первый закон кирхгофа в операторной форме формула
Первый закон кирхгофа в операторной форме формула
Сущность операторного метода заключается в том, что функции 
вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция 
комплексной переменной 
, которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.
Изображение 
заданной функции 
определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:
 . | (1) |
В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:
или 
Следует отметить, что если оригинал 
увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля 
. Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.
В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.
Таблица 1. Изображения типовых функций
Оригинал  | Изображение  |
| A |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Некоторые свойства изображений
.
.
С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что
.
Изображения производной и интеграла
В курсе математики доказывается, что если 
, то 
, где 
— начальное значение функции 
.
Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать
или при нулевых начальных условиях
.
Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности
.
Аналогично для интеграла: если 
, то 
.
С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:
.
или при нулевых начальных условиях
,
откуда операторное сопротивление конденсатора
.
Закон Ома в операторной форме
Пусть имеем некоторую ветвь 
(см. рис. 1), выделенную из некоторой
сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.
Для мгновенных значений переменных можно записать:
.
Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:
.
 , | (2) |
где 
— операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.
Следует обратить внимание, что операторное сопротивление 
соответствует комплексному сопротивлению 
ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на 
.
Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.
Законы Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю
.
Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура
.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде
.
В первом случае в соответствии с законом Ома 
.
Во втором случае, т.е. при 
, для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:
откуда 
; 
и 
.
Переход от изображений к оригиналам
Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:
1. Посредством обратного преобразования Лапласа
,
которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:
.
На практике этот способ применяется редко.
2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями
В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.
Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать
.
Тогда в соответствии с данными табл. 1
,
что соответствует известному результату.
3. С использованием формулы разложения
Пусть изображение 
искомой переменной определяется отношением двух полиномов
,
где 
.
Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
 , | (3) |
где 
— к-й корень уравнения 
.
Для определения коэффициентов 
умножим левую и правую части соотношения (3) на ( 
):
.
При 
.
Рассматривая полученную неопределенность типа 
по правилу Лопиталя, запишем
.
.
Поскольку отношение 
есть постоянный коэффициент, то учитывая, что 
, окончательно получаем
 . | (4) |
Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения 
равен нулю, т.е. 
, то уравнение (4) сводится к виду
.
В заключение раздела отметим, что для нахождения начального 
и конечного 
значений оригинала можно использовать предельные соотношения
которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.
С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.
Ответ: 
.
Ответ: 
.
Курс лекций по электротехнике
Законы Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа:
Так как изображение любого тока по Лапласу имеет вид
тогда первый закон Кирхгофа в операторной форме:
I1(p) + I2(p) + I3(p) + … = 0, (1.9.1)
Второй закон Кирхгофа, представленный в п.1.8 на примере отдельной ветви(рис.1.8), можно распространить на контур:
— второй закон Кирхгофа в операторной форме.
1.10. Формула разложения.
В результате расчета переходных процессов операторным методом получаем изображение соответствующего тока или напряжения. Следующим этапом является определение оригинала функции, это становится возможным, если воспользоваться обратным преобразованием Лапласа или таблицей соответствия оригиналов и изображений по Лапласу. В общем случае для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения. Полученное операторное изображение представляется в виде отношения двух полиномов, например для тока:
где N(p) и M(p) – полиномы относительно р, при этом знаменатель М(р) имеет п простых корней.
Рациональная дробь может быть разложена на простые дроби:
Окончательно искомая функция может быть представлена следующим образом:
где п – общее число корней.
1.11. Методика расчета цепи операторным методом
1. Определяются независимые начальные условия цепи до коммутации.
2. Для цепи после коммутации составляется операторная схема, которая учитывает возможность появления операторных источников энергии.
3. Любым из известных методов расчета сложных электрических цепей определяется операторный ток или напряжение.
4. По теореме разложения осуществляют переход от изображения к оригиналу.
1.12. Общая методика расчета цепи операторным методом
на примере цепи второго порядка
1. Расчет проведем на примере цепи (рис.1.12.1).
Рис.1.12.1. Схема цепи с двумя накопителями энергии
R1=R2=10 Ом, L=5 мГн, С=10 мкФ, Е=100 В.
1. Определяем независимые начальные условия:
2. Составляем операторную схему:
Рис.1.12.2. Операторная схема цепи с двумя накопителями энергии
3. Входное сопротивление цепи в операторной форме:
Изображение тока первой ветви:
После алгебраических преобразований получим:
4. Оригинал функции рассчитаем по теореме разложения:
Решение уравнения М(р) = 0 дает следующие корни:
Наличие нулевого корня говорит о том, что принужденная составляющая тока i2(t) не равна нулю. Выражение в квадратных скобках полностью повторило полученное характеристическое уравнение цепи после коммутации, и его корни нам известны, тогда:
В сумме слагаемых и мнимые части слагаемых сокращаются и остается удвоенная вещественная часть выражения i2(t), в итоге такого преобразования получим окончательное решение:
Расчет тока i2(t) классическим и операторным методами показывает их полное совпадение.
3.3. Законы Кирхгофа в операторной форме.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей сходящихся в узле в любой момент времени равна нулю
.
Преобразуем по Лапласу обе части этого равенства, учитывая свойство линейности (3.2). Тогда получим первый закон Кирхгофа в операторной форме
.
Его формулировка: алгебраическая сумма операторных токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю.
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на ветвях замкнутого контура в любой момент времени равна нулю
.
На основании свойства линейности после преобразования по Лапласу этого равенства получим второй закон Кирхгофа в операторной форме
.
Его формулировка: алгебраическая сумма операторных напряжений на ветвях замкнутого контура равна нулю.
3.4. Закон Ома в операторной форме.
Введем в рассмотрение операторное сопротивление Z(p) участка цепи, которое определим как отношение операторного напряжения к операторному току участка цепи при нулевых начальных условиях:
где 
— операторная проводимость.
Рассмотрим в качестве простейших участков цепи отдельные элементы: резистор, катушку индуктивности и конденсатор.
Резистор. Мгновенные ток и напряжение связаны законом Ома: 
. Преобразуем обе части этого равенства по Лапласу и получим закон Ома для резистора в операторной форме:
(3.10)
Операторные сопротивления и проводимость:
Катушка индуктивности. Напряжение u(t) и ток i(t) в катушке связаны соотношением 
. Будем предполагать нулевые начальные условия iL(0)=0. Преобразуем обе части этого равенства по Лапласу. Тогда согласно свойствам (3.1) и (3.2) получим:
(3.12)
Полученное соотношение, также как и (3.10), является алгебраическим (без операций дифференцирования или интегрирования) и его можно назвать законом Ома в операторной форме для индуктивности. При этом операторные сопротивление и проводимость индуктивности
; 
.
Конденсатор. Связь между током и напряжением на емкостном элементе 
. При нулевых начальных условиях (uc(0)=0) после преобразования этого равенства по Лапласу получим закон Ома в операторной форме для емкостного элемента:
; 
.
Соответствующие операторные сопротивление и проводимость
; 
.
Таким образом, закон Ома в операторной форме выполняется для всех трех элементов электрических цепей и может быть записан в обобщенном виде:
; 
; 
; 
Нетрудно заметить связь операторных и комплексных сопротивлений. Напомним, что комплексные сопротивления элементов: 
. Очевидно, что их можно получить из операторных путем замены переменной, а именно
Рассмотрим соотношения между операторными токами и напряжениями на элементах при ненулевых начальных условиях 
и 
. Очевидно, что изменения коснуться соответствующих уравнений для реактивных элементов, реальные токи и напряжения в которых связаны дифференциальными соотношениями.
Так для индуктивного элемента 
и после преобразования этого равенства по Лапласу согласно свойству (3.3) при ненулевых начальных условиях получим:
Полученному уравнению соответствует так называемая операторная схема замещения индуктивности, которая представлена на рис. 3.1. Она содержит элемент с операторным сопротивлением 
, который моделирует падение напряжения от прохождения тока 
(первое слагаемое в (3.18)), и источник напряжения (моделирующий второе слагаемое в (3.18)).
Аналогично для емкости 
после преобразования при ненулевых начальных условиях получим
В соответствии с (3.19) на рис. 3.2 представлена операторная схема замещения емкостного элемента.
Она содержит элемент с операторным сопротивлением 
и источник операторного напряжения 
, обусловленный ненулевым начальным условием.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.