подобие тел отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел

Лекция для группы на 14.05.2020 Т11, Са11 по теме Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Просмотр содержимого документа
«Лекция для группы на 14.05.2020 Т11, Са11 по теме Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.»

Лекция для группы Т11, Са11 по теме

Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

ЗАПИСАТЬ ЛЕКЦИЮ, прочитав ее и выписав самое главное.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении. Пример 1: Автомобиль и его модель – подобные тела. Два тела (фигуры) зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальному отражению другого.

Пример 2: Картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы ( линейные и двугранные ) равны.

В подобных телах многогранные и телесные углы равны; в зеркально подобных телах они зеркально равны.

Если два тетраэдра (две треугольные пирамиды) имеют соответственно пропорциональные рёбра (или соответственно подобные грани), то они подобны или зеркально подобны. Пример 3: Если грани первой пирамиды вдвое больше, чем у второй, то высоты, апофемы, радиус описанного круга первой пирамиды также вдвое больше, чем у второй.

Эта теорема не имеет места для многогранников с большим числом граней. Предположим, что мы соединили все рёбра куба в его вершинах посредством шарниров; тогда мы можем изменить форму этой фигуры, не растягивая её стержни, и получить из начального куба параллелепипед.

Пример 4: Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом граней подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам. Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответствующих отрезков.

УТВЕРЖДЕНИЕ2:Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых их соответствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

Решение:

Поскольку чашки – подобные цилиндры, то отношение их

объёмов равно отношению кубов соответствующих отрезков

( в нашем случае – высот и диаметров чашек). Следовательно,

высота h новой чашки находится из отношения:

аналогично, для диаметра d получим:

Объемы подобных тел пропорциональны кубам соответствующих линейных размеров.

Пример 6: На рисунке выше показаны два куба, сторона одного из которых в 3 раза больше стороны другого.

Объем тела с рисунка а) V=x*x*x=x 3

Объем тела с рисунка б) V=3x*3x*3x=27x 3

Пример 7: Определение массы тела, подобного данному.

Масса автомобиля 1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе 1:60. Определить массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

Масса =плотность*объем, а так как автомобиль и модель сделаны из одного материала, значит:

(Масса модели)/(Масса автомобиля)=(1/60) 3

Масса модели = (Масса автомашины) *(1/60) 3 =(10050)/(60 3 )=0,0049 кг=4,9г.

Источник

Тема урока: Подобие тел- лекция по геометрии

Тема: Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Цель урока: изучить понятия равновеликих и подобных тел, выучить значения отношений площадей поверхностей и объемов подобных тел.

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

Фигура, все точки которой не находятся на одной плоскости, называется объёмной фигурой.

Ограниченная часть пространства называется геометрическим телом, а множество точек, ограничивающих его от окружающего пространства, называется поверхностью этого тела.

Шар — геометрическое тело, его поверхность — сфера.

Винтовая линия — объёмная фигура, но это не тело.

Пирамида — геометрическое тело, которое ограничено плоскими многоугольниками.

Пирамида Плоские многоугольники

Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении.

Пример 1: Автомобиль и его модель – подобные тела.

Пример 2. Два тела (фигуры) зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальному отражению другого.

Пример 3: Картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы (линейные и двугранные) равны.

Пример 4: Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом граней подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам. Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

3. Изучение нового материала

Главная величина геометрических тел — это их объём.

Объём геометрического тела — это величина, которая описывает занимающую этим телом часть пространства.

ИЛИ Объем тела – это положительная величина той части пространства, которую занимает геометрическое тело.

Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м переплавлены в один куб. Чему равно ребро этого куба.

Решение:
1. Найдем объем каждого куба:

V₁= 6 3 = 216 м 3 V₂= 8 3 = 512 м 3 V₃= 10 3 = 1000 м 3

2. Отсюда следует, что общий объем равен:

V_общ = V₁+ V₂+ V₃= 216 + 512 + 1000 = 1728 м 3
3. Сторону куба можно найти из формулы:

Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Из определения следует, что объём не зависит ни от местонахождения тела в пространстве, ни от того, как это тело делится на части.

Величину объёма вычисляют, основываясь на аксиомах:
1) равные тела имеют равные объёмы.
2) Объём тела равен сумме объёмов его отдельных частей.

Чтобы объём можно было измерить, т. е. чтобы объём можно было бы выразить в виде числа, необходимо выбрать единицу измерения объёма.

Единица объёма — это объём такого куба, ребро которого равно одной единице длины.

Тела с равными объёмами называются равновеликими.

Равные тела с объёмом 8 см 3

Равновеликие тела

Равновеликие тела с объёмом 6 см 3

Все равные тела равновелики, но не все равновеликие тела равны.

Отношение площадей поверхностей подобных тел

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответствующих отрезков.

Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Даны два шара с радиусами 14 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности другого?

Площади поверхности шаров относятся как квадрат отношения их радиусов. Радиус большего шара в 7 раз больше радиуса меньшего, поэтому их площади относятся как 7 2 = 49.

Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Найдём площадь поверхности первого шара: S ₁ = 4π r 2 = 4π8 2 = 256π

Найдём площадь поверхности второго шара: S ₂ = 4π r 2 = 4π4 2 = 64π

Найдём отношение площадей: S 1/ S 2=256π/64π=4

Ответ: 4.

Отношение объемов подобных тел

УТВЕРЖДЕНИЕ 2: Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых их соответствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Объемы подобных тел пропорциональны кубам соответствующих линейных размеров.

Объём куба – это произведение трех его измерений.

Пример 5: На рисунке выше показаны два куба, сторона одного из которых в 3 раза больше стороны другого.

Объем тела с рисунка а) V=x*x*x=x 3

Объем тела с рисунка б) V=3x*3x*3x=27x 3

Чашки – подобные цилиндры, значит отношение их

объёмов равно отношению кубов соответствующих отрезков

(в нашем случае – высот и диаметров чашек).

Следовательно, высота h новой чашки находится из отношения:

аналогично, для диаметра d получим:

Ответ: h = 20 см; d = 16 см.

Масса автомобиля 1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе 1:60. Определить массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

2. Масса =плотность*объем, а так как автомобиль и модель сделаны из одного материала, значит:

(Масса модели)/(Масса автомобиля)=(1/60) 3

3. Масса модели = (Масса автомашины) *(1/60) 3 =(1050)/(60 3 )=
0,0049 кг=4,9г.

Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

Масса шара прямо пропорциональна его объёму. Объёмы шаров относятся как кубы их радиусов:

Следовательно, масса второго, меньшего шара равна 162*8/27=48 грамм.

Даны два шара с радиусами 8 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Объёмы шаров относятся как кубы отношений их радиусов. Радиус большего шара в 4 раза больше радиуса меньшего, поэтому их объёмы относятся как 4 3 = 64.

Приведём другое решение.

Найдём отношение объёмов шаров:

4. Домашнее задание

1) Выучить теоретический материал урока

Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Даны два шара с радиусами 12 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Похожие материалы

Презентация. Соотношение между сторонами и углами треугольника

Самостоятельная работа по геометриив 9 классе по теме «Тангенс» (18 задание ОГЭ)

Итоговая контрольная работа по Геометрии УМК Атанасян (8 класс)

Контрольная работа по геометрии «Площадь многоугольника» (8 класс)

«Оригаметрия как метод решения геометрических задач»

«Оригаметрия как метод решения геометрических задач»

Рабочая программа «Геометрия 7 класс»

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5319203 материала.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки учредит именные стипендии для студентов из малочисленных народов

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Подобие тел отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел

Объем первого куба в 8 раз больше объема второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 4.

Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 9. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 81.

Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды равна 13. Чему будет равна площадь боковой поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 2 раза?

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

где – периметр основания, а –апофема. Поскольку все ребра уменьшились в два раза, следовательно, периметр и апофема тоже уменьшились в два раза. Следовательно, площадь боковой поверхности

Приведем другое решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды равны сумме площадей боковых граней. Если все ребра уменьшить в два раза, то каждая боковая грань исходной пирамиды будет подобна боковой грани получившейся пирамиды с коэффициентом подобия 2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, поэтому площадь каждой грани получившейся пирамиды будет в 4 раза меньше площади соответствующей грани исходной пирамиды. Следовательно, площадь боковой поверхности получившейся пирамиды равна

Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.

а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.

б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.

а) Проведем — перпендикуляр из точки P к хорде AC и DH₂ — перпендикуляр из точки D к прямой AC. По условию, AD = PC, DH₂ = PH₁, следовательно, треугольники ADH₂ и СPH₁ равны. Тогда углы DAT и PCT равны. Таким образом, прямые AD и BC параллельны, а четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Следовательно, треугольник BTC равнобедренный, поэтому TP — его медиана, а значит, BP = PC. Площади четырехугольников ABPD и APCD равны, так как это равные параллелограммы. Что и требовалось доказать.

б) Из отношения получим, что треугольники и подобны с коэффициентом 2 : 1, значит,

Из подобия следует, что Из отношения найдем, что Вычислим площадь трапеции ABCD:

Заметим теперь, что где h — высота трапеции. Поскольку

находим:

Ответ: б)

Здравствуйте! Простите, но по-моему в решение закралась ошибка. Отношение площадей треугольников ATD и ATB не равно отношению их сторон, т.к. такое отношение имеет место быть только если у треугольников есть общее основание (и тогда их площади относятся, как высоты, проведённые к этому основанию) или если треугольники имеют общую высоту (тогда их площади относятся, как основания, к которым проведена эта высота). Ничего подобного в ходе решения получено не было, чтобы говорить о таком отношении.

но, т.к. треугольники ADT и BCP подобны, то их высоты относятся, как стороны, то есть, как 1:2, а, следовательно, PH3=3TH3.

Имеем: S(adcp)=PH3*AD=3TH3*AD, S(adt)=0,5*TH3*AD=3. Из последнего уравнения находим, что TH3*AD=6, и, подставив его в первое, находим, что площадь ADCP=3*6=18

Здравствуйте, Екатерина! Спасибо, поправили решение. Там в конце закралась арифметическая ошибка. Что касается Вашего замечания, то у треугольников ADT и ATB, действительно, общая высота, проведенная из вершины А, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований DT и TB.

Объем одного куба в 125 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 5. Площади поверхности подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь поверхности большего куба в 25 раз больше площади поверхности меньшего куба.

Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 2.

В условии указано 3:6, почему в решении 3:9?

Вся высота имеет длину 3 + 6 = 9. Поэтому отношение высоты маленького конуса к высоте большого равно 3 : 9. Поскольку фигуры подобны, то отношение радиусов будет таким же.

Площадь основания конуса равна 9. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 1.

Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Найдем отношение объемов шаров:

откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:

Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.

а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.

б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где точка пересечения отрезков AD и CK.

б) Вписанные углы CKB и CAB опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике KBC катет BC лежит напротив угла 30°, а значит, равен половине гипотенузы CK, то есть а катет

В треугольниках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC прямые, и значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, то есть а значит,

Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота BH делит большее основание AD на отрезки и Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим откуда

Тогда поэтому то есть

Ответ:

Источник