отношения между высказываниями в логике

Импликация. Отношение логического следования. Связь логического следования с законами логики.

Логические отношения между высказываниями (формулами) в классической логике высказываний(к.л.в.).

Обсуждение практических и научных вопросов обычно связано с выдвижением различных положений и мнений. В судебно-следственной практике невозможно обойтись без положений, которые называются версиями. Их приходится сопоставлять друг с другом, одни из них противополагаются другим, некоторые оказываются более сильными, чем другие и т.д. Это означает, что высказывания вступают между собой в различные логические отношения.

Логические отношения между высказываниями устанавливаются через отношения схем, которые наполняются содержанием этих высказываний. Основные отношения – это отношения совместимости и несовместимости. Совместимость схем определяется наличием хотя бы одного случая, когда при одинаковых логических значениях переменных эти схемы одновременно получают значение «истинно». При отсутствии такого случая схемы несовместимы. Так, схемы A Ù B и A Ú B совместимы. Это видно из таблицы 6, в частности из первой ее строки, где при подстановке вместо A и B значения «истинно» как первая, так и вторая схема получает значение «истинно». Схемы AÚB и A « B несовместимы, так как при одинаковых значениях A и B они не имеют общего значения «истинно» (таблица 7).

Таблица 6

Таблица 7

Совместимые формы могут находиться в следующих отношениях:

а) отношение следования, или подчинения;

б) полной совместимости, или равнозначности;

в) частичной совместимости.

Отношение следования (подчинения)

Таблица 8

Отношение полной совместимости (равнозначности)

Схемы a и b находятся в отношении полной совместимости, или равнозначности, если и только из схемы a следует схема b, и наоборот; иными словами, в этом случае при одинаковых значениях переменных схемы a и b принимают одинаковые логические значения, и их таблицы истинности полностью совпадают. Например, в отношении полной совместимости находятся схемы высказываний “Если товарное производство расширяется, то натуральное хозяйство разлагается” и “если натуральное хозяйство не разлагается, то товарное производство не расширяется” (таблица 9).

Таблица 9

Отношение частичной совместимости

Схемы a и b находятся в отношении частичной совместимости, если и только если при одинаковых значениях переменных они вместе получают значение «истинно», но не получают значение «ложно». Таковы, например, схемы высказываний «Если план выполним, то он обеспечен ресурсами» и «Если план обеспечен ресурсами, то он выполним». Из них получаются высказывания, истинные в двух случаях (см. таблицу 10, строки 1-ю и 4-ю), но совместная ложность высказываний исключена. Говоря языком математики, в отношении частичной совместимости находятся прямая и обратная теоремы.

Таблица 10

Теперь рассмотрим отношение несовместимости. В качестве разновидностей этого отношения нужно выделить отношения противоречия и противности.

Отношение противоречия

Таблица 11

Отношение противности

Схемы a и b находятся в отношении противности, если и только если при одинаковых значениях они вместе получают значение «ложно», но не получают значение «истинно». Например, в отношении противности находятся схемы AÙB и AÙØB (см. табл.12). Соответствующие им высказывания «9 – четное число и делится на 3» и «9 – четное число и не делится на 3» – оба ложны, а высказывания «Он поехал на красный свет и нарушил правила дорожного движения” и “Он поехал на красный свет и не нарушил правила дорожного движения» не являются вместе истинными: если одно истинно, то второе ложно, и наоборот. Схемы этих высказываний, как и сами высказывания, не отрицают друг друга.

Таблица 12

Установление отношений между логическими формами облегчает содержательный анализ, обеспечивает точность и определенность наших рассуждений.

Импликация. Отношение логического следования. Связь логического следования с законами логики.

Из высказывания А логически следует высказывание В, когда импликация «если А, то В» является частным случаем закона логики. Например, из высказывания «Если натрий металл, он пластичен» логически вытекает высказывание «Если натрий не пластичен, он не металл», поскольку импликация, основанием которой является первое высказывание, а следствием второе, представляет собой частный случай логического закона контрапозиции.

Логическое следование – это отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями.

Логические законы вытекают из любых утверждений. Задача логики – уточнить интуитивное, стихийно сложившееся представление о следовании и сформулировать на этой основе однозначно определенное понятие следования. Последнее должно, конечно, находиться в достаточном соответствии с замещаемым им интуитивным представлением. Логическое следование должно вести от истинных положений только к истинным. Если бы выводы, относимые к обоснованным, давали возможность переходить от истины ко лжи, то установление между утверждениями отношения следования потеряло бы всякий смысл. Логический вывод превратился бы из способа разворачивания и развития знания в средство, стирающее грань между истиной и заблуждением.

Источник

Логические отношения между высказываниями

Как легко заметить на основании предыдущего раздела, истинность или ложность одних высказываний может зависеть от истинности или ложности других. Логические отношения между высказываниями выражают различные виды подобной зависимости.

Прежде всего, рассмотрим совместимость двух высказываний по истинности и их совместимость по ложности. Каждое высказывание (как мы условились выше) является либо истинным, либо ложным. Истинность или ложность высказываний определяется действительным положением дел: теми событиями, что уже произошли, и теми событиями, которые совершаются в настоящий момент. Однако мы хорошо понимаем, что ход событий мог бы быть и иным. Кроме действительно совершившегося существовали и многочисленные возможности для осуществления других событий. Мы знаем, что в любой момент у нас (как и всех других людей) есть выбор из множества разнообразных действий, ведущих к цели, которой мы хотим достичь. Но и цели мы тоже можем выбирать. Это означает, что хотя реально произошли одни события, которые сделали определенные утверждения о них истинными, вместо них могли состояться и другие, которые те же утверждения сделали бы ложными. Совместимость высказываний по истинности означает, что события, о которых утверждается в этих высказываниях, могли бы осуществиться вместе. Например, могло бы быть так, что В.И. Кириллов и А.А. Старченко написали бы два разных учебника по логике, а не один совместный, или же, например, студенты-юристы изучали бы логику на втором курсе. Тогда суждения “А.А. Старченко написал учебник по логике без соавтора” и “Студенты-юристы изучают логику на втором курсе” оба оказались бы истинными. Это означает, что эти суждения являются совместимыми по истинности, хотя в действительности они оба ложны. Как установить, совместимы ли по истинности два высказывания, используя при этом только логические средства? Для этого требуется отвлечься от их конкретного содержания и выделить их логическую форму. Если логические формы этих высказываний таковы, что существуют два высказываний таких же логических форм, которые оба являются истинными, то это и будет означать, что наши исходные высказывания совместимы по истинности. Аналогично решается вопрос и о совместимости высказываний по ложности. Совместимость высказываний по ложности означает, что события в мире могли бы происходить таким образом, что анализируемые нами высказывания все вместе могли бы оказаться ложными. Для доказательства этого опять используется тот же метод логического анализа. Мы отвлекаемся от конкретного содержания высказываний и проверяем, существуют ли высказывания, имеющие такую же логическую форму, которые все вместе оказались бы ложными. Если такие высказывания находятся, то тогда наши исходные высказывания являются совместимыми по ложности.

Несовместимость высказываний по истинности означает, что они имеют такую логическую форму, что они не могут быть оба истинными независимо от их конкретного содержания. Несовместимость по ложности означает, что для высказываний невозможно быть одновременно ложными также в силу их логической формы. Как было показано в предыдущем разделе, любая пара высказываний вида A и ùA является несовместимой по истинности (в силу закона непротиворечия) и несовместимой по ложности (в силу закона исключенного третьего).

Кроме отношений совместимости и несовместимости по истинности и по ложности в логике выделяют еще целый ряд различных отношений между высказываниями, которые могут быть определены на их основе. Это отношения контрарности, субконтрарности, контрадикторности, эквивалентности, логической независимости и логического следования (последнее является наиболее важным).

Должны присутствовать именно все три сочетания, в противном случае это отношение не будет отношением контрарности.

Отношение логической независимости имеет место между двумя высказываниями в том случае, когда на основании знания истинностного значения одного из них мы не можем сказать ничего определенного об истинностном значении другого. Это означает, что в таблице сравнения для этих двух высказываний мы встретим все четыре возможные комбинации взаимной истинности. То есть никаких разновидностей это отношение не предусматривает.

Вообще, разновидностей отношения логического следования в силу описанных свойств этого отношения оказывается довольно много. Сводная таблица сочетаний возможных значений истинности двух высказываний, находящихся в отношении логического следования, представлена ниже.

AÆB и неверно, что BÆA (A подчиняет B)

AÆB и BÆA (A эквивалентно B)

BÆA и неверно, что AÆB (B подчиняет A)

Отношение логического следования может существовать не только между парой высказываний, но и между множеством высказываний и отдельным высказыванием. Между множеством высказываний Г и высказыванием B имеет место отношение логического следования (ГÆB), если логические формы этих высказываний таковы, что невозможно, чтобы при одновременной истинности всех высказываний из Г высказывание B оказалось бы ложным.

Для того, чтобы проверить, есть это отношение или его нет в случае, если мы имеем дело со сложными высказываниями, необходимо вновь обратиться к методу построения совместных таблиц истинности. Вновь покажем это на примерах.

Пусть в множество Г входят высказывания следующих логических форм: (pÚùq) и (qÉùr), а высказывание B имеет логическую форму (ùpÚr). Тогда необходимо построить таблицу истинности, общую для всех трех высказываний. Она будет содержать восемь строк, поскольку в высказывания входят три различных пропозициональных переменных.

После того, как таблица построена, находим в ней строки, в которых все высказывания из Г принимают значение “истина” (в таблице такие строки выделены жирным шрифтом) и проверяем, во всех ли случаях в этих строках также будет истинным и высказывание B. В данном случае оказывается, что уже в первой из проверяемых строк этого не происходит. Высказывание B принимает значение “ложь”, в то время как все высказывания из Г истинны. Одной подобной строки достаточно (а в нашей таблице их даже две), чтобы утверждать, что между множеством высказываний из Г и высказыванием B отношения логического следования нет.

Другой пример. Пусть в Г входят высказывания, имеющие логические формы (pÉùq) и (ùqÉr), а высказывание B имеет логическую форму (ùrÉùp). Общая таблица истинности для всех трех высказываний выглядит так.

Все высказывания из Г принимают значение “истина” в третьей, пятой, шестой и седьмой строках таблицы. И во всех этих строках высказывание B также принимает значение “истина”, то есть, в данном случае между множеством высказываний Г и высказыванием B отношение логического следования есть.

Теперь рассмотрим, в каких логических отношениях могут находиться простые атрибутивные суждения. Если два атрибутивных суждения отличаются друг от друга хотя бы одним термином (субъектом или предикатом), то они являются логически независимыми. Если же термины у двух атрибутивных суждений одинаковы, а отличаются они друг от друга только квантором или глаголом-связкой, то тогда между ними возможны следующие отношения.

1) общеутвердительное (суждение типа A) и общеотрицательное (суждение типа E) суждения являются контрарными;

2) частноутвердительные (суждения типа I) и частноотрицательные (суждения типа O) суждения являются субконтрарными;

3) общеутвердительное суждение подчиняет себе частноутвердительное (AÆI, но неверно, что IÆA), а общеотрицательное подчиняет себе частноотрицательное (EÆO, ног неверно, что OÆE);

5) единичноутвердительное суждение находится в отношении контрадикторности с единичноотрицательным суждением. Например: Вылет нашего самолета будет отложен и Вылет нашего самолета не будет отложен.

Источник

4.8. Логические отношения между высказываниями (логический квадрат)

Между высказываниями, имеющими сходный смысл, устанавливаются связи. Рассмотрим отношения между простыми и сложными высказываниями.

Сравнимыми являются высказывания с одинаковыми субъектами

и предикатами и различающиеся связкой

и квантором. Например: «Все граждане Республики Беларусь имеют право на отдых» и «Ни один гражданин Республики Беларусь не имеет право на отдых».

Отношения между сравнимыми

высказываниями выражаются с помощью модели, которую называют логический квадрат (рис. 20). Рис. 20

Среди сравнимых высказываний различают совместимые и несовместимые.

Отношение совместимости означает, что высказывания могут быть одновременно истинными:

1. Эквивалентность (полная совместимость) – высказывания, которые имеют одинаковые логические характеристики: одинаковые субъекты и предикаты, однотипную утвердительную или отрицательную связку, одну и ту же логическую характеристику. Эквивалентные высказывания различаются словесным выражением одной и той же мысли. С помощью логического квадрата отношения между данными высказываниями не иллюстрируются.

2. Частичная совместимость (подпротивность, субконтрарность ). В

этом отношении находятся частноутвердительное и частноотрицательное высказывания (I и О). Это означает, что два таких высказывания могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то второе обязательно истинно. Если же одно из них истинно, то второе неопределенно.

Из истинности общего высказывания всегда следует истинность частного. В то время как истинность частного высказывания свидетельствует о неопределенности общего высказывания.

Из ложности частного высказывания всегда следует ложность общего высказывания, но не наоборот.

Отношение несовместимости. Несовместимыми являются высказывания, которые не могут быть одновременно истинными:

1. Противоположность (противность, контрарность) – в этом отношении находятся общеутвердительное и общеотрицательное высказывания (А и Е). Это отношение означает, что два таких высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Если одно из них истинно, то второе обязательно – ложно. Если же одно из них ложно, то второе неопределенно.

2. Противоречие (контрадикторность) – в нем находятся обще-

утвердительное и частноотрицательное высказывания (A и О), а также общеотрицательное и частноутвердительное высказывания (Е и I). Два противоречащих высказывания не могут быть ни одновременно ложными, ни одновременно истинными. Одно обязательно истинно, а другое ложно.

Сравнимыми среди сложных высказываний являются высказывания, имеющие хотя бы одну одинаковую составляющую. В противном случае сложные высказывания несравнимы.

Сравнимые сложные высказывания могут быть совместимыми или несовместимыми.

Отношение совместимости означает, что высказывания могут быть одновременно истинными:

Источник

Отношения между логическими формами высказываний

Соответственно два высказывания сравнимы тогда и только то­гда, когда имеется хотя бы одно простое высказывание, входящее в структуру как первого, так и второго высказывания. Несравнимые высказывания порождаются логическими формами, которые могут быть вместе как истинными, так и ложными, и нельзя указать хотя бы на некоторую регулярность в их отношениях.

Среди сравнимых различают совместимые и несовместимые логические формы. Совместимость форм определяется наличием хотя бы одного случая, когда из них порождаются высказывания, оказывающиеся вместе истинными. При отсутствии такого случая формы несовместимы.

Совместимые формы могут находиться в следующих отношениях:

1) полной совместимости или равнозначности;

3) частичной совместимости.

формы А и В находятся в отношении полной совместимости (равнозначности), если и только если ими порождаются высказы­вания, логические значения которых при одинаковых значениях со­ставляющих полностью совпадают (табл. 3.4).

Таблица 3.4

Логические формы А и В находятся в отношении следования (из А следует В), если и только если всякий раз, когда из А порож­дается истинное высказывание, из В также порождается истинное высказывание (табл. 3.5).

Первая форма порождает истинные высказывания в четырех слу­чаях (см. строки 1-ю, 4-ю, 6-ю, 8-ю). Но в этих же случаях истинны и высказывания, порождаемые второй формой (обратное неверно). Следовательно, из первой формы следует вторая, как и из первого высказывания следует второе.

Логические формы А и В находятся в отношении частичной совместимости, если и только если из них порождаются высказы­вания, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

Теперь рассмотрим несовместимые логические формы. Здесь нужно выделить отношения противоречия и противности.

Логические формы А и В находятся в отношении противно­сти, если и только если они порождают высказывания, которые не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными. На­пример, в отношении противности находятся формы АÙВ; АÙВ (см. табл. 3.8).

Установление отношений между логическими формами облегчает содержательный анализ, обеспечивает точность и определенность

С более кратким способом ознакомимся на примере формы ((А → В) Ù(В→ С) ÙА) → С. Ход мысли будет следующим:

1. Чтобы форма не являлась логическим законом, она при неко­торой подстановке должна стать ложным высказыванием.

3. Чтобы данное основание было истинным, необходимо, по­скольку оно является конъюнкцией, чтобы оба его члена были ис­тинны, т. е. (А → В) Ù (В→ С) и А должны быть истинны.

Источник