дисперсия выходного шума в момент t₀.

В силу принципа суперпозиции величины и S_вых(t₀) могут быть найдены раздельно. В частности

(6.14)

Для определения воспользуемся формулой (4.14), в которой положим и учтём, что

(6.15)

Подставив (6.14) и (6.15) в (6.13), получим

(6.16)

Существует неравенство Буняковского-Шварца

(6.17)

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

(6.18)

Применяя неравенство (6.17) к выражению (6.16), получим

(6.19)

Неравенство (6.17) превращается в равенство, если импульс­ную характеристику согласно условию (6.18) выбрать в следующем виде:

(6.20)

Выражение (6.20) определяет импульсную характеристику согласованного фильтра, так как при этом достигается максимум отношения сигнал/шум на выходе. Этот максимум равен отношению сигнал/шум на входе независимо от формы сигнала S(t):

или

что для пикового отношения сигнал/шум соответствует равенству

(6.21)

где индекс СФ указывает, что равенство (6.21) достигается только в согласованном фильтре.

На рис. 6.2 показана методика построения импульсной характеристики , когда известна форма сигнала S(t). Пусть сигналом является треугольный импульс длительности t₀ (рис. 6.2,а). Строим его зеркальное отображение S(- t) путем поворота импульса вокруг оси ординат (рис. 6.2,б). Затем задерживаем импульс на время t₀ и изменяем масштаб по оси ординат, то есть учитываем коэффициент пропорциональности k (рис. 6.2,в).

Источник

Отношение сигнал-шум на выходе оптимального фильтра

Так как пиковое значение выходного сигнала

где -полная энергия сигнала, а мощность шума на выходе

то отношение пика мощности сигнала к мощности выходного шума равно .

Таким образом, отношение сигнал-шум на выходе оптимального фильтра зависит от энергии сигнала на входе и не зависит от его формы, причем в этом случае обеспечивается максимально возможное отношение сигнал-шум, и следовательно, максимально возможная вероятность правильного обнаружения этого сигнала при заданном уровне вероятности ложной тревоги.

Если на входе приемника действует не белый шум, а шум, имеющий неравномерную спектральную плотность мощности, то оптимальный фильтр строится в виде последовательно соединенных двух линейных фильтров (см. рис.7).

Первый фильтр выбирается таким образом, чтобы шум на его выходе стал белым, т.е. если на входе шум описывается характеристикой , то на выходе фильтра должно выполняться на всех частотах. Следовательно

Для сигнала на выходе первого фильтра будем иметь

Характеристика второго фильтра должны быть согласована с сигналом , т.е.

Частотная характеристика цепочки определяется выражением

Таким образом, такой оптимальный фильтр ослабляет те участки спектра входного колебания, которые соответствуют наиболее интенсивным спектральным составляющим шума.

Отношение сигнал-шум здесь составляет

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник