полная мощность в комплексной форме

3.4 Комплексная форма записи мощности

Допустим, что через электрическую цепь проходит гармонический ток, причем положительные направления тока и напряжения на зажимах цепи приняты совпадающими (рисунок 3.8).

Комплексные действующие значения тока и напряжения равны соответственно:

Фазовый сдвиг тока относительно напряжения равен разности начальных фаз

Умножим на комплексное действующее значение , сопряженное с .

Отсюда следует, что

Так как напряжение может рассматриваться как сумма активной и реактивной слагающих:

.

Аналогично мощность может быть выражена через активный и реактивный токи.

Таким образом, комплексная величина определяет действительной частью активную мощность, а мнимой частью реактивную мощность, поступающую в цепь.

Модуль S равен полной мощности. носит название мощности в комплексной форме, или комплексной мощности.

На комплексной плоскости изображает гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого служат Р и Q (рисунок 3.9).

Треугольник мощностей, изображенный на рисунке 3.9, подобен треугольнику сопротивлений

.

Поэтому мощности Р и Q на зажимах цепи могут быть записаны в следующем виде

Воспользовавшись выражением (2.28), получим

Эта формула справедлива при любой схеме соединений индуктивности, емкости и сопротивлений.

Энергетический метод определения комплексного сопротивления применим и к комплексной проводимости

откуда ,

где – комплексная проводимость, сопряженная с Y.

Итак, активные сопротивление и проводимость цепи зависят от поглощаемой цепью активной мощности, а реактивные сопротивление и проводимость – от разности максимальных значений энергии, запасаемых в магнитном и электрическом полях.

Источник

Производственная практика: Электротехника Изучение электрических цепей

Выражение мощности в комплексной форме записи

Пусть задан некоторый комплекс

;

Следовательно, активная мощность Р = 1475 Вт, реактивная

Задача 15. Составит урнавнение по методу контурных токов для схемы, изображенной на рис. 4.17.

Решение: При формировании независимых контуров считаем контур с источником тока контуром с известным током. Получим два уравнения:

Задача 16. Составить уравнение по методу узловых потенциалов для схемы, изображенной на рис. 4.18.

Решение: Если заземлить один из узлов, к которому присоединен идеальный источник ЭДС, то можно сразу определить потенциал другого:

Для двух других узлов получим уравнения

Каковы основные характеристики синусоидальных сигналов?

Что такое фазовый сдвиг? Начальная фаза?

Какова связь между действующим, средним по модулю и амплитудным значениями синусоидальных сигналов?

Как представить синусоидальный сигнал вектором? Что такое векторная диа­грамма?

Как взаимно расположены векторы напряжения и тока в индуктивных, емкостных и резистивных цепях?

Сформулируйте сущность комплексного метода расчета.

Что такое входное сопротивление? Какие способы выражения входного со­
противления вы знаете? Что такое входная проводимость?

Как по входным проводимости и сопротивлению определить сдвиг по фазе
между током и напряжением?

Что такое мгновенная мощность? Как построить график мгновенной

мощно­сти по заданным напряжению и току?

Что такое активная мощность? Что такое реактивная мощность?

Как записать законы Ома и Кирхгофа при использовании комплексного

4. Построим графики спектральных составляющих напряжения на нагрузке, используя полученное выше мгновенное значение напряжения. Эти графики показывают, что электрическая цепь, включенная между источником и нагрузкой, оказывает определенное сглаживающее действие: амплитуды спектральных составляющих уменьшаются по мере увеличения частоты. Кроме этого, заметно существенное запаздывание сигнала по отношению к напряжению источника.

5. Определим действующее значение напряжения на нагрузке и среднюю мощность, рассеиваемую в ней. Действующее напряжение на нагрузке можно рассчитать по формуле:

Средняя мощность несинусоидального тока определяется по формуле:

Из полученных выражений следует, что средняя мощность почти полностью определяется постоянной составляющей и первой гармоникой тока. Вклад высших гармоник весьма незначителен и составляет всего 1,6% от полной мощности, рассеиваемой в нагрузке.

Источник

Полная мощность в комплексной форме

Комплекс полного сопротивления и комплекс полной проводимости. Законы Кирхгофа в комплексной форме

Отношение комплекса напряжения к комплексу тока называется комплексом полного сопротивления цепи

Следовательно, активное сопротивление есть вещественная часть, а реактивное – мнимая часть комплекса полного сопротивления цепи. Частные случаи формулы (2.42) приведены в таблице 2.1

Участок электрической цепи

Величина, обратная комплексу полного сопротивления, называется комплексом полной проводимости

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений. Первый закон Кирхгофа: «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

Второй закон Кирхгофа: «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура»

Таким образом, при комплексном представлении всех параметров методы расчета сложных цепей постоянного тока, основанные на законах Ома и Кирхгофа (контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора, преобразования и др.), можно применять для расчета цепей синусоидального тока.

Мощности в комплексной форме

Формулы для определения полной, активной и реактивной мощностей записаны раньше

Рассмотрим простой прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности по комплексным напряжению и току. Для этого умножим комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока

Полученное значение называют комплексом полной мощности. Из (2.46) видно, что вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности, мнимая часть – реактивной:

Пример 2.4. Определить активную, реактивную и полную мощности, если мгновенные значения тока и напряжения заданы уравнениями

Решение. Запишем комплексы действующих значений напряжений и тока

Комплекс полной мощности

Таким образом, = 500 ВА, = 433 Вт, = 250 вар.

2.5. Повышение коэффициента мощности в цепях синусоидального
тока

Большинство современных потребителей электрической энергии имеют индуктивный характер нагрузки, токи которой отстают по фазе от напряжения источника. Активная мощность таких потребителей при заданных значениях тока и напряжения зависит от

Следовательно, повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока.

Таким образом, чем выше потребителя, тем меньше потери мощности в линии и дешевле передача электроэнергии. Коэффициент мощности показывает, как используется номинальная мощность источника. Так, для питания приемника 1000 кВт при = 0,5 мощность генератора должна быть

а при = 1 = 1000 кВА.

Следовательно, повышение увеличивает степень использования мощности генераторов. Чтобы повысить экономичность энергетических установок, принимают повышают – используют батареи конденсаторов, подключаемые параллельно индуктивной нагрузке (рис. 2.18 а).

Емкость конденсатора можно рассчитать при помощи векторной диаграммы токов (рис. 2.18 в)

На практике обычно коэффициент мощности повышают не до 1,0, а до 0,90. 0,95, так как полная компенсация требует дополнительной установки конденсаторов, что часто экономически не оправдано.

Источник

Мощность в комплексной форме

Все расчетные формулы для мощностей можно получить в комплексной форме.

Составим произведение где сопряженный ток:

(3.36)

С другой стороны: где — комплексная мощность. Таким образом:

, (3.37)

где — действительная часть, — мнимая часть).

Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии следует, что активная мощность источников равняется активной мощности приемников, то есть:

. (3.38)

Можно показать, что алгебраическая сумма реактивных мощностей источников равняется алгебраической сумме реактивных мощностей приемников, то есть:

. (3.39)

Поскольку активные и реактивные мощности источников равняются активным и реактивным мощностям приемников, то одинаковы и их полные мощности в комплексной форме:

. (3.40)

Приведенные равенства (3.38-3.40) выражают баланс мощностей в цепях переменного тока.

Резонанс в цепях синусоидального тока

Под резонансом понимают такой режим работы электрической цепи, содержащей емкости и индуктивности, при котором её входное сопротивление имеет чисто резистивный характер и, следовательно, сдвиг фаз между напряжением u и током i на её входе равен нулю (j=0), т.е. напряжение и ток совпадают по фазе.

Как было показано выше, реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности зависят от частоты. Значит, распределение токов и напряжений электрической цепи определяется не только параметрами цепи, но и частотой возмущающего воздействия.

Цепи, в которых возникают резонансные явления, называют резонансными цепями или колебательными контурами. Простейший колебательный контур содержит один индуктивныйL и один емкостнойСэле­менты. Эти элементы соединены между собой и источником синусоидального напряжения последовательно (последовательный колебательный контур) или параллельно (параллельный колебательный контур).

Различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений (РН) возникает в последовательном колебательном контуре (рис. 3.7). В схему замещения цепи, кроме индуктивного L и ёмкостного С элементов, включен также элементR, учитывающий все виды активных потерь в контуре (в катушке, в конденсаторе, во внутреннем сопротивлении источника питания, в соединительных проводах).

Условием наступления РН в схеме (рис. 3.7) является равенство нулю реактивного сопротивления на входе цепи:

Откуда угловая резонансная частота контура (в рад/с):

. (3.41)

Следовательно, резонансная частота контура (в Гц) . (3.42)

Характеристическое (волновое) сопротивление r (в Ом) последовательного колебательного контура равно его индуктивному или ёмкостному сопротивлению при резонансе:

. (3.43)

Добротностью Qконтура называют отношение характеристического сопротивления r контура к активному сопротивлению Rпри резонансе:

. (3.44)

Чем больше r и меньше R, тем добротнее контур, тем будут ýже (меньше по диапазону) частотные характеристики тока и напряжений на элементах контура. В радиотехнических контурах добротность Q = 100…1000; в электрических цепях добротность обычно не превышает 3…5.

Добротность показывает, во сколько раз напряжение на зажимах кон­денсатора U_C или индуктивное напряжение U_L катушки при резонансе больше напряжения питания контура U:

. (3.45)

Ток I при РН имеет максимальное значение, т. к.

.

Характерной особенностью режима РН является пре­вышение напряжениями U_L и U_C входного напряжения Uконтура.

Важнейшей характеристикой контура является его полоса пропускания (рис. 3.9):

под которой понимают диапазон частот, в пределах которого значение нор­­мированного тока N_i(f) = I(f)/I_max равно или больше . На гра­­ни­цах полосы пропускания, т. е. на частотах f_в и f_н (или w_в иw_н), называемых вер­х­ней и нижней частотами среза, нормированный ток ак­тив­ная мощность P = 0,5P_max, а угол j = ± 45°.

Приближённо полосу пропускания кон­тура определяют по формуле

или ,

откуда следует, что чем больше добротность, тем меньше полоса пропускания контура (рис. 3.9).

На практике параллельно конденсатору подключают приёмник, сопротивление ко­то­рого порядка R_н = 10, …, 100 кОм. При не­больших значениях R_н полоса про­пус­ка­ния Df увеличивается, а добротность контура снижается и равна

.

Активная мощность имеет максимальное значение, что объясняется максимальным током при резонансе.

Резонанс напряжений широко применяется в радиотехнике и технике связи.

Резонанс токов

Резонанстоков (РТ) возникает в параллельном колебательном контуре (рис. 3.10). Условием РТ является равенство нулю входной реактивной проводимости

В_PT = В_L(PT) – В_{C (PT)} = 0 или

откуда резонансная угловая частота

, (3.46)

где — резонансная частота контура без потерь (R₁ = R₂ = 0);

— характеристическое сопротивление контура.

Резонансные свойства цепи с двумя ветвями R₁L и R₂C (см. рис. 3.10) удобно изучать применительно к её эквивалентной схеме замещения с тре­мя параллельно соединёнными ветвями с параметрами G=1/R, B_L и B_C (рис. 3.6), равными

; ; .

Тогда добротность параллельного колебатель­ного контура

. (3.47)

Добротность Q равна также отношению тока I_С в ветви с конденсатором (при R₂=0, см. рис. 3.10) при режиме РТ и тока I_РТ на зажимах контура, т. е.

. (3.48)

Ток I при РТ имеет минимальное значение,

,

так как полная проводимость контура в этом режиме Y_РТ = G_(РТ) = Y_min, а сопротивление контура .

Векторные диаграммы токов ветвей и тока на входе реального (а) и идеального (в) колебательных контуров для режима РТ представлены на рис. 3.11, б и г. Ток I₁ в первой ветви отстаёт от напряжения по фазе на угол j₁, а ток I₂ во второй ветви опережает напряжение по фазе на угол j₂ (рис. 3.11, б).

При режиме РТ ток I на входе контура, как правило, меньше токов I₁ и I₂ ветвей, а для идеального контура ток I_РТ = 0 (рис. 3.11, г). При подключении приёмника R_н параллельно конденсатору (при , см. рис. 3.11, а) добротность нагруженного контура снижается тем сильнее, чем мень­ше R_н:

, где .

Приближённо полосу пропускания контура определяют по формуле

или . (3.49)

Резонанс токов широко применяется в радиотехнике, технике связи, измерительной технике, автоматике. Повышение коэффициента мощности приемников переменного тока путем параллельного подключения конденсаторов представляет собой мероприятие, в результате которого достигается резонанс токов.

Источник