все вершины многогранника лежат на сфере такой многогранник называется

Конкурс «Мониторинг качества образования» Номинация: «Методические разработки уроков проверки знаний»

Проводится анализ ошибок

^ 3. Проверка практических навыков учащихся.

Учащимся выдаются карточки на 2 уровня. Задача ученика выбрать приемлемый его знаниям уровень заданий и приступить к его решению.

Критерии оценки: 1 уровень «3»,

2 уровень «4» за 2 задания, «5» за 3 задания.

1.Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота цилиндра равна 6см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.

2.Радиус шара равен 17см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15см.

3.Радиус основания конуса равен 3м, а высота 4м. Найдите образующую и площадь осевого сечения.

1.Высота цилиндра 8дм, радиус основания 5дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.

2.Радиус сферы равен 15см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12см.

3.Образующая конуса l наклонена к плоскости под углом в 30°.

Найдите высоту конуса и площадь осевого сечения.

1.Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Радиус основания конуса равен 6см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 45° и площадь боковой поверхности конуса.

3.Диаметр шара равен d. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

1.Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см кв..

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2.Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3.Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30° к нему, равна 75π см кв.. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

^ Ключ к задачам.

Вариант 1

Источник

Урок геометрии в 11 классе по теме «Комбинация шара с круглыми телами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Комбинация шара с круглыми телами

продолжить формирование знаний о взаимном расположении геометрических тел; систематизировать и обобщить знания по комбинации шара и конуса, шара и цилиндра;

способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, наглядно-действенного мышления; развивать пространственное воображение, навыки решения задач;

воспитывать потребность в самообразовании, культуру умственного труда; содействовать формированию учебных компетенций по самостоятельному приобретению знаний.

Знают и умеют изображать основные многогранники и тела вращения; выполнять чертежи по условиям задач и решать простейшие задачи. Могут собрать материал для сообщения по заданной теме.

Листы с тестовыми заданиями

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока

Ознакомление с темой урока, постановка его целей и задач.

На прошлых уроках мы рассмотрели задачи на комбинации шара и призмы, шара и пирамиды. Этим комбинации тел не ограничиваются, примеры каких комбинаций тел вы еще можете привести?

• цилиндр и пирамида;

Тема нашего урока «Комбинация шара с круглыми телами». Определите цели и задачи урока.

— Закрепить знания и умения по уже изученным темам;

— Совершенствовать навыки решения задач на комбинации тел;

— Развивать умение логически мыслить, рассуждать, делать выводы.

Проверка домашнего задания.

Учащиеся через проектор по готовому решению проверяют домашние задачи №№ 639(а), 634(б).

Проверка знаний и умений учащихся по пройденному материалу.

Учащиеся выполняют тест на знание теории ( вопрос №5 теста на опережение ) и сдают тетради.

1. Если сфера касается всех граней многогранника, то она называется.

а) описанной около многогранника;

б) вписанной в многогранник;

в) касательной к многограннику.

2. Все вершины многогранника лежат на сфере, такой многогранник называется.

а) вписанным в сферу;

б) описанным около сферы;

в) касательным к сфере.

3. Шар можно вписать в.

а) произвольную призму;

б) треугольную пирамиду;

в) треугольную призму.

4. В прямую призму, в основание которой вписана окружность, можно вписать сферу, если.

а) высота призмы равна диаметру вписанной окружности;

б) центр сферы лежит на высоте призмы;

в) высота призмы равна радиусу вписанной окружности.

5. Во всякий цилиндр можно вписать сферу, если.

а) центр сферы лежит на оси цилиндра;

б) сфера касается оснований цилиндра;

1. Если на сфере лежат все вершины многогранника, то она называется.

а) описанной около многогранника;

б) вписанной в многогранник;

в) касательной к многограннику.

2. Если каждая грань многогранника является касательной плоскостью к сфере, то такой многогранник называется.

а) вписанным в сферу;

б) описанным около сферы;

в) касательным к сфере.

3. Шар можно описать около.

б) любой правильной пирамиды;

в) наклонной призмы.

4. В прямую призму вписана сфера, около призмы еще описана сфера, центры этих сфер.

а) лежат на разных диагоналях призмы;

б) принадлежат высоте призмы и ие совпадают;

5. Около любого цилиндра можно описать сферу. Основания цилиндра являются.

а) касательными плоскостями к сфере;

б) большим кругом сферы;

Изложение нового материала.

Шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах. А боковой поверхности цилиндра — по параллельной основаниям окружности большого круга (то есть радиус этой окружности равен радиусу шара).

Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара. В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r: R= r.

Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению осевого сечения комбинации тел.

Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара: H=2R

Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.

Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса. При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.

Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).

Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).

Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).

Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Первичное закрепление изученного.

По условию задачи используется рис. 157, а) из учебника, предложим решение (рис. 1).

Решить задачу № 643(а)

По условию задачи используется рис. 157 б) из учебника, для решения рассмотрим осевое сечение (рис. 2).

При наличии времени можно предложить учащимся выполнить №645.

Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Домашнее задание: Изучить вопросы теории по данной теме из классной работы, №№ 522, 643(б), наиболее подготовленным учащимся № 630.

Во всякий ли цилиндр можно вписать шар?

Чему равен радиус вписанного в цилиндр шара?

Где лежит центр шара, вписанного в конус?

Что собой представляет сечение шара и вписанного в него конуса?

Источник

«Комбинации многогранника и шара» (пособие для учителя)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Комбинации с многогранником и шаром (пособие для учителя).

Творческая работа учителя математики гимназии №1

Гришиной Ирины Владимировны

Основные определения и теоремы 4

Контрольные вопросы 6

Примеры решения задач 7

Основные определения и теоремы 17

Контрольные вопросы 20

Примеры решения задач 21

Настоящая работа написана из опыта проведённых уроков геометрии по теме «Комбинации тел» в 11 ом профильном (физико-математическом) классе с целью систематизации собранных материалов в помощь учителям, также работающим в профильном классе.

Задачи на комбинацию тел – наиболее трудный вопрос курса стереометрии 11 ого класса. Начинающий учитель обязательно испытает трудности и в том, насколько глубоко должны быть изложены теоретические сведения для учащихся, и в том, какие задачи предложить учащимся для решения. Очевидно, что целью учителя профильного класса является то, чтобы максимально подготовить своих учеников к успешной сдаче приёмного экзамена в ВУЗы. Главным здесь является умение решать задачи, поэтому последние подобраны в основном из сборников задач вступительных экзаменов в различные ВУЗы, а теоретическая часть не отягощена доказательствами тех фактов, которые представляются очевидными.

В первом и втором разделах данной работы материал представлен по следующему плану:

основные теоретические сведения (могут быть предложены учащимся для записи, т. к. школьные учебники не содержат этих сведений, учитель может сопровождать объяснение показом на моделях, чтобы, как уже замечалось, не отяготить изложение излишними доказательствами);

контрольные вопросы (используя их, учитель может провести опрос учащихся в устной или письменной форме);

примеры решения задач (для организации классной и домашней работы учащихся; в большинстве случаев указывается источник, из которого взята задача, и её номер).

Как итог, приводится примерный текст контрольной работы, которую учитель может провести по окончании изучения данной темы.

Тема «Комбинации тел» рассматривается как завершающая после изучения свойств многогранников и тел вращения, перед изучением формул объёмов. На её изучение целесообразно отвести 9-12 часов (в зависимости от уровня подготовки класса).

Многогранники, вписанные в шар.

Основные определения и теоремы.

Определение. Сфера называется описанной около многогранника (или многогранник, вписанным в сферу), если все вершины многогранника лежат на этой сфере.

Центр этой сферы является точкой, равноудалённой от вершин многогранника. Она является точкой пересечения плоскостей, каждая из которых проходит через середину ребра многогранника перпендикулярно ему. (Целесообразно предварительно вспомнить с учащимися положение центра окружности, описанной около многоугольника, а также задачу о равноудалённости от концов отрезка каждой точки плоскости, если эта плоскость проходит через середину отрезка перпендикулярно ему).

Рассмотрим теперь различные виды многогранников, вписанных в сферу.

Сфера может быть описана около параллелепипеда тогда и только тогда, когда параллелепипед прямоугольный, так как он должен быть прямым и около его основания – параллелограмма – может быть описана окружность (т. е. основание – прямоугольник).

Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность. (Значит, если пирамида треугольная, то около неё всегда может быть описана сфера)

Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, восставленном из центра окружности, описанной около основания, так как каждая точка его равноудалена от вершин основания пирамиды.

В случае, когда боковые рёбра пирамиды равны (равнонаклонены к основанию), вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания. Можно сказать иначе: высота пирамиды лежит на вышеуказанном перпендикуляре. В этом случае около пирамиды всегда можно описать сферу, причём центр этой сферы является точкой пересечения высоты (или её продолжения) пирамиды и плоскости, перпендикулярной боковому ребру и проходящей через его середину.

Для решения задач на комбинацию шара с многогранником изображение шара бывает излишним, достаточно указать его центр и радиус.

В случае пирамиды с равными боковыми рёбрами показывают положение центра описанного шара как точку пересечения высоты пирамиды и серединного перпендикуляра к боковому ребру, лежащему в плоскости, проходящей через высоту и боковое ребро.

Полезно учащимся предложить один из приёмов нахождения радиуса описанной сферы.

Пусть SABC – пирамида с равными боковыми рёбрами, h – её высота, R – радиус окружности, описанной около основания. Найдём радиус описанной сферы.

Заметим подобие прямоугольных треугольников SKO ₁ и SAO.

R ₁ = b 2 /(2h), где b – боковое ребро.

Полученную формулу радиуса описанной сферы для пирамиды с равными боковыми рёбрами будем в дальнейшем применять при решении задач.

Какой многогранник называется вписанным в сферу?

Каким свойством обладает точка, являющаяся центром сферы, описанной около многогранника? Точкой пересечения каких плоскостей она является?

В каком случае можно описать сферу около n-угольной призмы? Каково положения центра этой сферы?

В каком случае можно описать сферу около четырёхугольной призмы?

В каком случае можно описать сферу около параллелепипеда?

В каком случае можно описать сферу около пирамиды?

Сколько боковых рёбер должно быть у пирамиды, чтобы около неё можно было описать сферу в любом случае?

На каком перпендикуляре к основанию находится центр сферы, описанной около пирамиды, и почему?

В какую точку основания проектируется вершина пирамиды, если её боковые рёбра имеют одинаковую длину?

Каким свойством обладает каждая точка высоты пирамиды с равными боковыми рёбрами?

Каково положение центра сферы, описанной около пирамиды с равными боковыми рёбрами?

Как удобнее при решении задач изобразить центр сферы, описанной около пирамиды с равными боковыми рёбрами?

Может ли центр описанной сферы находиться вне многогранника? Сравните с положением центра описанной окружности около многоугольника.

Запишите формулу радиуса описанной сферы для пирамиды с равными боковыми рёбрами через радиус R окружности, описанной около основания, и высоту пирамиды h.

Примеры решения задач.

Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.

Предварительно построим на изображении правильного тетраэдра SABC изображение центра описанного шара. Проведём апофемы SD и AD (SD = AD). В равнобедренном треугольнике ASD каждая точка медианы DN равноудалена от концов отрезка AS. Поэтому точка O ₁ есть пересечение высоты SO и отрезка DN. Используя формулу из примера 1, получим:

S O ₁ = SA 2 /(2SO); SO =  SA 2 – AO 2 ;

SO =  a 2 – (a  3/3) 2 =  a 2 – a 2 /3 = a  2/3.

SO ₁ = a 2 /(2a  2/3) = a  6 /4.

Ответ. a  6 /4.

Решение.

По формуле R ₁ = b 2 /(2h) для нахождения радиуса описанного шара найдём SC и SO.

SO 2 = (a/(2sin(  /2))) 2 – (a  2 /2) 2 =

= a 2 /(4sin 2 (  /2)) – 2a 2 /4 =

= a 2 /(4sin 2 (  /2))  (1 – 2sin 2 (  /2)) =

= a 2 /(4sin 2 (  /2))  cos  ;

R ₁ = a 2 /(4sin 2 (  /2))  1/(2a  cos  /(2sin(  /2)) =

= a/(4sin(  /2)  cos  ).

Ответ. a / (4sin(  /2)   cos  ).

Высота правильной четырёхугольной пирамиды и радиус описанной сферы равны соответственно h и r (r  h). Найдите площадь основания пирамиды.

Источник