оценка неопределенности в измерениях практическое пособие н ю ефремова
Аккредитация в Росаккредитации
форум для аккредитованных лабораторий
Неопределенность измерений
#1 Неопределенность измерений
Абсолютно точных измерений не существует. При проведении измерения его результат зависит от измерительной системы, методики измерения, квалификации оператора, внешних условий и других факторов. Так, если измерять одну и ту же величину несколько раз одним способом и в одинаковых условиях, то, как правило, полученные значения измеряемой величины всякий раз будут разными. Их среднее должно обеспечить значение оценки истинного значения величины, которая будет более достоверной, чем отдельное показание. Разброс показаний и их число дают некоторую информацию в отношении среднего значения как оценки истинного значения величины, однако, этого недостаточно. В руководстве по оценке неопределенности измерений (GUM) предложено выражать результат измерения как наилучшую оценку измеряемой величины вместе с соответствующей неопределенностью измерения. Неопределенность измерения можно представить через степень уверенности. Такая неопределенность будет отражать неполноту знания об измеряемой величине. Понятие «уверенности» очень важно, т. к. оно перемещает метрологию в сферу, где результат измерения должен рассматриваться и численно определяться в терминах вероятностей, которые выражают степень доверия. Неопределенность измерения — «неотрицательный параметр, характеризующий рассеяние значений, приписываемых измеряемой величине на основании используемой информации».
Таким образом, параметр этого распределения (также называемый — неопределенность) количественно характеризует точность результата измерений. Сходными для обоих подходов являются последовательности действий при оценивании характеристик погрешности и вычислении неопределенности измерений: Методы вычисления неопределенности, так же как и методы оценивания характеристик погрешности, заимствованы из математической статистики, однако при этом используются различные интерпретации закона распределения вероятностей случайных величин.
Из рассмотренных метрологических ситуаций можно предложить общее правило: результаты измерений в большинстве метрологических ситуаций характеризуются неопределенностью, а нормативы точности средств измерений, измерительных и контрольных процедур характеризуются погрешностью. Таким образом, понятия «неопределенность» и «погрешность» рекомендуется гармонично использовать без взаимного противопоставления и исключения одного из них.
Измерения выполняются ради оценки результата, сравнения его с нормативами и правила оценки результатов обуславливают требования к выполнению измерений.
Термины и определения
3.1 предельные значения, пределы поля допуска (limiting values, specification limits) L: Установленные значения параметра, представляющие собой верхнюю и/или нижнюю границы допустимых значений.
3.2 нижняя граница поля допуска (lower specification limit) L SL: Нижняя граница допустимых значений параметра.
3.3 верхняя граница поля допуска (upper specification limit) U SL:Верхняя граница допустимых значений параметра.
3.4 оценка соответствия (conformity test): Систематическая оценка соответствия продукции, процесса или услуги установленным требованиям посредством испытаний.
3.5 область допустимых значений (region of permissible values): Интервал или интервалы всех допустимых значений параметра.
Примечание – Если иначе не установлено, предельные значения считают принадлежащими области допустимых значений.
3.6 область недопустимых значений (region of non-permissible values): Интервал или интервалы всех недопустимых значений параметра.
Оценка соответствия — важный аспект управления качеством производства, метрологического надзора, проверки соответствия требованиям безопасности и санитарным нормам (например, по выбросам, уровню радиации, содержанию химических веществ и т. д.).
Измерение является неотъемлемой частью оценки соответствия, когда необходимо решить, соответствует ли выходная (измеряемая) величина установленному требованию. Для единственной величины такое требование обычно принимает вид границ, определяющих интервал допустимых значений величины. При отсутствии неопределенности полученное значение измеряемой величины, лежащее в пределах границ, считают соответствующим требованиям, в противном случае — несоответствующим. Наличие неопределенности измерения влияет на процедуру контроля и делает необходимым установление баланса рисков производителя и потребителя.
Возможные значения контролируемой величины представляют в виде распределения вероятностей. Можно рассчитать вероятность, с которой она соответствует установленным требованиям.
Хотя вышеизложенное справедливо для любых распределений вероятностей, в основном, целесообразно рассматривать случай нормального распределения как наиболее характерного для практики.
1.5. Оценка фактических уровней производственных физических факторов должна проводиться с учетом неопределенности измерений*(1).
*(1) ГОСТ Р 54500.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-1:2009 “Неопределенность измерения. Введение в руководство по неопределенности измерения”, ГОСТ Р ИСО 10576-1-2006 “Руководство по оценке соответствия установленным требованиям.
Примечание: Приказом Росстандарта от 12 сентября 2017 г. N 1064-ст настоящий ГОСТ отменен с 1 сентября 2018 г. в связи с принятием и введением в действие ГОСТ 34100.1-2017/ISO/IEC Guide 98-1:2009 “Неопределенность измерения. Часть 1. Введение в руководства по выражению неопределенности измерения” для добровольного применения в РФ
СКО, характеризующее случайную погрешность Стандартная неопределенность, вычисленная по типу А
СКО, характеризующее неисключенную систематическую погрешность (погрешность СИ) Стандартная неопределенность, вычисленная по типу В
СКО, характеризующее суммарную погрешность Стандартная неопределенность, вычисленная по типу В
Доверительные границы погрешности Расширенная неопределенность
Метод исключения «промахов» по Q-критерию: (см также ГОСТ Р 8.736-2011)
Q=(X 1-X 2)/R
Наличие грубой погрешности доказано, если Q > Q (Р, n i).
Вычисление стандартной неопределённости измерений.
ПРИМЕЧАНИЕ: данный способ оценивания неопределённости измерений в терминологии ГОСТ Р 54500.3 является оцениванием по типу В. (настоящий ГОСТ отменен с 1 сентября 2018 г. в связи с принятием и введением в действие ГОСТ 34100.3-2017/ISO/IEC Guide 98-3:2008)
Среднеквадратическое отклонение: (синонимы: среднее квадратическое отклонение, среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическое совокупности выборок.
где
Θ – граница НСП симметричного доверительного интервала (выражена как абсолютная погрешность СИ);
Θ+, Θ– верхняя и нижняя граница НСП для несимметричных доверительных интервалов, например, когда погрешность СИ несимметрична в положительную и отрицательную сторону (при измерении плотности потока энергии).
где
X i — результат i-ro наблюдения (единичного замера),
X̅ — среднее арифметическое значение оценки величины X (результат измерения),
n — количество наблюдений (замеров); для многократных измерений количество замеров должно быть не менее 4.
Встречаются ситуации, когда измерения проводятся с однократным наблюдением, и в этом случае стандартная неопределённость измерений оценивается только как Sθ., которая рассчитывается на основе погрешностей СИ.
Вычисление расширенной неопределённости измерений
Расширенная неопределенность измерений (U) определяется как суммарная стандартная неопределенность (u), умноженная на коэффициент охвата (k):
Коэффициент охвата для уровня доверия 95% для двухстороннего интервала охвата можно принять равным 2, а для одностороннего интервала охвата равным 1,64 при условии, что количество замеров будет не менее 11, что соответствует числу степеней свободы, равному 10 (ГОСТ 54500.3, п. 6.3.3, G6.6 (настоящий ГОСТ отменен с 1 сентября 2018 г. в связи с принятием и введением в действие ГОСТ 34100.3-2017/ISO/IEC Guide 98-3:2008). Таким образом, чем больше измерений в выборке, тем меньше ожидаемая неопределенность измерений.
Одно и двусторонний интервал охвата
Интервал охвата = интервал неопределённости (плохой перевод: ГОСТ Р 54500.3-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 (п. 6.2.2) Раньше использовались термины «одно — и двусторонние доверительные интервалы».
Если неопределённость оценивается по типу А, то интервал охвата=интервалу неопределённости
К чему ведет недостаточное количество измерений?
Коэффициент охвата для уровня доверия 95% для двухстороннего интервала охвата можно принять равным 2, а для одностороннего интервала охвата равным 1,64 при условии, что количество замеров будет не менее 11, что соответствует числу степеней свободы, равному 10 (ГОСТ 54500.3, п. 6.3.3, G6.6 ). Таким образом, чем больше измерений в выборке, тем меньше ожидаемая неопределенность измерений.
Аттестованная методика измерений (МИ) должна содержать значения установленной точности измерений в виде расширенной неопределённости.
При наличии установленного МИ диапазона расширенной неопределённости (U), приведенного в используемой аттестованной МИ, в протоколе измерений следует указывать ее значение, если целью исследования является оценка значения величины с некоторой точностью. Как правило, аттестованные МИ содержат установленные значения расширенной неопределённости измерений для двухстороннего охвата при уровне доверия 95%: ±U(95%), при этом используется коэффициент охвата (k), равный 2. В этом случае результат измерений приводится в протоколе как:
Представление результатов оценивания неопределенности
Серия Руководство по применению СТБ ИСО/МЭК Н. Ю. Ефремова ОЦЕНКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ИЗМЕРЕНИЯХ. Практическое пособие
1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ МЕТРОЛОГИИ Серия Руководство по применению СТБ ИСО/МЭК 705 Н. Ю. Ефремова ОЦЕНКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ИЗМЕРЕНИЯХ Практическое пособие Минск 003
3 3 Предисловие Понятие «неопределенности» в измерениях, как определяемой в количественном отношении характеристики точности измерений, является относительно новым в истории измерений в противоположность терминам «погрешность» и «анализ погрешностей», которые уже давно используются в практике метрологии. Не смотря на то, что в некоторых странах неопределенность в измерениях начали оценивать сравнительно давно, отсутствие международного единства в этом вопросе привело к разработке семью международными организациями: Международное бюро мер и весов (МБМВ, BIPM), Международная электротехническая комиссия (МЭК, IEC), Международная федерация клинической химии (МФКХ, IFCC), Международная организация по стандартизации (ИСО, ISO), Международный союз по чистой и прикладной химии (ИЮПАК, IUPAC), Международный союз по чистой и прикладной физике (ИЮПАП, IUPAP), Международная организация законодательной метрологии (МОЗМ, OIML) такого международного документа как «Руководство по выражению неопределенности в измерениях» (далее Руководство) [0]. Целями данного Руководства явились: обеспечить полную информацию о том, как составлять отчеты о неопределенностях; предоставить основу для международного сличения результатов измерений. В эру глобального рынка необходимо, чтобы метод для оценки и выражения неопределенности был единым во всем мире так, чтобы измерения, проводимые в разных странах, можно было легко сличить. И именно такой универсальный метод, применимый ко всем видам измерений и различным уровням точности во многих областях измерений, начиная от магазина сопротивления до фундаментальных исследований, дает Руководство. Принципы этого Руководства предназначены для использования в широком спектре измерений, включая те, которые требуются для: обеспечения качества в процессе производства; согласованности и усиления законов и регулирующих актов; проведения фундаментальных и прикладных исследований в науке и технике; эталонов и приборов для калибровки и проведения испытаний; разработки, поддержания и сличения международных и национальных эталонов, включая стандартные образцы состава и свойств веществ и материалов. Поэтому сразу после издания в 993 году Руководство приобрело статус неформального международного стандарта, который привнес согласованность во все научные и технологические измерения и всемирное единство в оценке и выражении неопределенности в измерениях.
5 ИСО/МЭК 705 [8], то есть при проведении калибровок и испытаний в аккредитованных лабораториях. Так как Руководство является «тяжелым» документом, как по объему (00 страниц), так и по содержанию, то различные зарубежные метрологические организации и институты разработали на его основе упрощенные и ориентированные на конкретную область метрологической деятельности руководства. Органы по аккредитации, которые состоят в ЕА, гармонизировали на основе Руководства свои предписания по оценке неопределенности при калибровке и представили в качестве документа EA 4/0 [3]. В свою очередь Немецкая калибровочная служба (DKD) представила этот документ для своих лабораторий как DKD 3 [4, 5]. ВНИИМ им. Д. И. Менделеева (г. Санкт-Петербург) издал методические указания [3], которые помимо собственно рекомендаций по применению Руководства, содержат краткое изложение концепции неопределенности, сопоставление двух подходов к оцениванию точности на основе концепций неопределенности и погрешности измерения, а также примеры вычисления неопределенности и оценивания погрешности. В Белорусском государственном институте метрологии на сегодняшний день уже предприняты попытки по оценке неопределенности при измерениях метрологических характеристик конкретных объектов калибровки (средств измерений, эталонов) в различных областях измерений. На основании полученного при проведении таких работ опыта, длительного изучения теоретических аспектов и зарубежного опыта в оценивании неопределенности было разработано предлагаемое вниманию практическое пособие. В его основу были положены принципы Руководства [0], а также были использованы некоторые практические рекомендации, содержащиеся в других документах [, 3, 4, 5, 6]. Надеюсь, что в работу по изучению методов оценивания неопределенности в измерениях и по непосредственной ее оценке в различных областях измерений с большим интересом включатся метрологические и научные организации, калибровочные и испытательные лаборатории, а также учебные заведения. Это позволит выражать точность измерений в Беларуси в соответствии с международными нормами, что имеет одно из первостепенных значений при сотрудничестве с зарубежными странами, устранении технических барьеров посредством установления взаимного доверия к измерительной информации, участии в международных и региональных сличениях эталонов. Автор выражает искреннюю благодарность директору Белорусского государственного института метрологии (БелГИМа) Н. А. Жагоре и его заместителю Л. Е. Астафьевой за предоставленную возможность изучения теоретических основ оценивания неопределенности в ряде научных международных семинаров, прохождения практической стажировки в Физико-техническом институте Германии (PTB, Physikalisch-Technischen Bundesanstalt) и издания этого пособия. 5
7 7. Термины и определения В данном разделе представлены только самые основные термины и их определения, касающиеся неопределенности в измерениях. Все они соответствуют терминам, приведенным в Руководстве [4, 0] и/или в Международном словаре основных и общих терминов по метрологии []. Термины, определения которых не представлены в данном разделе, но выделены курсивом при первом упоминании в тексте пособия, содержатся в [4, 9, 0, ]. Некоторые основные термины из области теории вероятностей и математической статистики, также выделенные курсивом при первом упоминании в тексте пособия, представлены в Приложении 7. Неопределенность (измерения) это параметр, связанный с результатом измерений, который характеризует разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине. Из определения «неопределенности» следует, что она является количественной мерой точности соответствующего результата измерений, и выражает степень доверия, с которой может допускаться, что значение измеренной величины в условиях измерения лежит внутри определенного интервала значений. Или другими словами неопределенность является количественной мерой того, насколько надежной оценкой измеряемой величины является полученный при проведении того или иного измерения результат. Неопределенность делает возможным сравнить результаты различных измерений одинаковых измеряемых величин между собой или с эталонными значениями. А установление доверия к результатам измерений с помощью их сравнения важно в национальной торговле и международном товарообмене. Это помогает устранять торговые и экономические барьеры, устанавливать соглашения о взаимном признании результатов испытаний. Таким образом, неопределенность измерения можно назвать мерой: наших знаний об измеряемой величине после измерения; качества измерения с точки зрения их точности; надежности результата измерений, в качестве оценки для значения измеряемой величины. Стандартная неопределенность неопределенность результата измерений, выраженная как стандартное отклонение. Суммарная стандартная неопределенность стандартная неопределенность результата измерений, когда результат получают из значений ряда других величин, равная положительному квадратному корню суммы членов, причем члены являются дисперсиями или ковариациями этих других величин, взвешенными в соответствии с тем, как результат измерений изменяется в зависимости от изменения этих величин.
11 неопределенности, а, следовательно, вносимые ими вклады в суммарную неопределенность и ее величина. Однако нет четкого правила относительно того, как необходимо составлять модель измерения. Можно лишь дать некоторые рекомендации: основными исходными данными для составления модели являются: объект измерения, метод измерения (метод непосредственной оценки прямое измерение, метод замещения, метод сравнения), методика измерения, схема или принцип измерения прибора; важно представить физический принцип измерения (вплоть до полного устройства средства измерений) и всю цепь преобразования измеряемой величины в процессе ее измерения, при этом может использоваться принцип «Причина Влияние Следствие» (см. рис. ); функция модели f может описывать одновременно метод измерения и алгоритм оценки, если измеряемая величина определяется как расчетное значение; необходимо принимать во внимание особенности шкал или табло средств измерений, разрешающую способность, а также чувствительность приборов; математическая модель должна всегда пересматриваться, когда наблюдаемые данные показывают, что модель неадекватна; функцию модели можно определить экспериментально или она может существовать как алгоритм, который должен быть реализован численно или в компьютерной программе, с помощью которой проводится числовая обработка измерения, или она может быть комбинацией из всех этих форм Процесс моделирования может быть бесконечным, но всегда нужно находить баланс между тщательностью составления модели и необходимой точностью. Тщательность анализа всех входных величин, а также уровень, до которого математически необходимо моделировать измерение может определяться: требованиями заказчика; требованиями к точности метода измерения; величиной допуска на измеряемую величину Y Набор входных величин можно разделить на две следующие группы: ) величины, чьи значения и неопределенности определяются непосредственно в текущем измерении. Эти значения и неопределенности можно получить, например, в результате одного наблюдения, повторных наблюдений или заключения, основанного на опыте, и они могут требовать определения поправок в показания прибора и поправок на влияющие величины такие, как температура окружающей среды, атмосферное давление и влажность;
12 ) величины, чьи значения и неопределенности вносятся в измерение из внешних источников, такие как величины, связанные с аттестованными эталонами, стандартными образцами или стандартными справочными данными Для упрощения составления математической модели измерения и выявления всех необходимых для каждой конкретной измерительной задачи входных величин в Приложении представлен список некоторых источников неопределенности Уравнение модели должно всегда сопровождаться списком применяемых в нем символов и обозначаемых ими величин с кратким описанием или пояснением того, на каком основании эти величины были включены в модель измерения. Это можно сделать в форме, представленной в п.. Приложения. 5. Оценивание значений и стандартных неопределенностей входных величин 5.. Для каждой величины, входящей в уравнение модели () необходимо определить оценку и стандартную неопределенность. При этом все входные величины вследствие того, что их значения не могут быть точно известны, являются случайными непрерывными величинами. Тогда оценками входных величин, обозначаемыми в общем виде малыми буквами (x, x,, x N ), являются их математические ожидания. А стандартными неопределенностями u(x i ) входных величин будут стандартные отклонения этих величин Х i. 5.. Каждую оценку входной величины x i и связанную с ней стандартную неопределенность u(x i ) получают из распределения вероятностей входной величины X i. Распределение вероятностей является представлением наших знаний о величине. А вероятность является количественной мерой или степенью нашей разумной уверенности в справедливости некоторого утверждения или предположения относительно того, что выдвинутая гипотеза подтверждается (эта вероятность часто называется субъективной вероятностью). Такой гипотезой в метрологии является утверждение относительно возможных значений измеряемой величины на основании имеющихся знаний. Например, в высказывании «наша уверенность в том, что значение измеряемой величины лежит в интервале между а и b составляет 0,5 или 50 %» гипотезой является утверждение о том, что значение измеряемой величины лежит в интервале между а и b (при этом данная гипотеза выдвигается на основании имеющейся у нас информации об измеряемой величине), а мерой нашей уверенности, что это действительно так, является вероятность, которая составляет 0,5. Далее это высказывание следует представить в математической форме в виде распределения вероятностей. В зависимости от вида имеющихся знаний о величине (под знаниями понимается любая имеющаяся значимая информация) распределение вероятностей
13 может быть распределением частот, то есть основанным на статистических данных (например, на сериях наблюдений Х ik величины Х i ) или оно может быть априорным распределением, основанным на любой не статистической информации. В обоих случаях распределения вероятностей являются описанием наших неполных знаний о величинах, и оба этих подхода являются признанными интерпретациями вероятности, как количественной меры наших знаний или утверждений относительно значений величин Распределения вероятностей описываются с помощью специальных функций: функции распределения и/или функции плотности вероятности. Функции плотностей также называют законами распределения случайных величин, например, закон Гаусса, прямоугольный, треугольный и т. д. (см. п. 5.7.). В зависимости от вида закона распределения вероятностей величины получают необходимые математические ожидания и стандартные отклонения величины. Для нахождения закона распределения каждой величины X i необходимо использовать всю имеющуюся информацию о ней, которые можно почерпнуть из результатов наблюдений, сертификатов калибровки, спецификаций или технических условий изготовителя, результатов исследовательских работ, контрольных карт качества процесса, любой справочной литературы, а также личного опыта и интуиции специалиста-метролога На типе имеющейся информации о величине (статистической или нестатистической) основано деление способов оценивания стандартных неопределенностей: оценивание по типу А и оценивание по типу В. Оценивание по типу А осуществляют путем статистического анализа серий наблюдений и значения стандартных неопределенностей получают из функции плотности вероятности, полученной из наблюдаемого распределения частот. При оценивании по типу В значения стандартных неопределенностей получают из априорной функции плотности вероятности, то есть предполагаемой функции плотности вероятностей, основанной на степени уверенности в том, что событие произойдет. Стандартные неопределенности часто называют в зависимости от метода их оценивания: стандартные неопределенности типа А и стандартные неопределенности типа В Стандартная неопределенность, связанная с оценкой измеряемой величины, имеет такую же размерность, как и само значение оценки, т. е. выражается в тех же единицах измерений. В некоторых случаях рационально применять относительную стандартную неопределенность. Она является стандартной неопределенностью, связанной с оценкой, разделенной на модуль (абсолютное значение) оценки, и поэтому является безразмерной. Ее применение становится невозможным, когда значение оценки равно нулю (см. п. 9.6). 3
14 Оценивание (стандартной неопределенности) по типу А Оценивание (стандартной неопределенности) по типу А может основываться на любых обоснованных методах статистической обработки данных, таких как: расчет стандартного отклонения и среднего значения на основании серии наблюдений (см. п. 5.6.); использование метода наименьших квадратов для подбора кривой к данным (например, градуировочной кривой) и для получения соответствующих оценок параметров аппроксимации и их стандартных отклонений [4, 0, ]; проведение дисперсионного анализа для идентификации и определения значений отдельных случайных эффектов в измерениях, чтобы эти эффекты могли быть правильно приняты во внимание при оценивании неопределенности [4, 0, ]; и т. п. Если ситуация является достаточно сложной, необходимо получить консультацию у эксперта по статистике В качестве примера оценивания по типу А можно рассмотреть величину Q, для которой были получены n независимых наблюдений в одинаковых условиях измерения. В этом случае оценкой величины Q будет среднее арифметическое значение или среднее q из n наблюдений q k (k =. n) : q = n n q k k= (4) Стандартная неопределенность, связанная с оценкой q, является экспериментальным стандартным отклонением среднего значения и равна положительному квадратному корню из экспериментальной дисперсии среднего значения: u( q ) = s( q ) = n( n ) n k= ( qk q ) (5) При этом экспериментальная дисперсия наблюдений n k = s ( qk ) = ( qk q ) оценивает дисперсию распределения вероятностей, ко- n торое в данном случае является распределением частот, лежащим в основе наблюдений. Примечание: Если число n повторных наблюдений небольшое (n 15 рассчитана по методу А. Если число n наблюдений не может быть увеличено, то должны приниматься в расчет другие описанные далее методы оценки стандартной неопределенности (см. п. 9.3 и Приложение 3) Если для измерения, проводимого по хорошо определенному методу измерения, который находится под статистическим контролем, имеется комбинированная или совместная оценка дисперсии 5, которая характеризует измерение, то она при известных условиях будет лучше оценивать дисперсию распределения вероятностей, лежащего в основе наблюдений, чем экспериментальная дисперсия, оцененная из малого числа наблюдений. В этом случае стандартное отклонение среднего значения оценивается как: s p s( q ) = (6) n 5.7. Оценивание (стандартной неопределенности) по типу В Оценивание (стандартной неопределенности) по типу В основывается на базе научного суждения, основанного на всей доступной информации о возможной изменчивости Х i. Фонд информации может включать: данные предварительных измерений; данные, полученные в результате опыта, или общие знания о поведении и свойствах соответствующих материалов и приборов; спецификация изготовителя; данные, которые приводятся в свидетельствах о калибровке и в других сертификатах; неопределенности, приписываемые справочным данным, взятым из справочников. Правильное использование фонда доступной информации для оценивания стандартной неопределенности по типу В требует интуиции, основанной на опыте и общих знаниях, и является мастерством, которое приходит с практикой и опытом Имеющуюся информацию о величинах X i необходимо правильно описать с помощью функции распределения вероятностей, чтобы затем определить оценки величин и их стандартные отклонения. При этом используются следующие основные распределения: ) прямоугольное (равномерное); ) треугольное; 3) трапецеидальное; 4) U образное (арксинуса); 5) нормальное (Гаусса). s p
18 8 При оценивании неопределенности по типу А необходимо также привести список результатов наблюдений, непосредственно считанных с прибора, и расчет их статистических характеристик: среднее арифметическое значение, стандартное отклонение результатов наблюдений, стандартная неопределенность (см. п. 4 Приложения ). 6. Анализ корреляций 6.. Две входные величины могут быть независимы или связаны между собой, то есть взаимозависимы или коррелированны. В концепции неопределенности имеется в виду корреляция «логическая», а не математическая. На сколько эффект корреляции должен приниматься в расчет, зависит от соответствующего измерения, от знаний о методе измерения и от проведенной оценки взаимных зависимостей входных величин. Может существовать значительная корреляция между двумя входными величинами, если при их определении используют один и тот же измерительный прибор, физический эталон измерения или справочные данные, имеющие значительную стандартную неопределенность. Например, если поправка на температуру, необходимая для оценки одной входной величины Х i, получается с помощью некоторого термометра и такая же поправка на температуру, необходимая для оценки входной величины X j, тоже получается с помощью этого же термометра, то две входные величины могут быть значительно коррелированны. В общем, необходимо обратить внимание на то, что пренебрежение корреляциями между входными величинами может привести к ошибочной оценке стандартной неопределенности выходной величины. Иногда корреляции могут исключаться с помощью подходящего выбора функции модели. 6.. Мерой взаимной зависимости или корреляции двух случайных величин является ковариация [9]. Ковариация, связанная с оценками двух входных величин Х i и X j может устанавливаться равной нулю или рассматриваться как пренебрежимо малая, если а) обе входные величины Х i и X j являются независимыми друг от друга, например, если они в различных, независимых один от другого экспериментах многократно, но не одновременно наблюдались или если они представляют (описывают) результирующую величину различных, независимых друг от друга проведенных исследований или если б) одна из входных величин Х i и X j может рассматриваться как константа или если в) исходя из наших знаний и предположений просто не имеется никаких оснований для корреляции между входными величинами Х i и X j Если две входные величины Х i и X j являются коррелированными в определенной степени, то есть они являются зависимыми друг от друга тем или иным
19 способом, то при оценивании суммарной стандартной неопределенности (см. п. 9) среди вкладов неопределенностей входных величин должна учитываться их ковариация, которая оценивается по следующей формуле: r( u( xi, x j ) = u( xi )u( x j )r( xi, x j ) (i j) (7) Степень корреляции определяется с помощью коэффициента корреляции x, x ), (i j и r ) i j 6.4. В случае n пар независимых повторных наблюдений двух величин P и Q ковариация их средних арифметических значений p и q оценивается по формуле: 9 u( p,q ) = s( p,q ) = n( n ) n k = ( qk q )( pk p ) (8) Оцененный коэффициент корреляции для P и Q получают из уравнения (7): s( p,q ) r ( p,q ) = (9) s( p )s( q ) 7. Бюджет неопределенности 7.. Бюджет неопределенности служит для обобщения и наглядного представления всей полученной и проанализированной ранее (п. 4 6) информации в количественной форме о входных величинах с целью облегчения непосредственного расчета значения стандартной неопределенности выходной величиной. Бюджет неопределенности может также использоваться для анализа вкладов от каждого источника неопределенности в суммарную неопределенность с целью определения точности измерительного процесса, корректировки модели измерения или поиска способов уменьшения влияния некоторых источников неопределенности. 7.. Бюджет неопределенности представляет собой таблицу, в которой содержится как минимум следующая информация: список всех источников неопределенности, то есть входных величин с принятыми в модели обозначениями (п.4); полученные по п. 5 значения оценок входных величин х i и связанные с ними стандартные неопределенности u(x i ); коэффициенты чувствительности с i (см. п. 9); вклады неопределенности каждой входной величины u i (y) (см. п.9). Для занесенных в таблицу числовых значений должны указываться единицы измерений соответствующих величин В таблице могут также содержаться другие необходимые данные, такие как: тип оценивания неопределенности, вид распределения, диапазон значений
20 0 величины, процентный вклад от каждого источника неопределенности в суммарную неопределенность и т. п Пример такой таблицы для бюджета неопределенности представлен в п. 7 Приложения После составления бюджета неопределенности можно рассчитать оценку выходной величины y в соответствии с п. 8 и связанную с ней стандартную неопределенность u(y) в соответствии с п Расчет оценки выходной величины 8.. Оценка выходной величины Y, обозначаемая у, является результатом измерения величины, значение которой необходимо установить при проведении измерения. Эту оценку получают из уравнения (), заменяя входные величины X i их оценками x i. y = f (x, x. x N ) (0) При этом предполагается, что значения входных величин являются в прямом смысле лучшими оценками входных величин, что они были откорректированы (были внесены поправки) на влияния и эффекты, значимые для данной модели. Если это не так, то необходимые поправки должны вводиться в модель в качестве отдельных входных величин. Замечание: Следует отличать результаты наблюдений, которые непосредственно считывают с табло средств измерений, от результата измерений, который получают в результате расчета по п Если функция модели f является суммой или разностью входных величин X i : N f ( X, X. X N ) = pi X i () i= где множители р i для каждой входной величины X i являются положительными или отрицательными числами, то оценка выходной величины в соответствии с равенством (0) также дает в результате соответствующую сумму или разницу оценок входных величин: y = N i= p i x i 8.3. Если функция модели f является произведением или отношением входных величин X i : N i= () pi f ( X, X. X ) = c X (3) N i
21 где степени р i для каждой входной величины X i, а также общий множитель с являются положительными или отрицательными числами, то оценка выходной величины в свою очередь является соответствующим произведением или отношением оценок входных величин: y = c N i= p x i i (4) 9. Расчет стандартной неопределенности выходной величины 9.. Как было сказано в п. 3 результат измерений является полным, только если полученное в соответствии с п. 8 значение оценки измеряемой величины Y сопровождается значением неопределенности. А главной целью всех проведенных ранее в пп. 4 7 действий, которые можно кратко назвать анализом неопределенности, является подготовка к расчету стандартной неопределенности выходной величины, описанная в данном пункте. Стандартная неопределенность выходной величины Y, обозначаемая u(y), представляет собой стандартное отклонение оценки выходной величины или результата измерений и характеризует разброс значений, которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине Y. Стандартная неопределенность выходной величины Y получается путем суммирования стандартных неопределенностей входных величин u(х i ) (и их ковариаций в зависимости от обстоятельств), оцененных то типу А (см. п. 5.6) или по типу В (см. п. 5.7), используя обычный метод суммирования или объединения стандартных отклонений. Поэтому стандартная неопределенность выходной величины Y является суммарной или комбинированной стандартной неопределенностью, обозначаемой u c (y). Применяемый для суммирования стандартных неопределенностей метод в терминах концепции неопределенности по [0] называется Законом распространения неопределенностей, а в просторечии «корень из суммы квадратов». 9.. Суммарная стандартная неопределенность вычисляется следующим образом: ) В случае некоррелированных входных величин: u N f c ( y ) = u ( xi ) i= xi (5) ) В случае коррелированных входных величин: N N N N N f f f f f c ( y ) = u( xi, x j ) = u ( xi ) + u( xi, x j ) i= j= xi x j i= xi i= j= i+ xi x j u (6) где u(x i, x j ) определяется по формуле (7) п. 6.3.
22 Уравнения (5) и (6) базируются на аппроксимации функции модели Y = f (X ind, X, X,, X N ) рядом Тейлора первого порядка. Это справедливо только для линейных функций. При значительной нелинейности функции f в ряд Тейлора нужно включать члены более высокого порядка в выражение для u c (y) (уравнения (5) или (6)). Но более правильным и осмысленным решением в этом случае будет «расчет» распределения измеряемой величины, из которого затем рассчитывается математическое ожидание и стандартная неопределенность. В настоящее время для такого расчета используется Метод Монте-Карло [6] Частные производные f x i в уравнениях (5) и (6) называются коэффициентами чувствительности с i. Коэффициенты чувствительности показывают, как выходная оценка у изменяется с изменением значений входных оценок x, x,, x N. Строго говоря, частные производные представляют собой f x f = i X i оцененные на математических ожиданиях Х i. Однако на практике частные производные оцениваются как:, c i f f = = (7) x X i i x,x. x N Коэффициенты чувствительности с i вместо того, чтобы рассчитываться из функции f, иногда определяются экспериментальным путем с помощью измерения изменения в Y, вызванного изменением в выбранном X i, поддерживая при этом остальные входные величины неизменными. В этом случае знание функции f (или части ее, когда таким образом определяются только некоторые коэффициенты чувствительности) сводится к эмпирическому разложению в ряд Тейлора первого порядка, основанному на измеренных коэффициентах чувствительности С учетом формулы (7) формулы (5) и (6) преобразуются в следующие выражения: ) В случае некоррелированных входных величин: u N N c ( y ) = [ ciu( xi )] = ui ( y ) i= i= (8) ) В случае коррелированных входных величин: u ( y ) = = c N i= i N i= i u ( y ) + c u ( x N i N i= j= i+ ) + i N j N i i= j= i+ c c u( x u ( y )u ( y )r( x, x ) j i i )u( x j j )r( x, x i j ) = (9)
23 где r(x i, x j ) определяется из формулы (7) или (9) п. 6.3, u i (y) (i=. N) является вкладом в стандартную неопределенность, связанную с оценкой у выходной величины, который получается из стандартной неопределенности, связанной с оценкой входной величины x i, по следующей формуле [3]: ui ( y ) = ciu( xi ) (0) 9.5. В то время как стандартная неопределенность u(x i ) всегда положительна, вклад неопределенности u i (y) в соответствии с равенством (0) в зависимости от знака коэффициента чувствительности может принимать положительное или отрицательное значение. В случае некоррелированных величин этот знак не играет роли, так как в соответствии с формулой (8) при расчете суммарной стандартной неопределенности вклады неопределенности u(x i ) возводятся в квадрат. В случае коррелированных входных величин u(x i ) знак обязательно должен приниматься во внимание. Так для суммы или разности двух коррелированных величин (Y = Х ± X ), суммарная стандартная неопределенность в соответствии с (9) будет соответственно равна: u ( y ) = u ( x ) + u ( x ) ± u( x )u( x )r( x, x ) () 9.6. Если функция модели f является суммой или разностью некоррелированных входных величин X i (см. п. 8.), то коэффициенты чувствительности, равные множителям р i, и равенство (8) приводят к: 3 u N c ( y ) = pi u ( xi ) i= () Если функция модели f является произведением или отношением некоррелированных входных величин X i (см. п. 8.3), то в этом случае уравнение (8) можно представить в виде: u c ( y ) y = N i= pi u( xi x i ) (3) Это уравнение имеет такой же вид как и уравнение (8), но с суммарной стандартной неопределенностью, выраженной как относительная суммарная стандартная неопределенность u c (y)/ y ( y 0) и стандартными неопределенностями входных величин u(x i ), выраженных как относительные стандартные неопределенности u(x i )/ x i ( x i 0), см. также п. 5.5.