перевод чисел в алгебраическую форму

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Перевод чисел в алгебраическую форму

Понятия комплексные или мнимые числа впервые начали применяться при решении квадратных уравнений. Когда дискриминант получался меньше нуля (D Онлайн калькулятор комплексных чисел

Программа выполняет вычисления c комплексными числами, представленными в алгебраической или показательной форме, а так же рациональными числами.

Сложение и вычитание комплексных чисел необходимо осуществлять в алгебраической форме, если число представлено в иной форме, нужно перевести его в алгебраическую, воспользовавшись калькулятором, или же вручную по формулам ниже:

Умножение и деление комплексных чисел возможно реализовать как в алгебраической, так и в показательной формах. Но намного практичней осуществлять действие в показательной форме, этот способ займет намного меньше времени при расчете, например, токов короткого замыкания.

Сложение сопряженных чисел:

При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо избавиться от мнимой составляющей в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножают на число, сопряженное знаменателю.

Перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот возможно осуществить с помощью калькулятора для комплексных чисел, который Вы можете скачать по ссылке. Кстати, именно этим калькулятором я пользовался при расчете комплексных чисел ТОЭ, когда учился в университете. Пользоваться им крайне просто. Для перевода в разные формы используется установка нужного «флажка».

Если на руках имеется реальный калькулятор, который Вы купили в канцелярском магазине, и он обладает возможностью расчета комплексных чисел, то внимаем. Сейчас расскажу как им пользоваться.

1. Чтоб перевести комплексное число 5+3i из алгебраической формы в показательную, нажимаем клавиши в следующей последовательности:

Источник

Перевод чисел в алгебраическую форму

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Перевод чисел в алгебраическую форму

Геометрическая интерпретация комплексного числа – точка (или вектор) на плоскости.

По оси абсцисс расположена ось действительных чисел (положительное направление обозна чено +1), а по оси ординат – ось мнимых чисел (положительное направление обозначено +j).

Проекция вектора на ось +1 – действительная часть, а проекция на ось +j – мнимая часть. Таким образом, алгебраическая форма записи соответствует декартовой (прямоуг ольной) системе координат (обозначим её xy).

Этот же вектор м ожет быть задан и в полярной системе координат. То есть через длину вектора I и угол поворота ψ (обозначим её rθ). Полярной системе координат соответствует показательная форма записи комплексного числа

где I – модуль комплексного числа; ψ – аргумент (или попросту угол)

Обе формы записи (алгебраическая и показательная) используются при расчётах: складывать и вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме записи, а делить и умножать – в показательной. Следовательно, нужно уметь переводить комплексные числа из алгебраической формы записи в показательную (→rθ) и из показательной в алгебраическую (→xy).

Основные операции с комплексными числами

Сложение

Пусть два комплексных числа заданы в алгебраической форме записи

То есть при сложении действительные части складываются с действительными, а мнимые с мнимыми.

Вычитание – аналогично:

Умножение

Пусть два комплексных числа заданы в показательной форме записи

То есть при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются

Деление

Пусть два комплексных числа заданы в показательной форме записи

То есть при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

Операции с комплексными числами на инженерных калькуляторах

Первое на что нужно обратить внимание при включении калькулятора это, в каких единицах измеряются углы.

Источник

Полярное и алгебраическое представления комплексных чисел

Чтобы работать с комплексными числами без рисования векторов, нам сначала нужно разобраться со стандартными математическими преставлениями. Существует две основных формы представления комплексных чисел: полярная и алгебраическая.

Полярное представление комплексного числа

Полярная форма – это когда комплексное число обозначается длиной (также известной как амплитуда, абсолютная величина или модуль) и углом его вектора (обычно обозначается символом угла, который выглядит следующим образом: ∠).

Если использовать аналогию с картой, полярное обозначение вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего будет примерно таким: «2400 миль к юго-западу». Ниже показано несколько примеров векторов и их полярных обозначений:

Рисунок 1 – Векторы с их полярными обозначениями

Стандартная ориентация углов векторов в расчетах цепей переменного тока определяет 0° как вправо (по горизонтали), то есть 90° – это непосредственно вверх, 180° – это влево, и 270° – это непосредственно вниз. Обратите внимание, что векторы, расположенные под углом «вниз», могут иметь углы, представленные в полярной форме как положительные значения, превышающие 180°, так и как отрицательные значения, меньшие 180°.

Рисунок 2 – Векторный компас

Алгебраическое представление комплексного числа

Алгебраическая форма – это когда комплексное число обозначается соответствующими горизонтальной и вертикальной составляющими. По сути, вектор считается гипотенузой прямоугольного треугольника, описываемого длинами прилежащего и противолежащего катетов.

Вместо того чтобы описывать длину и направление вектора с помощью обозначения амплитуды и угла, он описывается в терминах «как далеко влево/вправо» и «как далеко вверх/вниз».

Эти двумерные значения (по горизонтали и по вертикали) обозначаются двумя числами. Чтобы различать друг от друга эти значения по горизонтали и по вертикали, перед значением по вертикали ставится префикс в нижнем регистре «i» (в чистой математике) или «j» (в электронике).

Эти строчные буквы представляют не физическую переменную (такую как мгновенный ток, также обозначаемый строчной буквой «i»), они представляют собой математические операторы, используемые для различения вертикальной составляющей вектора от его горизонтальной составляющей. В полном представлении комплексного числа эти горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы (рисунок ниже):

Рисунок 3 – В «алгебраической» форме длина и направление вектора обозначаются через его размеры по горизонтали и по вертикали, первое число представляет размер по горизонтали («действительный»), а второе число (с префиксом «j») – размер по вертикали («мнимый»)

Горизонтальная составляющая называется действительной составляющей, поскольку это измерение совместимо с обычными скалярными («действительными») числами. Вертикальная составляющая называется мнимой, поскольку это измерение находится в другом направлении, совершенно чуждом шкале действительных чисел (рисунок ниже).

Рисунок 4 – Векторный компас, показывающий действительную и мнимую оси

«Действительная» ось графика соответствует знакомой числовой прямой, которую мы видели ранее (с положительными и отрицательными значениями на ней). «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «действительной».

Поскольку векторы являются двумерными объектами, для их представления у нас должна быть двухмерная «карта», т.е. две числовые прямые, перпендикулярные друг другу (рисунок ниже):

Рисунок 5 – Векторный компас с действительной и мнимой («j») числовыми прямыми

Преобразование из полярной формы в алгебраическую

Для комплексных чисел допустим любой метод записи. Основная причина наличия двух методов записи – простота вычислений вручную, алгебраическая форма позволяет использовать сложение и вычитание, а полярная форма позволяет использовать умножение и деление.

Преобразование между этими двумя формами записи требует использования простой тригонометрии. Чтобы преобразовать полярную форму в алгебраическую, найдите действительную составляющую, умножив амплитуду в полярной форме на косинус угла, и мнимую составляющую, умножив амплитуду в полярной форме на синус угла.

Это легче понять, если нарисовать значения как стороны прямоугольного треугольника, гипотенуза треугольника представляет сам вектор (его длина и угол по отношению к горизонтали – это полярная форма), горизонтальная и вертикальная стороны представляют собой соответственно «действительную» и «мнимую» алгебраические составляющие (рисунок ниже):

Рисунок 6 – Амплитуда вектора в выражении через действительную (4) и мнимую (j3) составляющие

Преобразование из алгебраической формы в полярную

Чтобы преобразовать алгебраическую форму в полярную, найдите амплитуду в полярной форме с помощью теоремы Пифагора (амплитуда в полярной форме – это гипотенуза прямоугольного треугольника, а действительная и мнимая составляющие являются соответственно прилежащим и противолежащим катетами), а угол, вычислив арктангенс результата деления мнимой составляющей на действительную составляющую:

Источник