Так как прямая db имеет общую точку с данной плоскостью то эта прямая

Определи взаимное расположение данной прямой и плоскости.

Ответы 2

1. Tак как прямая DB имеет общую точку с данной плоскостью, то эта прямая пересекает плоскость α.

2. Прямая CD параллельна прямой AB в данной плоскости, значит, она параллельна плоскости α.

1. Если прямая имеет одну общую точку с плоскостью в одной точке, то она пересекает эту плоскость.

2. Если прямая параллельна другой прямой в данной плоскости, значит, она параллельна этой плоскости.

1. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

По аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в плоскости.

2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

У прямой и плоскости только одна общая точка, значит прямая может лежать в плоскости, а может ее пересекать.

3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскости?

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Значит плоскость параллелограмма совпадает с данной.

4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?

Плоскость окружности может пересекать данную плоскость по хорде.

5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?

Через любые две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Значит плоскость, в которой лежит окружность, и данная плоскость совпадают.

6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки;

две различные точки;

через прямую и не лежащую на ней точку;

через две параллельные прямые?

7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости;

через любые три точки проходит единственная плоскость?

неверно, надо уточнить: не лежащие на одной прямой.

8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?

нет, прямая в плоскости и данная прямая могут быть скрещивающимися (см. рисунок);

Может ли данная прямая пересечь какую-либо прямую, лежащую в плоскости?

нет, так как она не имеет с плоскостью общих точек.

9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости а. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?

Нет, они параллельны плоскости.

Основания и средняя линия параллельны, а если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.

а║α или а лежит в α; а║β или а лежит в β (на рисунке возможные расположения прямой а).

10. б) Прямая b не параллельна линии пересечения плоскостей α и β Каково взаимное расположение b и α; b и β?

Прямая b может лежать в одной из плоскостей и пересекать другую или b может пересекать обе плоскости (см. рисунок).

11. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?

12. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.

Противоположные стороны параллелограмма параллельны, а если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

13. Плоскость α параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение второй прямой и плоскости α?

Вторая прямая может лежать в плоскости, а может быть ей параллельна.

14. Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в плоскости α. Докажите, что сторона CD параллельна этой плоскости.

CD║AB как противоположные стороны параллелограмма, АВ лежит в плоскости, значит CD параллельна плоскости (признак параллельности прямой и плоскости)

15. Прямая пересекает плоскость. Можно ли в плоскости провести прямую, параллельную данной прямой?

Нет, параллельные прямые должны лежать в одной плоскости.

16. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?

Нет, они могут быть скрещивающимися или пересекающимися

на рисунке для плоскости (АВС) КН и D₁C₁ скрещивающиеся, А₁С₁ и А₁В₁ пересекающиеся.

17. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?

Эти прямые могут быть скрещивающимися или пересекающимися.

На рисунке для плоскости (АВС) А₁В₁ и СС₁ скрещивающиеся, а А₁В₁ и ВВ₁ пересекающиеся.

19. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными? Пересекаться?

На рисунке АА║ВВ₁, они скрещиваются с прямой DC; а прямые АА₁ и КН пересекаются, но тоже скрещиваются с прямой DC.

20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?

Нет, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, а данные прямые скрещивающиеся.

21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?

На рисунке А₁С₁║АС, но А₁С₁ и BD скрещивающиеся.

22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?

Прямая может быть параллельна плоскости, а может ее пересекать.

На рисунке для плоскости (АВС) А₁С₁ и BD скрещивающиеся, А₁С₁║(АВС); АА₁ и BD скрещивающиеся, АА₁∩(АВС).

Источник

Конспект лекции по геометрии для 10 класса

2016-2017 учебный год Геометрия Аюпова А.К.

Урок №13 Преподаватель: Аюпова Ардак Канапияновна

Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а || )

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

Выводы.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;

в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Практическая часть.

Дан треугольник ABC. На сторонах AB и AC соответственно отложены точки D и E так, что DE=7 см и ADBD=94. Через точки B и C проведена плоскость α, которая параллельна отрезку DE.

Основание AB трапеции ABCD лежит в плоскости α. Основание CD не лежит в этой плоскости.

Дополни данные предложения, которые характеризуют взаимное расположение данных прямых и плоскости α.

1. Tак как прямая DB имеет общую точку с данной плоскостью, то эта прямая α

2. Прямая CD параллельна прямой AB в данной плоскости, значит онаα

Задание№3. Определи взаимное расположение данной прямой и плоскости.

1. Прямая AA1 и плоскость (BCD) :

2. Прямая BC и плоскость (ABC) :

3. Прямая CC1 и плоскость (ABD) :

4. Прямая CB1 и плоскость (BB1C1) :

5. Прямая AB1 и плоскость (BCD) :

Задание №4. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Когда называются прямая и плоскость прямыми?

Назовите случаи взаимного расположения прямой и плоскости.

Что называется параллельными прямыми?

Задание СРС: Определите взаимное расположение стороны куба.

А.Н. Шыныбеков Геометрия, «Атам ұра » 2014г

Урок №14 Преподаватель: Аюпова Ардак Канапияновна

Тема: Признаки параллельности прямой и плоскости.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а || )

Признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Определи взаимное расположение данной прямой и плоскости.

Прямая DD1 и плоскость (ADD1):

Прямая LP и плоскость (CDD1):

Прямая XY и плоскость (ABC):

Прямая DC и плоскость (AA1B):

Прямая MS и плоскость (ABB1):

Точки M, N, P и Q являются соответственно серединами отрезков AD, CD, BC и AB.

Вычислите периметр четырёхугольника MNPQ, если AC= 11 см и BD= 17 см.

Ответ: периметр четырехугольника MNPQ равен см.

Трапеция ABCD, основание BC которой равно 24cм, лежит в плоскости α. Точка M не находится в плоскости трапеции. Точка Kделит отрезок MB так, чтоMK:KB=1:4. Плоскость ADK пересекает отрезок MC в некоторой точке N. Определи длину отрезка KN.

1. Назови пучок параллельных прямых: ∥

2. Назови подобные треугольники: ΔKMN

3. KN= ( округли до одной десятой ).

Задание №4. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Когда называются прямая и плоскость прямыми?

Назовите случаи взаимного расположения прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости.

Задание СРС: Определите взаимное расположение стороны октаэдра.

А.Н. Шыныбеков Геометрия, «Атам ұра » 2014г

Урок №15 Преподаватель: Аюпова Ардак Канапияновна

Тема: Взаимное расположение двух плоскостей.

|| . Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей.

Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Случаи взаимного расположения плоскостей:

Свойства параллельных плоскостей: Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажи, что прямая DC параллельна плоскости (AMB).

(Дополни доказательство нужными словами или выражениями из списка).

1. Прямые DC и AB как противоположные стороныпрямоугольника.

2. Прямая AB лежит в плоскости (AMB), так как две её точки A и B

3. Если прямая прямой, которая находится в некоторой плоскости, то она этой плоскости.

4. Значит прямая DC плоскости (AMB).

Задание №3. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Что называется пересекающимися прямыми?

Что называется скрещивающимися прямыми?

Что называется параллельными прямыми?

Задание СРС: Виды расположения прямых.

А.Н. Шыныбеков Геометрия, «Атам ұра » 2014г

Урок №16 Преподаватель: Аюпова Ардак Канапияновна

Тема: Признак параллельности плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Используя данный куб

1. определи взаимное расположение плоскостей AA1B1 и DD1C1

2. назови плоскость параллельную DCB

Будут ли параллельны плоскости, проведённые через две скрещивающиеся прямые d и c?

Боковые стороны CD и AB трапеции ADCB параллельны плоскости α. Каковыми являются плоскости α и плоскость трапеции ADCB?

Даны три параллельные плоскости α, β и γ. В каждой из них соответственно проведены прямые a, b и c.

Угол между прямыми a и b равен 600, угол между прямыми b и c равен 570. Определи угол между прямыми a и c.

Задание №4. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Что называется параллельными плоскостями?

Что называется признаки параллельности плоскостей.

Что называется параллельными прямыми?

Задание СРС: Доказать параллельности плоскостей.

А.Н. Шыныбеков Геометрия, «Атам ұра » 2014г

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-087638

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Поставщики интернета для школ будут работать с российским оборудованием

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

В Думу внесли законопроект об обязательном образовании для находящихся в СИЗО подростков

Время чтения: 2 минуты

Итоговое сочинение успешно написали более 97% выпускников школ

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Параллельность прямых, прямой и плоскости

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Параллельность прямых, прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости

Согласно аксиомам, если две точки прямой находятся в некоторой плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит (находится) в плоскости;

2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);

3) прямая и плоскость не имеют общих точек.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

доказательство проведём от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причём A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b — скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.

Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Если одна из двух параллельных прямых a∥b параллельна данной плоскости α, то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Определи взаимное расположение данной прямой и плоскости.

Прямая и плоскость

Основание AB трапеции ABCD лежит в плоскости α. Основание CD не лежит в этой плоскости.

Дополни данные предложения, которые характеризуют взаимное расположение данных прямых и плоскости α.

1.Tак как прямая DB имеет общую точку с данной плоскостью, то эта прямая параллельна плоскости находится в плоскости пересекается с плоскостью α.

2.Средняя линия EF трапеции параллельна основаниям, поэтому она находится в плоскости параллельна плоскости пересекается с плоскостью α.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Параллельность прямых, прямой и плоскости

Источник

Помогите пожалуйста решить тест.

1. Пересечением двух плоскостей является
А) точка
Б) прямая
В) отрезок
2. Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой плоскости?
А) одна
Б) две
В) три
3. На сколько множеств разбивает пространство любая плоскость?
А) на два
Б) на три
В) на четыре
4. Чтобы задать единственную плоскость необходимо
А) две точки
Б) три точки
В) три точки, не лежащие на одной прямой
5. Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве?
А) две параллельные прямые
Б) две скрещивающиеся прямые
В) три точки
6. Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые?
А) одну плоскость
Б) две плоскости
В) бесконечно много плоскостей
7. Через какие из перечисленных фигур можно провести единственную плоскость?
А) Через три точки
Б) Через прямую и не лежащую на ней точку
В) Через отрезок
8. Две прямые пересекаются. Что это значит?
А) Они имеют две общие точки.
Б) Они имеют одну общую точку.
В) Они лежат в одной плоскости.

9. Две прямые называются скрещивающимися, если
А) ни не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.
Б) они не имеют общих точек.
В) они имеют одну общую точку.
10. Две прямые в пространстве называются параллельными, если
А) они не имеют общих точек.
Б) они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.
В) они не имеют общих точек, и не существует проходящей через них плоскости.
11. Прямая и плоскость не имеют общих точек. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
12. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
13. Укажите признак параллельности прямой и плоскости
А) Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны
Б) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны
двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
В) Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
14. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Указать скрещивающиеся прямые с прямой CD. Указать прямые, параллельные прямой ВС.

Источник

Вопрос 2. Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии

Лекция

1. Предмет стереометрии

2. Аксиомы стереометрии

3. Следствия из аксиом стереометрии

Вопрос 1. Предмет стереометрии

Основными фигурами стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Примеры стереометрических фигур: шар, сфера, конус, цилиндр, параллелепипед и т.д.

Из курса планиметрии известно, что плоскость — это множество точек, в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямых.

Аналогично, пространство — это множество точек, в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.

Вопрос 2. Аксиомы стереометрии

Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории.

Система аксиом стереометрии даёт описание свойств пространства и основных его элементов. Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах. Аксиомы играют для них роль «неявных определений». С другой стороны, понятия «точка», «прямая», «плоскость» имеют наглядный смысл, отражённый на рисунках.

Изучение пространства приводит к необходимости расширения системы аксиом планиметрии. Система аксиом стереометрии, таким образом, состоит из всех аксиом планиметрии и новой группы аксиом, в которых выражены свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Аксиома R₁. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Эта аксиома даёт право рассматривать в любой плоскости пространства отрезки, прямые, треугольники, многоугольники, окружности и другие плоские фигуры со всеми их свойствами, которые изучались в планиметрии. Например, если прямая a и не принадлежащая ей точка M лежат в некоторой плоскости α, то в этой плоскости можно провести через точку M прямую, параллельную прямой a, и притом только одну.

Аксиома R₂ (аксиома плоскости). Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

На рисунке: плоскость α проходит через точки A, B, C — концы трёх стержней, не принадлежащие одной прямой, а плоскость β проходит через другие концы M, K и P этих стержней, также не принадлежащие одной прямой.

Три точки, принадлежащие одной прямой, называются коллинеарными, а три точки, не принадлежащие одной прямой, — неколлинеарными. Так, три вершины треугольника неколлинеарны, а середины оснований трапеции и точка пересечения её диагоналей коллинеарны. Вообще, все точки одной прямой коллинеарны.

Плоскость, которая проходит через три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой (C ∉ AB), обозначают символически (ABC); если этой плоскостью является плоскость α, то пишут α = (ABC) или (ABC) = α. (В таком случае также говорят, что три неколлинеарные точки в пространстве определяют плоскость.)

Через любые две точки A и B в пространстве можно провести плоскость α. По аксиоме R₁ в этой плоскости выполняются все аксиомы планиметрии. Согласно одной из этих аксиом через точки A и B можно провести единственную прямую.

Аксиома R₃. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Данной аксиомой утверждается, что для любой плоскости в пространстве можно выбрать любое количество точек в этой плоскости, равно как и сколько угодно точек вне её. В случае, если точка A лежит в (принадлежит) плоскости α, то записывают: A ∈ α и говорят, что плоскость α проходит через точку A. Если точка A не принадлежит плоскости α, то записывают: A ∉ α и говорят, что плоскость α не проходит через точку A. На рисунке

плоскость α проходит через точку A, но не проходит через точку B.

Аксиома R₄ (аксиома прямой и плоскости). Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости.

Итак, из аксиомы R₄ следует: (M ∈ α, N ∈ α, MN = a) ⇒ a ⊂ α (рис. 16). При этом также говорят, что плоскость α проходит через прямую a (через прямую MN).

В пространстве прямая может не лежать в данной плоскости, но иметь с этой плоскостью ровно одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая и плоскость пересекаются.

Определение. Прямая и плоскость, имеющие ровно одну общую точку, называются пересекающимися.

Если прямая a пересекает плоскость α в точке B то символически записывают: α ∩ a = B или B = a ∩ α.

Существуют ли в пространстве прямые, пересекающие данную плоскость? С одной стороны, ответ очевиден — конечно, существуют; однако посмотрим, каким образом аксиомы позволяют обосновать существование таких прямых.

Прямую, пересекающую данную плоскость α, можно получить следующим образом. На основании аксиомы R₃ выберем произвольную точку A вне плоскости α и произвольную точку B в плоскости α.

Тогда прямая m = AB является искомой: она имеет общую точку B с плоскостью α и не лежит в этой плоскости, так как точка A выбрана вне плоскости α. Значит, прямая AB имеет с плоскостью α единственную общую точку — точку B, а поэтому пересекает плоскость α в точке B. Таким образом, прямые, пересекающие данную плоскость, в пространстве существуют.

Аксиома R₅ (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей есть их общая прямая.

Аксиома R₅ утверждает, что если две плоскости α и β имеют общую точку M, то они имеют некоторую общую прямую a, которая проходит через точку M (рис. 19). Кроме того, из этой аксиомы следует, что у плоскостей α и β нет общих точек вне их общей прямой a. В таком случае говорят, что плоскости α и β пересекаются по прямой a и записывают: α ∩ β = a или a = α ∩ β.

Если мы возьмём две фигуры Ф₁ и Ф₂, имеющие общие точки и лежащие соответственно в двух различных пересекающихся плоскостях, то все эти общие точки лежат на одной прямой и представляют собой либо отрезок, либо луч, либо отдельные точки, либо всю прямую, либо объединение нескольких отрезков, лучей или точек фигур. Вот почему, например, плоскость, пересекающая грань куба, имеет с этой гранью либо общую точку, либо общий отрезок.

Определение. Две плоскости, имеющие общую точку (следовательно, общую прямую), называются пересекающимися плоскостями.

Аксиома R₆ (аксиома разбиения пространства плоскостью). Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.

Проиллюстрируем смысл этой аксиомы.

На рисунке изображена плоскость α. Она разбивает множество всех не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества P и Q, которые не имеют общих точек. Это разбиение обладает следующим свойством: если две точки, например A и B, принадлежат одному и тому же множеству P, то отрезок AB не пересекает плоскость α. Это означает, что точки A и B не разделены плоскостью α. Если же точки, например A и C, принадлежат разным множествам (A ∈ P, C ∈ Q), то отрезок AC пересекает плоскость α. Это означает, что точки A и C разделены плоскостью α.

Всё пространство (в нашем случае) является объединением точечных множеств P, Q и плоскости α. Объединение P ∪ α множества P и плоскости α называется полупространством, ограниченным плоскостью α. Плоскость α, ограничивающая это полупространство, называется его границей. Аналогично, объединение Q ∪ α является также полупространством с границей α.

Таким образом, пространство является объединением двух полупространств, границей каждого из которых является плоскость α. Изменение положения плоскости α влечёт за собой разбиение пространства в объединение новых полупространств.

Аксиома R₇ (аксиома расстояния).Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки.

Смысл этой аксиомы состоит в следующем. По аксиоме R₁ в каждой плоскости выполняются аксиомы планиметрии. Следовательно, на каждой плоскости любым двум точкам A и B ставится в соответствие положительное число — расстояние между ними на этой плоскости. Хотя через точки A и B проходят одновременно различные плоскости (смотри рисунок выше), аксиома R₇ утверждает, что расстояние между точками A и B будет одно и то же на каждой из этих плоскостей.

Расстояние между точками A и B можно обозначить либо AB, либо ρ(A; B), либо | AB | в зависимости от контекста, если речь идёт о длине отрезка AB.

При выбранной единице измерения расстояние между любыми двумя точками выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения длин и частей этой единицы измерения содержится в данном расстоянии. Так как число, выражающее расстояние между точками, зависит от выбранной единицы измерения, то единица измерения длин (см, дм, м и т. д.) пишется после этого числа. Например, если единица измерения длин — см, а численное значение расстояния между точками A и B равно 9, то пишут AB = 9 см. Если же единичный отрезок не имеет названия, то пишут AB = 9, имея в виду AB = 9 ед.

Источник