отношение в реляционной алгебре это

Реляционная алгебра, операции реляционной алгебры

Что такое реляционная алгебра

Операция выборки

,

Запрос SQL

Теперь посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. В таблице ниже дано одно отношение, с которым работает эта операция.

Просматриваем столбец А3 и устанавливаем, что предикату A3>’d0′ удовлетворяют записи в первой и третьей строках исходного отношения (так как номер буквы y в алфавите больше номера буквы d). В результате получаем следующее новое отношение, в котором две строки:

Комбинировать всевозможные логические условия для выборок Вам поможет материал «Булева алгебра (алгебра логики)».

А в материалах раздела «Программирование PHP/MySQL» Вы найдёт немало примеров комбинаций различных логических условий для выборок из базы данных.

Операция проекции

Запрос SQL

Пусть вновь дано то же отношение R3 :

Операция объединения

Результатом объединения двух множеств (отношений) А и В () будет такое множество (отношение) С, которое включает в себя те и только те элементы, которые есть или во множестве А или во множестве В. Говоря упрощённо, все элементы множества А и множества В, за исключением дубликатов, образующихся за счёт того, что некоторые элементы есть и в первом, и во втором множестве. Операция объединения реляционной алгебры идентична операции объединения множеств, которая также описана в материале «Множества и операции над множествами».

Запрос SQL

Важно следующее: операция объединения может быть выполнена только тогда, когда два отношения обладают одинаковым числом и названиями атрибутов (столбцов), или, говоря формально, совместимы по объединению.

Операция пересечения

Результатом пересечения двух множеств (отношений) А и В () будет такое множество (отношение) С, которое включает в себя те и только те элементы, которые есть и во множестве А, и во множестве В. Операция пересечения реляционной алгебры идентична операции пересечения множеств, которая также описана в материале «Множества и операции над множествами».

Запрос SQL

В некоторых диалектах SQL отсутствует ключевое слово INTERSECT. Поэтому, например, в MySQL и других, операция пересечения множеств может реализована с применением предиката EXISTS.

Теперь посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Вновь даны два отношения R1 и R2:

Операция разности

Разность двух отношений R1 и R2 () состоит из кортежей (или записей, или строк), которые имеются в отношении R1, но отсутствуют в отношении R2. Отношения R1 и R2 должны быть совместимы по объединению. Операция разности реляционной алгебры идентична операции разности множеств, которая также описана в материале «Множества и операции над множествами».

Запрос SQL

Установим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Вновь даны два отношения R1 и R2:

В некоторых диалектах SQL отсутствует ключевое слово EXCEPT. Поэтому, например, в MySQL и других, операция пересечения множеств может реализована с применением предиката NOT EXISTS.

Операция декартова произведения

Операция декартова произведения () определяет новое отношение R, которое является результатом конкатенации каждого кортежа отношения R1 с каждым кортежем отношения R2.

Запрос SQL

Установим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Даны два отношения R3 и R4:

В новом отношении должны присутствовать все атрибуты (столбцы) двух отношений. Сначала первая строка отношения R3 сцепляется с каждой из двух строк отношения R4, затем вторая строка отношения R3, затем третья. В результате должно получиться 3 Х 2 = 6 кортежей (строк). Получаем такое новое отношение:

Операция деления

Результатом операции деления () является набор кортежей (строк) отношения R1, которые соответствуют комбинации всех кортежей отношения R2. Для этого нужно, чтобы в отношении R2 была часть атрибутов (можно и один), которые есть в отношении R1. В результирующем отношении присутствуют только те атрибуты отношения R1, которых нет в отношении R2.

Запрос SQL

Давайте посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Даны два отношения R5 и R6:

Комбинации всех кортежей отношения R6 соответствуют вторая и третья строки отношения R5. Но после исключения атрибутов (столбцов) А2 и А3 эти строки становятся идентичными. Поэтому в новом отношении присутствует эта строка один раз. Новое отношение:

Операция тета-соединения

Запрос SQL

Посмотрим, что получится в результате выполнения этой операции реляционной алгебры и соответствующего ей запроса SQL. Даны два отношения R3 и R4:

Источник

Отношение в реляционной алгебре это

Третья часть реляционной модели, манипуляционная часть, утверждает, что доступ к реляционным данным осуществляется при помощи реляционной алгебры или эквивалентного ему реляционного исчисления.

В реализациях конкретных реляционных СУБД сейчас не используется в чистом виде ни реляционная алгебра, ни реляционное исчисление. Фактическим стандартом доступа к реляционным данным стал язык SQL (Structured Query Language). Язык SQL представляет собой смесь операторов реляционной алгебры и выражений реляционного исчисления, использующий синтаксис, близкий к фразам английского языка и расширенный дополнительными возможностями, отсутствующими в реляционной алгебре и реляционном исчислении. Вообще, язык доступа к данным называется реляционно полным, если он по выразительной силе не уступает реляционной алгебре (или, что то же самое, реляционному исчислению), т.е. любой оператор реляционной алгебры может быть выражен средствами этого языка. Именно таким и является язык SQL.

В данной главе будут рассмотрены основы реляционной алгебры.

Замкнутость реляционной алгебры

Реляционная алгебра представляет собой набор операторов, использующих отношения в качестве аргументов, и возвращающие отношения в качестве результата. Таким образом, реляционный оператор выглядит как функция с отношениями в качестве аргументов:

Реляционная алгебра является замкнутой, т.к. в качестве аргументов в реляционные операторы можно подставлять другие реляционные операторы, подходящие по типу:

Таким образом, в реляционных выражениях можно использовать вложенные выражения сколь угодно сложной структуры.

Каждое отношение обязано иметь уникальное имя в пределах базы данных. Имя отношения, полученного в результате выполнения реляционной операции, определяется в левой части равенства. Однако можно не требовать наличия имен от отношений, полученных в результате реляционных выражений, если эти отношения подставляются в качестве аргументов в другие реляционные выражения. Такие отношения будем называть неименованными отношениями. Неименованные отношения реально не существуют в базе данных, а только вычисляются в момент вычисления значения реляционного оператора.

Традиционно, вслед за Коддом [43], определяют восемь реляционных операторов, объединенных в две группы.

Не все они являются независимыми, т.е. некоторые из этих операторов могут быть выражены через другие реляционные операторы.

Отношения, совместимые по типу

Некоторые реляционные операторы (например, объединение) требуют, чтобы отношения имели одинаковые заголовки. Действительно, отношения состоят из заголовка и тела. Операция объединения двух отношений есть просто объединение двух множеств кортежей, взятых из тел соответствующих отношений. Но будет ли результат отношением? Во-первых, если исходные отношения имеют разное количество атрибутов, то, очевидно, что множество, являющееся объединением таких разнотипных кортежей нельзя представить в виде отношения. Во-вторых, пусть даже отношения имеют одинаковое количество атрибутов, но атрибуты имеют различные наименования. Как тогда определить заголовок отношения, полученного в результате объединения множеств кортежей? В-третьих, пусть отношения имеют одинаковое количество атрибутов, атрибуты имеют одинаковые наименования, но определенны на различных доменах. Тогда снова объединение кортежей не будет образовывать отношение.

Некоторые отношения не являются совместимыми по типу, но становятся таковыми после некоторого переименования атрибутов. Для того чтобы такие отношения можно было использовать в реляционных операторах, вводится вспомогательный оператор переименования атрибутов.

Оператор переименования атрибутов

Оператор переименования атрибутов имеет следующий синтаксис:

— отношение,

— исходные имена атрибутов,

— новые имена атрибутов.

В результате применения оператора переименования атрибутов получаем новое отношение, с измененными именами атрибутов.

Следующий оператор возвращает неименованное отношение, в котором атрибут переименован в :

Теоретико-множественные операторы

Объединение

Определение 2. Объединением двух совместимых по типу отношений и называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих или , или , или обоим отношениям.

Синтаксис операции объединения:

Замечание. Объединение, как и любое отношение, не может содержать одинаковых кортежей. Поэтому, если некоторый кортеж входит и в отношение , и отношение , то в объединение он входит один раз.

Пример 2. Пусть даны два отношения и с информацией о сотрудниках:

Таблица 1 Отношение A

Таблица 2 Отношение B

Объединение отношений и будет иметь вид:

Таблица 3 Отношение A UNION B

Замечание. Как видно из приведенного примера, потенциальные ключи, которые были в отношениях и не наследуются объединением этих отношений. Поэтому, в объединении отношений и атрибут «Табельный номер» может содержать дубликаты значений. Если бы это было не так, и ключи наследовались бы, то это противоречило бы понятию объединения как «объединение множеств». Конечно, объединение отношений и имеет, как и любое отношение, потенциальный ключ, например, состоящий из всех атрибутов.

Пересечение

Определение 3. Пересечением двух совместимых по типу отношений и называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих одновременно обоим отношениям и .

Синтаксис операции пересечения:

Пример 3. Для тех же отношений и , что и в предыдущем примере пересечение имеет вид:

Таблица 4 Отношение A INTERSECT B

Вычитание

Определение 4. Вычитанием двух совместимых по типу отношений и называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих отношению и не принадлежащих отношению .

Синтаксис операции вычитания:

Пример 4. Для тех же отношений и , что и в предыдущем примере вычитание имеет вид:

Таблица 5 Отношение A MINUS B

Декартово произведение

Определение 5. Декартовым произведением двух отношений и называется отношение, заголовок которого является сцеплением заголовков отношений и :

,

а тело состоит из кортежей, являющихся сцеплением кортежей отношений и :

,

таких, что , .

Синтаксис операции декартового произведения:

Замечание. Мощность произведения равна произведению мощностей отношений и , т.к. каждый кортеж отношения соединяется с каждым кортежем отношения .

Замечание. Если в отношения и имеются атрибуты с одинаковыми наименованиями, то перед выполнением операции декартового произведения такие атрибуты необходимо переименовать.

Замечание. Перемножать можно любые два отношения, совместимость по типу при этом не требуется.

Пример 5. Пусть даны два отношения и с информацией о поставщиках и деталях:

Таблица 6 Отношение A (Поставщики)

Таблица 7 Отношение B (Детали)

Декартово произведение отношений и будет иметь вид:

Таблица 8 Отношение A TIMES B

Замечание. Сама по себе операция декартового произведения не очень важна, т.к. она не дает никакой новой информации, по сравнению с исходными отношениями. Для реальных запросов эта операция почти никогда не используется. Однако операция декартового произведения важна для выполнения специальных реляционных операций, о которых речь пойдет ниже.

Специальные реляционные операторы

Выборка (ограничение, селекция)

Определение 6. Выборкой (ограничением, селекцией) на отношении с условием называется отношение с тем же заголовком, что и у отношения , и телом, состоящем из кортежей, значения атрибутов которых при подстановке в условие дают значение ИСТИНА. представляет собой логическое выражение, в которое могут входить атрибуты отношения и (или) скалярные выражения.

В простейшем случае условие имеет вид , где — один из операторов сравнения ( и т.д.), а и — атрибуты отношения или скалярные значения. Такие выборки называются —выборки (тэта-выборки) или —ограничения, —селекции.

Синтаксис операции выборки:

,

Пример 6. Пусть дано отношение с информацией о сотрудниках:

Таблица 9 Отношение A

Результат выборки будет иметь вид:

Таблица 25 Отношение ВЕЩЕСТВО

Таблица 26 Отношение ЭЛЕМЕНТЫ

Таблица 27 Отношение ХИМИЧЕСКИЙ_СОСТАВ_ВЕЩЕСТВ

На языке SQL такой запрос реализуется одной командой:

Невыразимость транзитивного замыкания реляционными операторами

Следующий пример иллюстрирует класс запросов, невыразимых средствами реляционной алгебры или реляционного исчисления по причине невыразимости средствами реляционной алгебры транзитивного замыкания отношений (см. гл. 1).

Пример 17. Рассмотрим отношение, описывающее сотрудников некоего предприятия. Отношение содержит данные о табельном номере сотрудника, фамилии, должности и табельном номере руководителя сотрудника – СОТРУДНИКИ ( ТАБ_НОМ, ФАМИЛИЯ, ДОЛЖНОСТЬ, ТАБ_НОМ_РУК):

Таблица 28 Отношение СОТРУДНИКИ

Рассмотрим запрос «Перечислить всех руководителей (прямых и непрямых) данного сотрудника».

Ответом на запрос может быть получен при помощи понятия транзитивного замыкания. Однако транзитивное замыкание не может быть выражено операторами реляционной алгебры.

Кросс-таблицы

Одной из задач, связанных с представлением табличных данных является построение так называемых кросс-таблиц.

Пусть имеется отношение с тремя атрибутами и потенциальным ключом, включающим первые два атрибута. Примером такого отношения могут быть данные с объемами продаж различных товаров за некоторые промежутки времени:

Таблица 29 Данные о продажах

Таблица 30 Кросс-таблица

Построение кросс-таблицы средствами реляционной алгебры невозможно, т.к. для этого требуется превратить данные в ячейках таблицы в наименования новых столбцов таблицы.

Выводы

Доступ к реляционным данным возможен при помощи операторов реляционной алгебры. Реляционная алгебра представляет собой набор операторов, использующих отношения в качестве аргументов, и возвращающие отношения в качестве результата. Реляционная алгебра замкнута таким образом, что результаты одних реляционных выражений можно использовать в других выражениях.

Традиционно определяют восемь реляционных операторов, объединенных в две группы.

Теоретико-множественные операторы: объединение, пересечение, вычитание, декартово произведение.

Специальные реляционные операторы: выборка, проекция, соединение, деление.

Для выполнения некоторых реляционных операторов требуется, чтобы отношения были совместимы по типу.

Имеется несколько типов запросов, которые нельзя выразить средствами реляционной алгебры. К ним относятся запросы, требующие дать в ответе список атрибутов, удовлетворяющих определенным условиям, построение транзитивного замыкания отношений, построение кросс-таблиц. Для получения ответов на подобные запросы приходится использовать процедурные расширения реляционных языков.

Источник