в буквенном виде сочетательное свойство сложения записывают так
ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ
64. Заполните пропуски.
РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
65. Найдите сумму.
66. Расшифруйте слово.
67. Вычислите.
Ответ: На двух полках стоит 50 книг.
69. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений.
2) (726+268)+732 = (732+268)+726 = 1726
3) 456+333+44+67 = (456+44)+(333+67) = 500+400 = 900
4) 631+308+1369+692 = (692+308)+(1369+631) = 1000+2000 = 3000
Решение:
1) 16+7=23 (рыбы поймал Петр)
2) 23+9=32 (рыбы поймал Павел)
3) 16+23+32 = 71 (всего поймано рыб).
Ответ: Всего было поймана 71 рыба.
71. Упростите выражение.
72. Заполните пропуски.
73. Найдите сумму.
74. Впишите в пустые клетки цифры так, чтобы сложение было выполнено верно.
75. Впишите в пустые клетки такие числа, чтобы квадрат стал «магическим», т.е. чтобы суммы чисел, стоящих в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали, были равныи.
76. Составьте «магический» квадрат, используя девять первых натуральных чисел.
77. Решите числовой ребус.
Ответ: 1) А=5, В=8, Г=6, Н=9, О=7, С=1, Т=3. 2) К=3, О=9, П=1, Р=5, С=7, Т=4.
Мерзляк 5 класс — § 7. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения
Вопросы к параграфу
1. Как в равенстве а + b = с называют число а? Число b? Число с? Выражение а + b?
2. Сформулируйте переместительное свойство сложения.
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
3. Как записывают в буквенном виде переместительное свойство сложения?
4. Сформулируйте сочетательное свойство сложения.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
5. Как записывают в буквенном виде сочетательное свойство сложения?
6. Каким свойством обладает число 0 при сложении?
Если одно из двух слагаемых равно 0, то сумма равна другому слагаемому.
Решаем устно
1. Вычислите:
2. Назовите два последовательных натуральных числа, сумма которых равна 91.
Любые два последовательных натуральных числа различаются между собой на 1.
1) 90 — 1 = 90 — сумма искомых натуральных чисел без различающих их 1.
2) 90 : 2 = 45 — наименьшее из искомых натуральных чисел.
3) 45 + 1 = 46 — наибольшее из искомых натуральных чисел.
3. Назовите двузначное число, сумма цифр которого равна наибольшему однозначному числу. Сколько существует таких чисел?
Наибольшее двузначное число — 9.
Значит условию удовлетворяют следующие двузначные числа: 18, 81, 27, 72, 36, 63, 45, 54, 90. Значит существует 9 таких чисел.
Упражнения
167. Найдите сумму:
168. Выполните сложение:
169. Аня и Коля решали задачи. Коля решил 26 задач, а Аня — на 16 задач больше. Сколько задач решили Коля и Аня вместе?
1) 26 + 16 = 42 (задачи) — решила Аня.
2) 42 + 26 = 68 (задач) — решили Коля и Аня вместе.
170. Миша купил книгу за 170 р., что на 12 р. меньше, чем заплатил Петя за свою новую книгу. Сколько рублей заплатили за книги Миша и Петя вместе?
1) 170 + 12 = 182 (рубля) — заплатил за книгу Петя.
2) 170 + 182 = 352 (рубля) — заплатили за свои книги Петя и Миша вместе.
171. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
172. Используйте свойства сложения при вычислении суммы:
173. Стена Московского Кремля состоит из трёх участков: южного, восточного и западного. Длина южного участка составляет 685 м, что на 45 м меньше длины восточного. Длина западного участка на 135 м больше длины южного. Сколько метров составляет общая длина стен Московского Кремля?
1) 685 + 45 = 730 (метров) — длина восточной стены Кремля.
2) 685 + 135 = 820 (метров) — длина Западной стены Кремля.
3) 685 + 730 + 820 = 2 235 (метров) — общая длина стен Кремля.
Ответ: 2 235 метров.
174. У Иры в коллекции есть 26 марок, посвящённых историческим событиям, а также марки, посвящённые архитектуре и спорту. Марок по архитектуре у неё на 15 больше, чем по истории, и на 14 меньше, чем на спортивную тему. Сколько марок в коллекции у Иры?
1) 26 + 15 = 41 (марки) — по архитектуре.
2) 41 + 14 = 55 (марок) — посвящённых спорту.
3) 26 + 41 + 55 = 122 (марки) — всего в коллекции Иры.
175. На одной полке было 17 книг, на второй — на 18 книг больше, чем на первой, а на третьей — на 6 книг больше, чем на первой и второй вместе. Сколько всего книг было на трёх полках?
1) 17 + 18 = 35 (книг) — на второй полке.
2) 35 + 17 = 52 (книги) — на первой и второй полке вместе.
3) 52 + 6 = 58 (книг) — на третьей полке.
4) 52 + 58 = 110 (книг) всего на трёх полках.
176. Отправившись в велосипедный поход, группа туристов в первый день проехала 42 км, что на 12 км меньше, чем во второй, а в третий — на 4 км больше, чем в первый и второй вместе. Сколько километров проехали туристы за три дня?
1) 42 + 12 = 54 (км) — туристы проехали во второй день.
2) 42 + 54 = 96 (км) — туристы проехали всего за первый и второй день.
3) 96 + 4 = 100 (км) — туристы проехали в третий день.
4) 96 + 100 = 196 (км) — туристы проехали за три дня всего.
177. Упростите выражение:
178. Упростите выражение:
179. Дядя Фёдор выехал из города в Простоквашино в 15 ч 40 мин и потратил на дорогу 3 ч 50 мин. В котором часу дядя Фёдор приехал в Простоквашино?
1) 15 ч 40 мин + 3 ч 50 мин = (15 ч + 3 ч) + (40 мин + 50 мин) = 18 ч + 90 мин = 18 ч + (60 мин + 30 мин) = (18 ч + 1 ч) + 30 мин = 19 ч 30 мин
Ответ: дядя Фёдор приехал в Простоквашино в 19 часов 30 минут.
180. Поезд отправляется от станции А в 9 ч 57 мин и прибывает на станцию В через 2 ч 36 мин. В котором часу поезд прибывает на станцию В?
1) 9 ч 57 мин + 2 ч 36 мин = (9 ч + 2 ч) + ( 57 мин + 36 мин) = 11 ч + 93 мин = 11 ч + (60 мин + 33 мин) = (11 ч + 1 ч) + 33 мин = 12 ч 33 мин
Ответ: поезд прибывает на станцию В в 12 часов 33 минуты.
181. Найди:
182. Найдите сумму:
183. Найдите сумму:
184. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы сложение было выполнено верно:
185. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы сложение было выполнено верно:
186. Не выполняя вычислений, расположите данные суммы в порядке возрастания:
187. Найдите сумму наиболее удобным способом:
1) 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 + 10 = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 10 = 10 • 4 + 5 + 10 = 40 + 5 + 10 = 55
Комментарий: В данном примере надо сложить 11 чисел. из них:
В результате получаем 5 десятков плюс 5, то есть число 55.
2) 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100
1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = (1 + 99) + (2 + 98) + (3 + 97) + … + (49 + 51) + 50 + 100 = 100 • 49 + 50 + 100 = 4900 + 50 + 100 = 5 500.
188. Найди:
1) На сколько сумма 1 + 3 + 5 + … + 99 меньше, чем сумма 2 + 4 + 6 + … + 100?
1) 1 + 3 + 5 + … + 99 = (1 + 99) + (3 + 97) + (5 + 95) + … + (49 + 51) = 100 • 25 = 2 500 — слагаемыми являются только нечётные числа, а от 1 до 49 их 25 штук.
2) 2 + 4 + 6 + … + 100 = (2 + 98) + (4 + 96) + (6 + 94) + … + (48 + 52) + 50 + 100 = 100 • 24 + 50 + 100 = 2 400 + 50 + 100 = 2 550 — слагаемыми являются только нечётные числа, а их 24 пары по 100 плюс число 50 плюс число 100.
3) 2 550 — 2 500 = 50
2) Какая из сумм 1 + 3 + 5 + … + 2 001 и 2 + 4 + 6 + … + 2 000 больше и на сколько?
1) 1 + 3 + 5 + … + 2 001 = (1 + 1 999) + (3 + 1997) + (5 + 1995) + … + (999 + 1 001) + 2 001 = 2 000 • 500 + 2 001 = 1 000 000 + 2 001 = 1 002 001
2) 2 + 4+ 6 + … + 2 000 = (2 + 1998) + (4 + 1996) + (6 + 1994) + … + (998 + 1 002) + 1 000 + 2 000 = 2 000 • 490 + 1 000 + 2 000 = 2 000 + 500 + 1 000 = 1 000 000 + 1 000 = 1 001 000
3) 1 002 001 — 1 001 000 = 1 001
Ответ: сумма 1 + 3 + 5 + … + 2 001 больше суммы 2 + 4 + 6 + … + 2 000 на 1 001.
189. В записи 4 4 4 4 4 4 4 4 поставьте между некоторыми цифрами знак «+» так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 500.
444 + 44 + 4 + 4 + 4 = (444 + 44) + (4 + 4 + 4) = 488 + 12 = 500
Ответ: 444 + 44 + 4 + 4 + 4
190. Замените звёздочки числами так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была равна 20: 7, *, *, *, *, *, *, 9.
7 + 9 + 5 = 20; 9 + 4 + 7 = 20; 4 + 7 + 9 = 20 и т.д.
191. Слава разрезал проволоку на кусочки и составил фигуру, изображённую на рисунке 65. Мог ли Слава разрезать эту же проволоку так, чтобы составить фигуру, изображённую на рисунке 66?
Посчитаем, сколько проволоки Слава потратил на составление первой фигуры:
1) 15 • 1 + 12 • 2 = 15 + 24 = 39 (см) — проволоки использовано на первую фигуру.
Посчитаем, сколько проволоки Славе потребуется для составления второй фигуры:
2) 12 • 3 + 12 • 1 = 36 + 12 = 48 (см) — проволоки потребуется для второй фигуры.
Ответ: нет, длины проволоки, использованной для первой фигуры, не хватит для изготовления второй фигуры.
Упражнения для повторения
192. Отметьте на координатном луче натуральные числа, которые больше 6, но меньше 12.
193. Запишите все шестизначные числа, которые больше 999 888 и оканчиваются цифрой 5.
194. Скороход прошёл 24 км за 4 ч. На обратном пути он увеличил скорость на 2 км/ч. Сколько времени он потратил на обратный путь?
1) 24 : 4 = 6 (км/ч) — скорость движения скорохода по пути туда.
2) 6 + 2 = 8 (км/ч) — скорость движения скорохода по пути обратно.
3) 24 : 8 = 3 (часа) — скороход потратил на обратный путь.
195. Вася старше своей сестры Светы на 5 лет. На сколько лет он будет старше Светы через 7 лет?
И через 7 лет, и через 10, и через любое количество лет разница в возрасте между Васей и Светой останется одинаковой — 5 лет. Это происходит потому, что с количество лет прибавляется с каждым годом для всех с одинаковой скоростью.
Ответ: Вася будет старше своей сестры Светы на 5 лет.
Задача от мудрой совы
196. Можно ли таблицу из пяти строк и шести столбцов заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел каждой строки была равна 30, а сумма чисел каждого столбца — 20?
Мы знаем, что строк в таблице должно быть 5 и сумма натуральных чисел в каждой строке должна равняться 30. Значит сумма натуральных числе во всех пяти строках таблицы должна равняться:
Мы знаем, что столбцов с таблице должно быть 6 и сумма всех натуральных чисел в каждом столбце таблицы должна равняться 20. Значит сумма натуральных числе во всех шести столбцах таблицы должна равняться:
Получается, что сумма натуральных чисел в таблице, если считать по строкам и если считать по столбцам, не совпадает:
Значит таблицу с указанными условиями невозможно заполнить натуральными числами.
Ответ: нет, такую таблицу заполнить невозможно.
Свойства сложения и вычитания
Свойства (или законы) арифметических действий на числовых примерах мы рассматривали в теме «Законы арифметики» для начальной школы.
В 5 классе законы арифметики записываются с помощью буквенных выражений. Поэтому теперь мы рассмотрим эти и другие свойства в виде буквенных выражений.
Свойства сложения
Переместительное свойство сложения
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
В буквенном виде свойство записывается так:
Сочетательное свойство сложения
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены скобки, то скобки можно не ставить и писать просто « a + b + с ».
Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют сформулировать правило преображения сумм.
При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в группы и переставлять.
Свойство нуля при сложении
Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.
Если к числу прибавить нуль, получится само число.
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.
Скобки в выражении « (a − b) − c » не имеют значения и их можно опустить.
Свойство вычитания числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
Свойство нуля при вычитании
Если из числа вычесть нуль, получится само число.
Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
Урок 16 Бесплатно Буквенная запись свойств сложения и вычитания натуральных чисел
На предыдущих уроках подробно рассмотрели арифметические операции сложения и вычитания натуральных чисел.
Выяснили, какими свойствами обладают данные математические операции.
На этом занятии познакомимся с буквенной записью свойств сложения и вычитания натуральных чисел.
Определим, каким образом можно упрощать числовые и буквенные выражения, используя свойства сложения и вычитания.
Выражения с переменной. Тождественные преобразования числовых и буквенных выражений
Перевод математической записи из словесной формы в символьную позволяет представить математическое утверждение наглядно, кратко, однозначно.
Так, например, при передаче информации в словесной форме в предложении можно менять слова и предложения в тексте, не нарушая общего смысла, а в записи высказываний на математическом языке чаще всего это недопустимо.
«В одной корзине 30 грибов, во второй корзине на 6 грибов больше. Всего в двух корзинах 66 грибов.»
Попробуем сказать данное утверждение по-другому.
«Всего собрали 66 грибов. В одной корзине 30 грибов, в другой на 6 грибов больше»
Математический смысл и численные значения остались прежними.
С помощью чисел и знаков данное текстовое утверждение запишем так:
30 + (30 + 6) = 66.
Осмысленная комбинация математических символов, букв и знаков, как нам уже известно, называется математическим выражением.
Математические выражения делят на числовые и буквенные.
Числовые выражения состоят только из чисел, знаков математических операций и других специальных математических символов.
Буквенные выражения помимо чисел и знаков математических операций и других специальных математических символов содержит еще и буквы.
Буквы, входящие в буквенные выражения, называют переменными.
Слово «переменная» схоже по значению со словами «меняющаяся», «измененная», «непостоянная», что говорит о том, что буква в выражении, которая является переменной, может менять свое значение, т.е. принимать множество допустимых значений.
Переменную обозначают символом (чаще всего латинской буквой), общим для любого ее значения.
Дано буквенное выражение а + 2.
а— это переменная.
Присвоим данной переменной значение 10.
Для этого приравняем ее к десяти, т.е. запишем а = 10.
В таком случае значение переменной а можно подставить в выражение а + 2
Получим числовое выражение 10 + 2, которое можно вычислить.
10 + 2 = 12
В буквенных выражениях могут находиться одна, две, три и более переменных.
Переменные, имеющие одно и то же значение, обозначаются одной буквой.
Соответственно, разными буквами обозначают различные по значению переменные.
Значение выражения с переменными зависит от значения переменных, входящих в него.
Последовательность выполнения арифметических операций в выражениях с переменными такая же, что и для числовых выражений.
С помощью выражений с переменными удобно записывать и доказывать различные теоремы, правила, законы и т.д.
В результате получается универсальная символьная запись, которая отвлечена от конкретных количественных значений.
Рассмотрим поясняющий пример.
Тему «Сложение натуральных чисел», мы рассматривали на числовых примерах.
Например, 2 + 3 = 5
число 2— это первое слагаемое
число 3— это второе слагаемое
число 5— это сумма чисел 2 и 3.
Но в таком случае мы имели конкретный пример и лишь оговаривали, что он справедлив для любых натуральных чисел.
Правило сложения натуральных чисел можно было бы сделать универсальным, заменив числовое выражение на буквенное, обозначив компоненты сложения буквами (переменными).
первое слагаемое- а
второе слагаемое- b
сумма чисел- c.
Получили бы равенство с тремя переменными a + b = c.
Пользуясь полученным равенством, с легкостью можно определить сумму, подставляя различные значения переменных a и b.
Меняя значения переменных a и b, переменная с будет соответственно меняться тоже.
Допустим дано выражение a + b.
1. Найдем значение выражения a + b, если a = 6, b = 8
Сумму натуральных чисел найдем с помощью равенства:
a + b = c
Подставим значения переменных в равенство, получим
6 + 8 = 14.
Ответ: переменная с равна 14 при a = 6, b = 8
2. Найдем значение выражения a + b, если a = 7, b = 5
Опять же сумму натуральных чисел найдем с помощью равенства:
a + b = c
Подставим значения переменных в равенство, получим
7 + 5 = 12
Ответ: переменная с равна 12 при a = 7, b = 5.
При изменении значений переменных a и b, менялось значение переменной с.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Известно, что свойства сложения и вычитания представляют собой равенства.
Равенство состоит из левой и правой части (левого и правого выражения).
Равенства бывают верные и неверные.
Математическое равенство считается верным, если правая его часть (правое выражение) равна левой части (левому выражению).
Верные числовые равенства, а также равенства, верные при любых допустимых значениях переменных, называют тождеством.
Любое тождество является равенством.
Но не всякое равенство является тождеством, а только такое, которое верно при любых значениях переменных.
1. Тождества, содержащие только числа:
5 = 5
4 + 2 = 6
Все перечисленные в примере равенства являются примерами тождеств, так как эти равенства верные.
2 + 5 = 10 не является тождеством, равенство неверно.
Любое числовое равенство является тождеством.
2. Тождества, содержащие в своей записи числа и переменные:
2(a + 1) = 2a + 2 является тождеством, так как при любом значении переменной а записанное равенство является верным.
Тождественно равным называют выражения, значения которых равны при любых значения переменных, входящих в них.
Числовые выражения, которые имеют одинаковые значения, также называют тождественно равными.
Замена одного выражения на другое выражение, тождественно равное исходному, этот действие называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения
Чтобы тождественно преобразовать одно выражение в другое, используют различные свойства арифметических операций.
Давайте рассмотрим подробней свойства сложения и вычитания натуральных чисел и запишем их в буквенном виде.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства сложения натуральных чисел
Мы выяснили, что с помощью буквенных выражений (выражений с переменными) можно записывать различные правила, доказательства, законы, и такая запись является наиболее удобной для запоминания и эффективной при вычислениях и преобразованиях.
1. Переместительное свойство сложения натуральных чисел.
Это свойство заключается в том, что результат сложения натуральных чисел не зависит от порядка следования слагаемых.
При перестановке слагаемых сумма не меняется.
Данное свойство в буквенной форме можно записать так:
a + b = b + a
В этом равенстве переменные а и b могут принимать любые натуральные значения или 0.
Рассмотрим примеры, подтверждающий данное свойство.
Пример 1.
Дано равенство с переменными а и b.
a + b = b + a (переместительный закон сложения)
Заменим буквы в данном равенстве их значениями:
a= 16
b= 20
И найдем значение числового равенства.
16 + 20 = 20 + 16
В правой части равенства сумма 16 и 20 равна 36
16 + 20 = 36
В левой части равенства сумма 20 и 16 равна 36
20 + 16 = 36
Значение левой и правой часть равенства равны, при перестановке слагаемых местами сумма не изменилась.
Пример 2.
Рассмотрим в качестве примера задачу.
Точка О лежит на отрезке АВ.
Дина отрезка АО равна 15 см, длина отрезка ОВ равна 24 см.
Найдите длину отрезка АВ.
Так как точка О принадлежит отрезку АВ, то она делит этот отрезок на две части (на два отрезка АО и ОВ).
Длина отрезка АВ равна сумме длин его частей, т.е. отрезков АО и ОВ.
АВ = АО + ОВ.
Подставим в равенство значения длин отрезков АО и ОВ.
15 + 24 = 39 (см) длина отрезка АВ
Ответ: 39 см.
Если мы в равенстве АВ = АО + ОВ поменяем местами слагаемые, то длина отрезка будет равна:
АВ = ОВ + АО
Подставим в равенство значения длин отрезков АО и ОВ.
24 + 15 = 39 (см) длина отрезка АВ
Ответ: 39 см.
При перестановке слагаемых местами сумма не изменилась, длина отрезка в первом и во втором случае равна 39 см.
2. Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.
Последовательность действий при суммировании чисел не важна.
Сочетательное свойство сложения звучит так:
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала к нему прибавить первое слагаемое, потом к полученной сумме второе.
Данное свойство с помощью букв записывается таким образом:
a + (b + c) = (a + b) + c
Причем переменные a, b, c— любые натуральные числа или нуль.
Приведем примеры, подтверждающий данное свойство.
Пример 1.
Дано равенство- сочетательный закон сложения
a + (b + c) = (a + b) + c
Подставим вместо букв a, b, c их значения:
a = 32
b = 8
c = 13
И найдем значение числового равенства.
32 + (8 + 13) = (32 + 8) + 13
В левой части равенства к числу 32 прибавим сумму чисел 8 и 13, соблюдая порядок выполнения арифметических операций.
Известно, что первым выполняется действие в скобках.
32 + (8 + 13) = 32 + 21 = 53.
В правой части равенства стоит выражение, в котором к сумме чисел 32 и 8 необходимо прибавить число 13.
(32 + 8) + 13 = 40 + 13 = 53.
Выражения левой и правой части равенства имеют одинаковые значения, следовательно, равенство 32 + (8 + 13) = (32 + 8) + 13 верно, а это значит, что результат сложения числа с суммой двух чисел равен результату суммы двух первых чисел с третьим числом.
Отметим тот факт, что значение числового выражения во втором случае найти было легче, так как в сумме 32 и 8 давали круглое число 40.
Как нам известно, выполнять действия с круглыми числами намного проще.
Такого рода упрощения математических выражений используют при решении задач.
Пример 2.
Решим в качестве примера задачу.
Дан треугольник АВС.
Сторона а = 4 см, сторона b = 6 см, сторона с = 9 см.
Найдите периметр треугольника АВС.
Периметр треугольника равен сумме длин трех его сторон.
Найдем периметр треугольника по формуле:
РАВС = a + b + c
Сложить длины сторон треугольника можно двумя способами.
1) Сначала найти сумму длин сторон a и b, а затем прибавить длину стороны с.
РАВС = (a + b) + c
Заменим буквы их значениями, получим равенство:
РАВС = (4 + 6) + 9 = 10 + 9 = 19 (см) периметр треугольника АВС
Ответ: 19 см.
2) Можно сначала найти сумму длин сторон b и c, а затем прибавить длину стороны а.
РАВС = a + (b + c)
Заменим буквы их значениями, получим равенство:
РАВС = 4 + (6 + 9) = 4 + 15 = 19 (см) периметр треугольника АВС
Ответ: 19 см.
В первом и во втором варианте решения задачи получили периметр треугольника АВС равный 19 см, что доказывает равносильность первого и второго равенства.
Однако в первом случае найти значение выражения было проще, так как при сложении 4 и 6 получили круглое число 10.
3. Свойство сложения натурального числа с нулем.
Данное свойство говорит о том, что прибавление к любому числу нуля не изменяет это число.
Свойство сложения натурального числа с нулем звучит так:
Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна ненулевому слагаемому.
Обратите внимание, как выглядит данное свойство в буквенном виде:
а = а + 0
а = 0 + а
а— любое натуральное число.
Часто говорят, что нуль- это нейтральный элемент по сложению.
Приведем примеры, подтверждающий данное свойство.
Пример 1.
Пусть даны два равенства
а + 0 = а
0 + а = а
Подставим в первое и во второе равенство вместо букв a, ее значение.
a = 48
48 + 0 = 48
0 + 48 = 48
Прибавляя число к нулю или нуль к числу, получается в ответе само это число.
Пример 2.
Рассмотрим в качестве примера две небольшие задачи.
1. У кормушки сидели 5 птиц, к ним прилетели еще 0 птиц.
Сколько птиц всего стало у кормушки?
К 5 птицам прилетело ноль птиц,;это значит, что не прилетело ни одной, следовательно, у кормушки осталось по-прежнему 5 птиц.
5 + 0 = 5 (птиц) стало у кормушки.
Ответ: 5 птиц.
Обратная ситуация будет складываться во второй задаче.
2. У кормушки не сидело ни одной птицы, прилетели к кормушке 5 птиц.
Сколько птиц всего стало у кормушки?
Не было у кормушки ни одной птицы, значит, сидело ноль птиц, когда прилетели 5 птиц, то только эти 5 птиц и стали сидеть у кормушки.
0 + 5 = 5 (птиц) стало у кормушки.
Ответ: 5 птиц.
Прибавляя число к нулю или нуль к числу, получили в результате само это число.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства вычитания натуральных чисел
Выясним, как записать свойства вычитания с помощью буквенных выражений.
1. Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.
Вспомним формулировку свойства вычитания суммы двух чисел из натурального числа.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала выполнить сложение, а затем вычесть полученную сумму из уменьшаемого числа.
Справедливо также следующее правило:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала из уменьшаемого вычесть одно из слагаемых, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое.
Данное свойство запишем с помощью букв.
a, b, c— натуральные числа.
Обязательно должно выполняться условие: сумма чисел, которую вычитают из числа, должна быть больше или равна вычитаемому, т.е. b + c с или а = c
a, b, c— натуральные числа
а + b > c
Пример 1.
Запишем свойства вычитания суммы двух чисел из натурального числа с помощью букв.
Пусть a = 23, b = 12, c = 3.
Подставим вместо букв a, b, c их значения:
1) В первом выражении из суммы чисел 23 и 12 вычтем число 3.
2) Во втором выражении от первого слагаемого равного 23, можно отнять вычитаемое число 3 (так как 23 больше вычитаемого числа), а затем к полученной разности прибавить второе слагаемое 12.
3) В третьем выражении из второго слагаемого равного 12, можно вычесть вычитаемое число 3 (так как 12 больше вычитаемого числа), а затем к полученной разности прибавить первое слагаемое 23.
Во всех трех случаях получили одно и тоже значение 32, следовательно, все три числовые выражения тождественно равны.
Пример 2.
Рассмотрим задачу на вычитание числа из суммы.
С одной ветки сорвали 18 слив, а со второй- 10.
Съели 12 слив. Сколько слив осталось?
Составим краткую запись задачи.
Съели- 12 слив.
Данную задачу попробуем решить разными способами.
1) Решение задачи первым способом:
Выясним план решения.
Чтобы узнать сколько осталось слив, нужно сначала определить общее количество слив, сорванных с двух веток.
Получим выражение 18 + 10.
Далее из полученной суммы необходимо вычесть сливы, которые съели, т.е. от суммы 18 + 10 нужно отнять 12.
Составим выражение и найдем его значение:
Ответ: 16 слив.
2) Решение задачи вторым способом:
Представим, что все 12 слив были съедены из числа слив, собранных с первой ветки, а затем сорвали 10 слив со второй ветки.
К полученной разности прибавим 10 (сливы, собранные со второго куста).
Составим выражение и найдем его значение:
Ответ: 16 слив.
При решении задачи первым и вторым способом получили ответ одинаковый- 16 слив, следовательно, выражения, составленные для первой и во второй задачи тождественно равны.
3. Вычитание нуля из натурального числа.
Свойства нуля при вычитании: если из числа вычесть нуль, то число не изменится.
Запишем данное свойство в буквенной форме.
Пример 1.
Пусть а = 73.
Вычитая нуль из числа, получили само это число.
Рассмотрим в качестве примера такую задачу.
На клумбе расцвели 5 тюльпанов.
Ни одного тюльпана не сорвали.
Сколько тюльпанов осталось на клумбе?
Ни одного тюльпана не сорвали, это значит, что было сорвано 0 тюльпанов.
Запишем кратко условия задачи.
Было- 5 тюльпанов.
Сорвали- 0 тюльпанов.
Составим числовое выражение и найдем его значение.
Ответ: 5 тюльпанов.
4. Вычитание из натурального числа само это число.
Данное свойство звучит так:
Разность двух одинаковых натуральных чисел равна нулю.
Можно сказать и по-другому:
Если из числа вычесть тоже самое число, то в результате получится нуль.
Буквенное представление данного свойства выглядит так:
а— любое натуральное число.
Пример 1.
Допустим а = 26, то получим числовое равенство
Пример 2.
Данное свойство можно представить с помощью такой задачи.
В кошельке было 210 рублей.
За покупку в магазине отдали 210 рублей.
Сколько денег осталось в кошельке?
Запишем кратко условия задачи.
Было (уменьшаемое)- 210 руб.
Отдали (вычитаемое)- 210 руб.
Чтобы найти остаток (разность), нужно из уменьшаемого вычесть вычитаемое.
Составим числовое выражение и найдем его значение.
Ответ: 0 руб.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации