отношения в прямоугольном треугольнике формулы
Отношения в прямоугольном треугольнике формулы
Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один угол прямой (равен \(90^\circ\)).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\):
\(\alpha + \beta = 90^\circ\)
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\(\sin \alpha = \large\frac
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
\(\cos \alpha = \large\frac
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
\(\tan \alpha = \large\frac\normalsize\), \(\tan \beta = \large\frac\normalsize\)
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:
\(\cot \alpha = \large\frac\normalsize\), \(\cot \beta = \large\frac\normalsize\)
Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:
\(\sec \alpha = \large\frac
Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:
\(\csc \alpha = \large\frac
Теорема Пифагора
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\(
\(
где \(f\) и \(g\) − проекции, соответственно, катетов \(a\) и \(b\) на гипотенузу \(c\).
\(
где \(h\) − высота, проведенная от прямого угла к гипотенузе \(c\), а \(f\) и \(g\) − проекции, соответственно, катетов \(a\) и \(b\) на гипотенузу.
Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника
\(m_a^2 =
где \(
Медиана, проведенная к гипотенузе
\(
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
\(R = \large\frac
Площадь прямоугольного треугольника
\(S = \large\frac<
Прямоугольные треугольники
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
Подставим найденное значение в формулу косинуса
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где 
– катеты, 
– гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь 
прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота 
прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус 
описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус 
вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Формулы
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 :
2. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
3. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
4. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
5. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:
6. Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:
7. Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:
8. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
9. Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
10. Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла:
11. Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла:
12. Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними):
13. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
14. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника:
15. Медиана, проведенная к гипотенузе:
16. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника:
17. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
18. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника:
Все формулы прямоугольного треугольника — примеры расчетов
Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть 90 градусов). Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.
Формулы
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 :
2. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
3. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
4. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
5. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:
6. Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:
7. Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:
8. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
9. Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
10. Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла:
11. Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла:
12. Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними):
13. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
14. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника:
15. Медиана, проведенная к гипотенузе:
16. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника:
17. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
18. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника:
19. Периметр прямоугольного треугольника
