форма записи переходной характеристики
Переходные характеристики.
Переходная, или временная, характеристика (функция) звена представляет собой реакцию на выходе звена, вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия. Единичное ступенчатое воздействие (единичная ступенчатая функция) – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным. Сказанное иллюстрируется на рис.2.6,а и б. На рис. 2.6,б показаны три различных вида переходных характеристик, соответствующих различным типам звеньев, которые мы рассмотрим далее.
Таким образом, h(t) – это выражение для y(t) при x(t) = 1(t).
Наряду с переходной характеристикой применяется импульсная переходная (временная)характеристика или функция, называемая еще весовой функцией (функцией веса). Эта характеристика представляет собой реакцию звена на единичный импульс. Единичный импульс (единичная импульсная функция, или дельта-функция) – это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала. Единичный импульс – это импульс, площадь которого равна единице при длительности, равной нулю, и высоте, равной бесконечности. На рис.2.4,б он условно показан в виде утолщения на оси ординат. На рис. 2.7 изображены типичные формы самих импульсных переходных характеристик.
Импульсная переходная характеристика обозначается w(t); единичный импульс обозначается δ(t). Таким образом, w(t) – это y(t) при x(t) = δ(t).
При этом, согласно определению,
.
Дельта-функция просто связана с единичной ступенчатой функцией:
.
Из этого выражения следует аналогичная связь между переходной и весовой функциями линейных звеньев:
.
Учитывая это простое соотношение между переходной и весовой функциями, ниже будем применять главным образом первую из них, имея в виду, что вторую при необходимости всегда можно получить дифференцированием по формуле w(t) = h’(t).
Зная переходную или весовую функцию, можно определить реакцию звена на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях с помощью следующих формул:
, (2.8)
где х(0) – значение х(t) при t = 0;
. (2.9)
Эти формулы легко получаются друг из друга, являясь вариантами интеграла Дюамеля, или интеграла свертки.
Переходные характеристики могут быть выражены непосредственно через передаточную функцию звена с помощью преобразования Лапласа над уравнением звена, записанным в общем виде согласно уравнению (2.3,а):
.
Считая начальные условия нулевыми и учитывая, что обе части этого уравнения представляют собой сумму производных с постоянными коэффициентами, получим:
.
Здесь 
— изображения Лапласа функций x(t) и y(t); Q(s) и R(s) – полиномы, отличающиеся от исходных полиномов Q(p) и R(p) только заменой оператора дифференцирования р на комплексную переменную s = c + jω. Отсюда
, (2.10)
где 
— передаточная функция звена (с заменой р на s).
В случае, когда входное воздействие x(t) представляет собой единичный импульс δ(t), учитывая, что его изображение по Лапласу 
, из (2.10) получаем следующее выражение для изображения весовой функции звена:
, (2.11)
.
Таким образом, весовая функция определяется через передаточную функцию по формуле обратного преобразования Лапласа, т.е. является ее оригиналом.
В случае, когда x(t) = 1(t), учитывая, что L[1(t)] = 1/s, из (2.10) получаем выражение для изображения переходной характеристики:
.
Соответственно переходная характеристика звена
.
Выражения (2.10) и (2.11) можно трактовать как определения передаточной функции. Согласно (2.10), передаточная функция определяется как отношение изображений Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях. Согласно (2.11), передаточная функция есть изображение Лапласа весовой функции.
Основные параметры переходной функции:
Рис. 2.8. Переходная характеристика САУ.
§ статическое отклонение (статическая ошибка) ε = 1(t) – hуст. Она характеризует разность между входным и выходным сигналами в установившемся режиме. Системы, у которых статическое отклонение не равно нулю (ε <> 0) называются статическими. Системы, у которых ε = 0, называются астатическими.
§ Динамическое отклонение, т.е. разность между максимальным отклонением и установившемся значением hmax – hуст.
§ Время регулирования (управления) Tу – это время переходного процесса. Это время, после которого разность между текущим значение выходного сигнала и установившимся значением будет иметь малую величину Δ. Как правило, Δ принимают равным 5% от hуст.
Время регулирования характеризует быстродействие системы автоматического управления. Чем меньше Tу, тем выше быстродействие.
§ Перерегулирование σ, %. Определяется выражением:
(В реальных системах перерегулирование обычно составляет 10 – 30%).
§ Частота колебаний процесса ω = 2π/T0, где T0 – период колебаний.
§ Время нарастания (установления) Tн – время, за которое система достигает установившегося значения.
8.Логарифмические частотные характеристики САУ.
§ Логарифмический декремент затухания, определяется по формуле:
§ Число колебаний n – число максимумов h(t) на промежутке от 0 до Tу.
Функции 1(t) и δ(t) можно использовать для экспериментального определения передаточной функции элемента системы управления:
Первый подход: подадим на вход d * (t). Пусть d*(t) ≈ d(t) (т.к. d(t) физически не реализуема), измерим w * (t) ≈ w(t). Теперь можно вычислить L[w * (t)] = W * (s) ≈ W(s).
Второй подход: На вход подаем 1(t). Измеряем h(t) и вычисляем передаточную функцию. W(s) = L[d/dt(h(t)].
Переходные характеристики
При исследовании систем автоматического управления обычно используются два вида переходных характеристик:
— переходная характеристика, называемая также кривой разгона или временной характеристикой;
— импульсная переходная характеристика, называемая также импульсной характеристикой или функцией веса.
Реакция линейной системы на единичное ступенчатое входное воздействие называется переходной характеристикой – h(t). Эта характеристика может быть получена как аналитически, так и экспериментально путем подачи на вход системы единичного ступенчатого воздействия – x0(t) и регистрации вызванного этим воздействием значения выхода системы – h(t) (рис. 1 – 12).
Аналитически переходная и импульсная переходная характеристики системы находятся достаточно просто при знании дифференциального уравнения системы. Например, полагая, что дифференциальное уравнение системы имеет вид:
, (1-19)
переходная характеристика системы находится как решение этого уравнения при единичном входном воздействии X(t)=I(t) и при начальных условиях Y(t=0)=0. Решение исходного уравнения осуществлялось в § 1-5 и, следовательно, переходная характеристика для рассматриваемой системы имеет вид (рис. 1 – 11):
.
Импульсная переходная характеристика рассматриваемой системы есть решение исходного дифференциального уравнения при
.
Тогда, так как правая часть есть производная, существующая только в момент времени, равной 0, то при t>0 исходного уравнения – (1-19) соответствует уравнению:
, (1-20)
решение которого ищется в виде:
.
Начальные условия Y(0) находятся путем интегрирования обеих частей уравнения (1-19) в пределах от –t1 до +t1
.
,
отсюда находим начальное условие:
.
В результате, решения уравнение (1-20) при найденных начальных условиях, записываем импульсную переходную характеристику линейной системы в виде:
.
1. Функция 
— последовательность прямоугольных импульсов длительностью 
.
2. 
.
Реакцию системы на достаточно короткий прямоугольный импульс можно считать приближенно равной импульсной переходной характеристике системы W(t), умноженной на площадь этого импульса x(t)×Dt. Следовательно, реакция системы на ступенчатое воздействие будет определяться выражением:
. (1-21)
(1-22)
В результате получается так называемая формула свертки, широко используемая в теории автоматического управления, а операция, осуществляемая этой формулой, называется сверткой функций W(t) и x(t).
Для физически реализуемых систем импульсные переходные характеристики должны удовлетворять условию:
Переходная функция (переходная характеристика)
Эта динамическая характеристика применяется для описания одноканальных систем
с нулевыми начальными условиями
— момент возникновения входного воздействия
Рис.2.4. Переходная характеристика системы
Переходные характеристики для различных значений активного сопротивления в электрической цепи:
 |
Чтобы определить переходную характеристику аналитически, следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и u(t)=1(t).
Для реальной системы переходную характеристику можно получить экспериментальным путем; при этом на вход системы следует подавать ступенчатое воздействие и фиксировать реакцию на выходе. Если ступенчатое воздействие отлично от единицы, то характеристику на выходе следует разделить на величину входного воздействия.
Зная переходную характеристику, можно определить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки
 , | (2.8) |
где — переменная интегрирования.2.5. Импульсная характеристика
(импульсная функция)
Данная характеристика используется для описания одноканальных систем вида (2.3) с нулевыми начальными условиями.
Импульсная характеристика (функция) — это реакция системы на входное единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях.
Дельта-функция обладает следующими свойствами:
 | (2.9) |
С помощью дельта-функции моделируется реальное входное воздействие типа удара.
Рис.2.5. Импульсная характеристика системы
Импульсные характеристики для различных значений активного сопротивления в электрической цепи:
| |
Импульсная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях по выражению
 | (2.10) |
Переходная функция и импульсная функция однозначно связаны между собой соотношениями
 | (2.11) |
что позволяет по одной известной характеристике определить вторую.
Переходная матрица
   . | (2.12) |
 | (2.13) |
при нулевых входных воздействиях и единичных начальных условиях
где 
Она обладает следующими свойствами:
 для любого   | (2.14) |
Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы
на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x(0) по выражению
 . | (2.15) |
 | (2.16) |
Если система имеет нулевые начальные условия x(0)=0, то
 , | (2.17) |
 . | (2.18) |
Матрица 
называется матричной импульсной функцией потому что каждая компонента ее представляет собой импульсную функцию 
, которая является реакцией i-го выхода на j-ое импульсное входное воздействие при нулевых остальных входных воздействиях и начальных условиях.
Для многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде
 | (2.19) |
Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Ф(t) представляет собой матричную экспоненту
 | (2.20) |
где 
С учетом (2.20) выражения (2.15) и (2.16) принимают вид
 | (2.21) |
 | (2.22) |
Матричная импульсная функция линейной системы с постоянными коэффициентами следующая:
 | (2.23) |
При небольших размерах или простой структуре матрицы A выражение (2.20) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы A следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.
Передаточная функция
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее записывать в символической форме с использованием так называемого оператора дифференцирования
,
Рассмотрим этот переход для многоканальных систем вида (2.6)
Запишем уравнение состояния в символической форме:
что позволяет определить вектор состояния
 | (2.24) |
и выходные переменные системы
 | (2.25) |
Матрица взаимосвязи между выходными переменными и управляющими воздействиями в выражении (2.25) при нулевых начальных условиях называется матричной передаточной функцией и обозначается
 | (2.26) |
Она представляет собой матрицу со следующими компонентами:
 | (2.27) |
где 
— скалярные передаточные функции, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях 
Собственными передаточными функциями i-го канала называются компоненты передаточной матрицы 
, которые находятся на главной диагонали. Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали, называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами.
Обратная матрица 
находится по выражению
 | (2.28) |
Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы,
Определить передаточную матрицу для объекта
где 
Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.27) и найдем предварительно обратную матрицу (2.29). Здесь
Транспонированная матрица имеет вид
где 
— транспонированная матрица. В результате получим следующую обратную матрицу:
и передаточную матрицу объекта
Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида
 | (2.30) |
Используя оператор дифференцирования, запишем уравнение (2.30) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:
 , | (2.31) |
где 
— характеристический полином.
Передаточные функции принято записывать в стандартной форме:
 , | (2.32) |
где 
— коэффициент передачи; 
Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона-Хевисайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.26) или функцию (2.31).
Для того, чтобы в дальнейшем различать преобразования дифференциальных уравнений, будем использовать следующие обозначения:
— оператор дифференцирования;
— оператор преобразования Лапласа.
Получив одну из динамических характеристик объекта, можно определить все остальные. Переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям и обратно осуществляется с помощью оператора дифференцирования p.
Рассмотрим взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. Выходная переменная находится через импульсную функцию в соответствии с выражением (2.10),
Подвергнем его преобразованию Лапласа,
,
и получим y(s) = g(s)u(s). Отсюда определим импульсную функцию:
 | (2.33) |
Определить передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид
Используя оператор дифференцирования d/dt = p, запишем уравнение объекта в символической форме
на основании которого определим искомую передаточную функцию объекта
Модальные характеристики
Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.6) или, другими словами, отражают свойства автономной системы типа (2.12)
 | (2.34) |
Будем искать ее решение в виде экспоненты
 | (2.35) |
где 
— скалярная экспонента, 
— вектор начальных условий.
Подставляя решение (2.35) в исходное уравнение (2.34), после преобразований получим
 . | (2.36) |
Система уравнений (2.36) будет иметь ненулевое решение относительно 
, если
 . | (2.37) |
Уравнение (2.37) называется характеристическим и имеет n-корней 
, которые называются собственными значениями матрицы A. При подстановке собственных значений в (2.37) получим
.
где 
— собственные векторы, 
Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.
Для (2.34) могут существовать лишь следующие экспоненциальные решения
 | (2.38) |
которые называют модами. В случае, когда собственные значения вещественные и различные по значениям, полное решение системы (2.34) представляет собой линейную комбинацию мод:
 . | (2.39) |
Для получения характеристического уравнения системы достаточно общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции) приравнять нулю (2.29).
Частотные характеристики
Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:
 , n >= m. | (2.40) |
Формально обобщенная частотная характеристика 
может быть получена из передаточной функции заменой p на 
 | (2.41) |
и представлена в виде
   . | (2.42) |
Составляющие обобщенной частотной характеристики 
имеют самостоятельное значение и следующие названия:
Частотная характеристика по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу , при изменении 
от 0 до 
прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).
Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы
Для определения 
числитель и знаменатель W(j 
) разлагаются на множители не выше второго порядка
,
Каждое из слагаемых 
определяется выражением
где 
.
Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.
Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)
 , | (2.43) |
Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть 
, выраженную в декадах (дек).
Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики
В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:
Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики
ЛФХ, реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:
 . | (2.44) |
.
Рис. 2.9. Реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы
.
Рис. 2.10. ЛФХ системы
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)
3.3. Дифференцирующее звено
3.4. Интегрирующее звено
3.5. Апериодическое звено
3.7. Звено 2-го порядка
3.8. Структурные преобразования
3.8.1. Последовательное соединение звеньев
3.8.2. Параллельное соединение звеньев
3.8.3. Обратная связь
3.8.4. Правило переноса
3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с пользованием структурных схем
3.10. Область применимости структурного метода
Введение
Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями.
Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена как на основе дифференциальных уравнений (раздел 2), так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода.
Предварительно рассмотрим подробнее типовые звенья, из которых состоят системы автоматического управления.
Пропорциональное звено
(усилительное, безынерционное)
Пропорциональным называется звено, которое описывается уравнением
Передаточная функция звена следующая:
 , | (3.2) |
а соответствующая ей структурная схема приведена на рис. 3.1.
Импульсная функция имеет вид:
g(t) = k 
.
Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для пропорционального звена отсутствуют.
Заменив в передаточной функции p на j получим следующие частотные характеристики:
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) определяется соотношением:
 | (3.3) |
и имеет тот же вид, что и ВЧХ. Выражение для ФЧХ:
 . | (3.4) |
 Рис.3.3 АФХ пропорционального звена | АФХ звена имеет вид точки на комплексной плоскости (рис. 3.3). ЛАЧХ звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс: |
| L( )=20lg[A( )]=20lg(k) | (3.5) |
 Рис.3.4 ЛАЧХ пропорционального звена | Как видим (3.3.), (3.4.), пропорциональное звено пропускает входные сигналы без искажений. |
Дифференцирующее звено
Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением:
y = k  . | (3.6) |
Его передаточная функция имеет вид:
 Рис.3.5. Переходная характеристика звена | Переходная характеристика дифференцирующего звена: h(t) = k  (t-  ). |
 Рис.3.6. Импульсная характеристика | Импульсная функция имеет вид
Получим теперь частотные характеристики звена. АФХ : W(j МЧХ : I( АЧХ : ФЧХ :
|
(t- 
) = j k 
,
,то есть для всех частот звено вносит постоянный фазовый сдвиг;
Рис.3.7. ЛАЧХ дифференцирующего звена
)=20lg(k 
.
,
.
,
.
; ВЧХ: 
; МЧХ: 
;
;
.
Рис.3.9. ЛАЧХ интегрирующего звена
, который представляет собой модальную характеристику интегрирующего звена.
.
,
, 
— коэффициент передачи звена.
.
Рис.3.10. Переходная характеристика
)·1(t).
Рис.3.11. Импульсная функция
(t)= 
·1(t).
.
Рис.3.12. ВЧХ звена
.
Рис.3.13. МЧХ звена
.
Рис.3.14. АЧХ апериодического звена
Рис.3.15. ФЧХ апериодического звена
Рис.3.16 АФХ апериодического звена.
.
1/T называется собственной частотой апериодического звена.
Рис.3.17. ЛАЧХ апериодического звена
,
1(t- 
(t- 
(t) + 
(t).
Рис.3.18. Переходная характеристика форсирующего звена
;
;
; 
;
Рис.3.19. ЛАЧХ форсирующего звена
Рис.3.20 АФХ форсирующего звена
— собственная частота звена. АФХ форсирующего звена строится по выражению (3.36) и имеет вид, представленный на рис. 3.20.
,
0, принято записывать в стандартном виде:
,
y + 2d 
py + y = ku,
.