тригонометрическая форма комплексного числа это

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №40. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие модуля комплексного числа;

2) понятие тригонометрической формы комплексного числа;

3) перевод комплексного числа в тригонометрическую форму.

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

Для этого рассмотрим формулы для нахождения в зависимости от а и b.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., Учебник комплект под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е.Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Но в электротехнике, электрооборудовании, электронике, автоматике и других дисциплинах комплексное число записывается в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа r(cos φ+sin φ).

На любом трансформаторе стоит маркировка cos φ=. Это энергетический показатель ГОС стандартов. Он показывает эффективность работы, КПД, cos φ- активный показатель мощности, тока, напряжения. sin φ- реактивный показатель.

Любое комплексное число (кроме нуля) z=a+bi можно записать в тригонометрической форме: z=|z|∙(cosφ+isinφ), где |z| – это модуль комплексного числа, а φ – аргумент комплексного числа.

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа z стандартно обозначают: |z| или r.

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений a и b.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

Аргумент комплексного числа z стандартно обозначают: φ или arg z.

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:

Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой.

Для этого рассмотрим формулы для нахождения в зависимости от а и b.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Поскольку a 0, то – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение arctg 2, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:

— число z в тригонометрической форме.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку a 0, то – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение arctg 2, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:

— число z в тригонометрической форме.

Значит, верный ответ 1

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите куб суммы z= (3+4i) 3 =_____________

Возведем данное выражение в третью степень

Упрощаем полученное выражение, учитывая, что i 2 =-1

Ответ:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №40. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие модуля комплексного числа;

2) понятие тригонометрической формы комплексного числа;

3) перевод комплексного числа в тригонометрическую форму.

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

Для этого рассмотрим формулы для нахождения в зависимости от а и b.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., Учебник комплект под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е.Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Но в электротехнике, электрооборудовании, электронике, автоматике и других дисциплинах комплексное число записывается в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа r(cos φ+sin φ).

На любом трансформаторе стоит маркировка cos φ=. Это энергетический показатель ГОС стандартов. Он показывает эффективность работы, КПД, cos φ- активный показатель мощности, тока, напряжения. sin φ- реактивный показатель.

Любое комплексное число (кроме нуля) z=a+bi можно записать в тригонометрической форме: z=|z|∙(cosφ+isinφ), где |z| – это модуль комплексного числа, а φ – аргумент комплексного числа.

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа z стандартно обозначают: |z| или r.

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений a и b.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

Аргумент комплексного числа z стандартно обозначают: φ или arg z.

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:

Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой.

Для этого рассмотрим формулы для нахождения в зависимости от а и b.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Поскольку a 0, то – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение arctg 2, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:

— число z в тригонометрической форме.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку a 0, то – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение arctg 2, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:

— число z в тригонометрической форме.

Значит, верный ответ 1

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите куб суммы z= (3+4i) 3 =_____________

Возведем данное выражение в третью степень

Упрощаем полученное выражение, учитывая, что i 2 =-1

Ответ:

Источник

Лекция на тему:»Тригонометрическая форма комплексного числа»

Тригонометрическая форма комплексного числа

1.Геометрическое изображение комплексных чисел.

2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.

3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M ( a ; b ) (рис.1).

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Тригонометрическая запись комплексных чисел.

Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами ( a ; b ) (рис.4).

Рисунок 4

Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

φ = .

1 – i = ( cos + i sin ).

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:

Пример 9. Найти произведение комплексных чисел

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z ₁ = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z ₂ = 1· (cos 40º + i sin 40º). Тогда

z ₁ · z ₂ = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = = 2(0 + i) = 2i.

2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

3) Возведение в степень.

Определение . n – ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.

Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.

Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

.

cos φ = , sin φ = , φ = .

4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b , то .

Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 можно найти по известной формуле:

.

Пример 12. Вычислите .

Так как b , то воспользуемся формулой

.

= ,

= .

1. Записать в тригонометрич еской форм е число

2. Записать в тригонометрич еской форм е число — 1 – і.

Тогда

3. Записать в тригонометрич еской форм е число 1. Имеем , или

4. Выполнить действия

1)

5. Представить следующие комплексные числа в тригонометрическом виде:

3) .

.

Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Вопросы для самопроверки :

1.Дать определение модуля комплексного числа. Каков его геометрический смысл?

2. Комплексное число умножили на 2. изменился модуль этого числа?

4. Что такое аргумент комплексного числа?

5. Как определить главное значение аргумента числа z = a + bi?

7. Найти геометрическое место точек плоскости, изображают комплексные числа с одинаковыми модулями.

8.Как размещаются на плоскости точки, изображающие комплексные числа с одинаковыми аргументами?

9. Как представить комплексное число вида а + b i в тригонометрической форме? Как найти модуль и аргумент этого числа?

10. Как перейти от тригонометрической формы комплексного числа в алгебраической?

11. Вывести правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

12. По какому правилу выполняют действие возведения в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?

Источник