отношения понятие пропорции 6 класс

Конспект урока «Отношения и пропорции» 6 класс

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Воронцова Галина Николаевна

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Старокармыжская средняя общеобразовательная школа»

Конспект урока по математике 6 класс

«Отношения и пропорции»

— сформировать понятие пропорции, отношения.

— закрепить новые понятия.

— совершенствовать навык счета.

— развивать чувство гармонии, прекрасного.

— плакат с опорным конспектом.

— бумага, ножницы, линейка

Тип урока: изучение нового материала

1.Изучение нового материала. (можно использовать слайды по определениям и задачам, записи отношений и пропорций)

Примеры на доске: 7:2 1:8

Учитель: Прочесть записи на доске.

Ученики: частное чисел 7 и 2; 1 и 8; четыре седьмых; пять третьих; отношение чисел 4 и 7; отношение чисел 5 и 3

Учитель: вы употребили новое понятие «отношение», некоторым из вас оно может уже знакомо, некоторые его встретили при чтении энциклопедии и других источников по математике. Давайте мы поподробнее ознакомимся с этим понятием.

Определение: Отношением чисел называют частное двух чисел не равных

0, — отношение, а≠0, в≠0,где а и в – члены отношения.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Учитель: Запишем дату, тему урока «Отношения и пропорции» и определение отношения в тетради.

2.Закрепление понятия «отношение.

1). «Г» (говори правильно) – стр. 121, №706 – отношения читает каждый ученик про себя, затем один вслух.

2).№ 706 (стр. 121), используя слово «отношение» прочитайте записи и назовите члены отношений.

3) творческое задание учащимся: составить всем по одному отношению и назвать их по очереди.

Учитель: Как же обстояло дело с понятием « отношение» раньше?

3. Историческая справка. При решении разнообразных практических задач часто приходится сравнивать однородные величины между собой, вычислять их отношения. Долгое время под числом понималось только натуральное число (собрание единиц), полученное в результате счета. Отношение как результат деления одного числа на другое не считалось числом. Новое определение числа было дано впервые английским ученым Исааком Ньютоном(1643-1727). В своей «Всеобщей арифметике» он писал: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Вот с тех пор и считается что отношение величин одного наименования есть число.

4. Продолжение изучения нового материала.

Учитель: Рассмотрим следующие пары отношений

20:4 и 1/3:1/15 6:3и18:9 1,2:4 и 3:10 (запись на доске)

-Что можно сказать про эти отношения? (проблемный вопрос для класса).

Ученики: если найти отношения, то получатся одинаковые ответы в правой и левой частях и можно между ними поставить знак равно.

Учитель: пары отношений равны между собой.

Определение. Равенство двух отношений называется пропорцией.

В буквенном виде пропорция записывается следующим образом

а, д – крайние члены; с, д – средние члены.

Правильное чтение пропорций (отношений, записанных выше).

По словарю Ожегова: Пропорция — 1)Равенство двух отношений 2)Определенное соотношение частей между собой, соразмерность(в частях здания).

Для запоминания определения пропорции можно выучить следующее четверостишие:

Кто с задачами постарается

Тот не упустит решений.

А пропорцией называется

Равенство двух отношений.

5.Историческая справка про «пропорции».

В древности учение о пропорциях было в большом почете у пифагорийцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. В 7 книге «Начал» Евклида (3 в. до н.э.) изложена теория отношений и пропорций. Современная запись пропорции выглядит так: а : в = с :д или . В то время Евклид вывел производные пропорции (а≠в, с≠д):

в : а = д : с (а + в) : в = (с + д) :д а : (а – в) = с : (с – д )

а : с = в : д (а – в) : в = (с – д) :д

Известный нам способ записи пропорций появился не сразу. Ещё в 17в. французский ученый Р.Декарт (1596-1650) записывал пропорцию

7 : 12 = 84 : 144 так /7/12/84/144/

Современная запись пропорции с помощью знаков деления и равенства была введена немецким ученым Г. Лейбницем (1646 – 1716) в 1693г.

Вначале рассматривали только пропорции, составленные из натуральных чисел. В 4 в. до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. Древнегреческие математики с помощью пропорций 1) решали задачи, которые в настоящее время решают с помощью уравнений, 2) выполняли алгебраические преобразования, переходя от одной пропорции к другой. Часть математики, в которой говорится об отношениях и пропорциях греки называли музыкой. Почему такое странное название? Дело в том, что греки создали и научную теорию музыки. Они знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже «толще» получается звук, который она издает. Они знали, что короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для уха, длины звучащих частей их должны быть в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях, о дробях и стало называться музыкой.

Пропорциональность является непременным условием правильного и красивого изображения предмета. Это мы видим в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе.

Рисунки о пропорциональности в природе и искусстве, архитектуре. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Творческое задание учащимся. Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16см. Отрежьте от него квадрат со стороной 10см. Что произойдет с прямоугольником, т.е. с отношением сторон? Затем снова от этого прямоугольника отрежьте квадрат со стороной 6см. Что произойдет в этом случае со сторонами прямоугольника?

Ученики: в первом и во втором случаях остается прямоугольник, одна сторона которого примерно в 1,6 раза больше другого.

Учитель: этот процесс можно продолжать и дальше. На прямоугольники, в которых стороны соотносятся приблизительно как 1,6:1, обратили внимание очень давно. Посмотрите на изображение храма Парфенон в Афинах (Приложение 1).

Даже сейчас это одно из самых красивых сооружений мира. Этот храм построен в эпоху расцвета древнегреческой математики. И его красота основана на строгих математических законах. Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник (Приложение 2), то окажется, что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза. Такой прямоугольник назвали золотым прямоугольником. Говорят, что его стороны образуют золотое сечение.

Понятие «золотого сечения»

Золотое сечение или божественное деление – это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей. Число 1,6 лишь приближенно ( с точностью до 0,1) представляет величину золотого сечения.

Пример 1.Если отрезок разделен на две части так, что меньшая имеет длину Х, а большая – длину У, то в случае золотого сечения У: (Х+У)=Х:У.

Пример2. В правильной пятиконечной звезде каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения.

Пример 3. На изображении раковины точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом сечении. АС : СВ = СВ : АВ

Пример 4. Знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского. Если высоту великолепно сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет этой пропорции мужская фигура.

Пример 5. Каждую отдельно взятую часть тела( голову, руку, кисть) также можно разделить на естественные части по закону золотого сечения.

Пример 6. Расположение листьев на общем стебле растений. Между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).

Вывод: Можно привести множество подобных примеров. Нам кажутся одинаково некрасивыми и квадратная, и слишком удлиненная прямоугольная форма: и та, и другая грубо нарушают пропорцию золотого сечения. То же можно наблюдать и во многих других случаях, когда прямоугольная форма предмета не зависит от практических целей и может свободно подчиняться требованиям вкуса. Прямоугольная форма книг, бумажников, тетрадей, фотографических карточек, рамок для картин – более или менее точно удовлетворяет пропорции золотого деления. Даже столы, шкафы, ящики, окна, двери не составляют исключения: в этом легко убедиться, взяв среднее из многих измерений.

6.Закрепление понятия « пропорция»

Разминка: У меня в руках 3 прямоугольника. Прямоугольники неравные, но один из них имеет размеры 5х8. На какой из них приятно смотреть?(Ответ: Древние греки считали, что прямоугольники у которых стороны относятся как 5х8 (стороны образуют «золотое сечение») имеют наиболее приятную форму.

Снова вспомнить определение пропорции.

Творческая работа для учащихся: 1). Составить всем простые пропорции и озвучить по очереди. 2). № 744по учебнику

А) Клоун составил следующие пропорции:

2) 4 : 6 = 2 : 3 Все ли пропорции составлены правильно? Почему?

Б) Почему равенства 1) 1 : 2 = 3 : 6 и 1,2 : 0,3 = 32 : 8 являются пропорциями?

2) 4,2 : 2 = 22 : 10 не является пропорцией?

7. Домашнее задание: №735, 752 выучить определения, придумать примеры предметов, имеющие форму золотого прямоугольника

8. Решение примеров

9.Творческое задание. Золотое сечение встречается и в растительном мире. На каждом столе лежит рисунок стебля растения. Составьте золотую пропорцию, сделайте необходимые измерения и вычислите коэффициент пропорциональности.

А). итог по выполненному заданию.

Б).ответы на вопросы.

1. Что такое отношение, пропорция?

2. Как называются числа в отношении, пропорции?

3. Что показывает отношение 2-х чисел?

Можно предложить такой вариант:

делить, преобразовать, сравнить

равенство, гармония, соразмерность, соотношение

Оценка работы каждого учащегося, отметки за урок.

Вывод по уроку: Знания, полученные на сегодняшнем уроке, помогут решать все типы задач на проценты с помощью пропорции. Позже с помощью пропорции вы будете решать задачи по химии, физике и геометрии.

Учебник под редакцией Н. Я. Виленкина – математика 6 класс

Большой энциклопедический словарь.

И. Ф. Шарыгин «Наглядная геометрия» 5-6класс, стр.99-101

Источник

Конспект урока математики в 6 классе по теме «Отношения и пропорции»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Кирюшина Елена Петровна,

учитель математики МБОУ СОШ №2 села Ермолаево

Конспект урока математики в 6 классе

по теме «Отношения и пропорции»

закрепить понятие пропорции и ее членов, чтение пропорции, составление пропорции из отношений, основное свойство пропорции;

закрепить навыки решения задач с помощью пропорции;

обратить особое внимание учащихся на применение пропорции в различных областях деятельности, важность изучения указанной темы для дальнейшего обучения в школе.

формировать умение применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;

развивать математический кругозор, логическое мышление и речь, внимание и памяти;

способствовать выработке навыков контроля и взаимоконтроля.

создать у учащихся положительную мотивацию к уроку математики, путем вовлечения каждого ученика в активную деятельность;

воспитывать потребность оценивать свою деятельность и работу товарищей;

помочь осознать ценность совместной деятельности;

Тип урока: урок закрепления изученного материала.

Методы обучения: частично-поисковый, взаимопроверка и самопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, работа в парах.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация, раздаточный материал.

Общая структура урока

уточнение направлений актуализации изученного материала;

сообщение темы, цели и задач урока, мотивация обучения;

воспроизведение изученного и его применение в стандартных условиях;

перенос приобретенных знаний и их первичное применение в новых или измененных условиях с целью формирования умений;

подведение итогов урока;

1. Приветствие учащихся.

2.1. С чего, как правило, нужно начинать новый день? Верно, с утренней гимнастики. Мы тоже с вами начнем урок с гимнастики для ума. Посмотрите на экран, что нужно сделать? (прочитать анаграммы и найти лишнее слово):

2.2. А на завтрак вы угостите друг друга напитком. (работа в парах, запись в тетрадях: число, классная работа. №1)

А если два отношения равны, то мы можем составить верную пропорцию.

3. Сообщение темы урока. Как можно сформулировать тему нашего урока? (Отношения и пропорции). На предыдущих уроках мы изучили основные понятия по этой теме, применяли свойство пропорции при решении задач. Сегодня мы продолжим эту работу, будем решать задачи, применяя основное свойство пропорции, а так же познакомимся с практическим применением пропорции.

3.1. Для успешной работы по решению задач нам необходимо хорошо знать теоретический материал:

Что называется пропорцией?

А что такое отношение?

Как найти неизвестный член пропорции?

В чем заключается основное свойство пропорции?

Какие виды пропорциональной зависимости вы знаете?

4. Применение знаний в стандартных условиях:

Даны равенства 5,3 × 2 = 10,6 × 1; 7 : 2 = 3 + 0,5 ; 18 : 6 = 30 : 10. Какие из них являются пропорциями? (слайд 3)

Прочитать пропорцию и назвать крайние и средние члены: 4,2 : 2,1=4 : 2. ( слайд 4)

Составьте верную пропорцию из чисел, обозначающих: (слайд 5)

1. количество цветов в спектре радуги;

3. удвоенное количество месяцев в году;

4. количество цветов на российском флаге, увеличенное на единицу.

Запишите пропорцию, если (слайд 12)

4.2. Решение задач ( по рядам): (слайд 13)

1ряд: Во время распродажи магазин делает скидку 20% на все товары. Сколько рублей стоил свитер до распродажи, если во время распродажи его купили за 600 рублей?

80 х =100*600, х = 750 руб.

2 ряд: После того, как цены на посуду в магазине были подняты на 20%, чашка стала стоить 132 р. Сколько рублей стоила чашка до повышения цены?

120х=132*100, х=110 руб.

3 ряд: В июле в магазин привезли 500 учебников по биологии, а в августе на 75% больше. Сколько учебников по биологии привезли в магазин в августе?

100х = 500*175, х=875 уч.

Я вам говорила, что темы «Проценты» и «Пропорции» изучаются только в 6 классе, но задачи на эти темы включены в экзаменационные работы за курс 9 и 11 классов. Эти задачи, которые мы с вами сейчас решили, я взяла из банка задач ГИА по математике в 2014 году. В демонстрационном варианте задачи такого типа стоят под №16.

5. Перенос приобретенных знаний и их первичное применение в новых или измененных условиях с целью формирования умений:

5.1. Учение об отношениях и пропорциях особенно успешно развивалось в IV веке до н.э. в Древней Греции. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Теория отношений и пропорций была подробно изложена в книге Евклида «Начала», там же приводится доказательство основного свойства пропорции. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей скульптуры, всего здания, растения и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности деление отрезка, при котором длина его большей части относится к длине всего отрезка, как длина меньшей части к большей. Это отношение ≈ 0, 618. (слайд 14)

Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. (слайд 16)

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный звездчатый пятиугольник, который можно найти в вавилонских рисунках. Для школы Пифагора звездчатый пятиугольник служил опознавательным знаком и символом здоровья.

Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. (слайд 17)

Источник

Конспект урока по математике для 6 класса по теме «Пропорции»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

План-конспект урока математики в 6 классе

Учебник «Математика – 6», Н.Я.Виленкин.

Тип урока: открытие новых знаний.

1. Ввести понятие «пропорция».

Организовать деятельность учащихся по выведению основного свойства пропорции.

3. Закрепить новые понятия.

Формировать у учащихся умение применять свойство пропорции.

Развивать логическое мышление для сознательного восприятия учебного материала.

Развивать познавательный интерес к предмету.

Прививать интерес к самостоятельной, активной деятельности.

Планируемые предметные результаты: учащиеся научатся записывать пропорции, проверять полученные пропорции, определяя отношения чисел.

Формы работы учащихся: групповая – обсуждение и выведение правила: что такое пропорция, как называют числа в пропорции, основное свойство пропорции; фронтальная – ответы на вопросы, чтение пропорции, выделение крайних и средних членов пропорции, проверка верности пропорции; индивидуальная – выполнение заданий № 1, 2, 3, 4 и выполнение самостоятельной работы.

Современные образовательные технологии: проблемное обучение, создание проблемной ситуации познавательного характера (теоретическое мышление).

(Это активизирует мысль учащихся, стимулирует их к самостоятельному приобретению знаний. Анализируют, сравнивают, обобщают и делают выводы, которые являются формулировками новых понятий.)

Что такое отношение чисел?

( Частное двух чисел называют отношением этих чисел )

Приведите примеры отношения чисел.

( 5 : 6 «отношение 5 к 6», …)

Сегодня мы продолжим работать с отношениями чисел и узнаем много нового про них.

1. Найдите отношение: а) 63 к 3; б) 4 к 20.

2. В классе 25 учащихся. Из них 15 мальчиков, остальные девочки.

Какую часть учащихся составляют мальчики, а какую – девочки?

3. Урок – 40 мин. Самостоятельная работа длилась 10 мин.

Какую часть урока заняла самостоятельная работа?

Выполнение заданий № 1, 2, 3, 4:

Саша и Дима бросали баскетбольный мяч в корзину. Саша из 26 бросков имел 13 попаданий, Дима из 30 бросков имел 15 попаданий. Найдите для каждого мальчика, какую часть составляли попадания от числа бросков и сравните их результаты.

Отношения равны, поэтому можно записать равенство:

13 = 15 или 13 : 26 = 15 : 30 (1)

Найдите отношения 10 сек к 2 мин и 2 ч к 1 сут и сравните эти отношения.

Отношения равны, поэтому можно записать равенство:

10 = 2 или 10 : 120 = 2 : 24 (2)

В этих двух заданиях мы получили равенство двух отношений.

РАВЕНСТВО ДВУХ ОТНОШЕНИЙ

Это новое понятие. Значит, какая у нас сегодня новая тема?

Запишите в тетрадь тему урока.

Значит, равенства (1) и (2) – пропорции.

В этих пропорциях участвуют числа.

а : b = с : d или а = с

Прочитайте эти записи.

( «Отношение а к b равно отношению с к d »

Итак, в пропорции участвуют 4 числа.

Их принято называть членами пропорции.

А в зависимости от их расположения в пропорции они могут быть разбиты на две группы. Каким образом? Как бы вы назвали члены каждой пары?

Вызвать к доске 4 чел (2 дев., 2 мал.; девочки – посередине, мальчики – по краям).

Как бы вы назвали расположение девочек и мальчиков в ряду?

(Девочки в середине, мальчики скраю)

Вернёмся к пропорции. Как бы вы назвали члены каждой пары?

( Средние и крайние члены пропорции )

Назовите средние и крайние члены в (1) и (2) пропорциях.

Задание для 1 варианта: найдите произведение крайних членов пропорций.

Задание для 2 варианта: найдите произведение средних членов пропорций.

( Произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции )

В верной пропорции произведение крайних членов

равно произведению средних членов пропорции.

20 : 2 = 40 : 8 – это равенство верное?

Можно сказать, что эта пропорция не верна.

Найдите произведение крайних и произведение средних её членов и сделайте вывод.

Попробуйте сформулировать утверждение:

«Если произведение …, то пропорция …».

ЕСЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КРАЙНИХ ЧЛЕНОВ РАВНО

ПРОИЗВЕДЕНИЮ СРЕДНИХ ЧЛЕНОВ ПРОПОРЦИИ,

ТО ПРОПОРЦИЯ ВЕРНА.

Среди равенств найдите пропорции и назовите их средние и крайние члены:

а) 25 + 13 = 8 + 30 г) 90 : 3 = 5 · 6

б) 33 : 11 = 6 : 2 д) 3 : 4 = 6 : 8

в) 5 + 15 = 50 – 30 е) 10 : 5 = 20 : 4

1) Составьте верную пропорцию из данных отношений:

2) Пользуясь основным свойством пропорции, проверьте, верна ли эта пропорция.

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

название членов пропорции,

основное свойство пропорции )

Заполните пропущенные места в карточке.

(Приложение 1 – карточки с самостоятельной работой)

По окончании самостоятельной работы учащиеся меняются своими работами, проверяют по образцу, ставят оценки:

(Приложение 2 – карточки с правильными ответами)

П.21, № 760, 761, 762 (а, б).

№ 1. Укажите средние и крайние члены пропорции,

Средние члены _________________________________

Их произведение ________________________________

Крайние члены _________________________________

Их произведение _______________________________

№ 2. Из данных отношений выберите те, из которых можно

составить верную пропорцию:

6 : 4 = _______________________________________

10 : 4 = _______________________________________

9 : 6 = _______________________________________

Верная пропорция: _____________________________

№ 3. Пользуясь основным свойством пропорции, проверьте,

верна ли пропорция:

Ответ: пропорция ( верна или не верна) ____________

Ответ: пропорция ( верна или не верна) ____________

ПРОВЕРКА самостоятельной работы.

№ 1. Средние члены 42 и 2

Их произведение 84

Крайние члены 21 и 4

Их произведение 84

Верная пропорция 6 : 4 = 9 : 6

Ответ: пропорция верна.

Ответ: пропорция не верна.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Урок математики в 6 классе по теме «Пропорции» по учебнику Виленкина.
Тип урока: открытие новых знаний.

Цели урока:
1. Ввести понятие «пропорция».
2. Организовать деятельность учащихся по выведению основного свойства пропорции.
3. Закрепить новые понятия.
4. Формировать у учащихся умение применять свойство пропорции.
5. Развивать логическое мышление для сознательного восприятия учебного материала.
6. Развивать познавательный интерес к предмету.
7. Прививать интерес к самостоятельной, активной деятельности.

Планируемые предметные результаты: учащиеся научатся записывать пропорции, проверять полученные пропорции, определяя отношения чисел.

Формы работы учащихся: групповая – обсуждение и выведение правила: что такое пропорция, как называют числа в пропорции, основное свойство пропорции; фронтальная – ответы на вопросы, чтение пропорции, выделение крайних и средних членов пропорции, проверка верности пропорции; индивидуальная – выполнение заданий № 1, 2, 3, 4 и выполнение самостоятельной работы.

Современные образовательные технологии: проблемное обучение, создание проблемной ситуации познавательного характера (теоретическое мышление).

(Это активизирует мысль учащихся, стимулирует их к самостоятельному приобретению знаний. Анализируют, сравнивают, обобщают и делают выводы, которые являются формулировками новых понятий.)

Источник