отношение объема шара к объему куба
Отношение объема шара к объему куба
Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.
Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой Объём шара вычисляется по формуле
откуда имеем:
Тем самым, объём куба равен 36.
Шар, объём которого равен вписан в куб. Найдите объём куба.
Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой Объём шара вычисляется по формуле
откуда имеем:
Тем самым, объём куба равен 210.
Шар, объём которого равен 28π, вписан в куб. Найдите объём куба.
Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой Объём шара вычисляется по формуле
откуда имеем:
Тем самым, объём куба равен 168.
Шар, объём которого равен 44π, вписан в куб. Найдите объём куба.
Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой Объём шара вычисляется по формуле
откуда имеем:
Тем самым, объём куба равен 264.
Известно, что AB, AC, AD, DE, DF — рёбра куба. Через вершины E, F и середины рёбер AB и AC проведена плоскость P, делящая шар, вписанный в куб, на две части.
а) Постройте плоскость P.
б) Найдите отношение объёма меньшей части шара к объёму всего шара.
а) Проведем TK, KF и ET и получим искомое сечение — равнобедренную трапецию FKTE.
б) Введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть точка O — середина высоты куба и центр вписанного шара, точки O1 и O2 — центры нижней и верхней граней куба соответсвенно, а также точки касания шара с гранями. Пусть R — радиус шара. Очевидно, что сечением шара плоскостью P является круг, центр которого лежит на NO2, где N — середина TK. Более того, центром данного круга является точка H — основание перпендикуляра из O на NO2, а радиусом — HO2. Наша задача сводится к нахождению объема шарового сегмента. Основание шарового сегмента есть круг с центром H и радиусом HO2, высотой сегмента является отрезок, равный Найдем значения этих элементов.
Отсюда получаем, что
Тогда по формуле объема шарового сегмента находим
Следовательно, отношение объемов равно
Ответ:
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87.
Отношение объема шара к объему куба
Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Площади шаров относятся как квадраты их радиусов, следовательно, площадь второго шара в больше площади первого.
Однородный шар диаметром 6 см весит 432 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?
Масса тела равна произведению его плотности на объем: Объем шара вычисляется по формуле
Поскольку шары сделаны из одного материала, их плотности равны, а значит, массы относятся как объемы. Все шары подобны друг другу, объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому масса m малого шара относится к массе M большого так же, как куб отношения радиуса r малого шара к радиусу R большого:
Найдем массу малого шара:
грамма.
Приведем другое решение.
Плотность тела равна отношению его массы к объему: Шары изготовлены из одного материала, поэтому их плотности равны. Пусть неизвестная масса равна m, найдем ее из условия равенства плотностей шаров:
Тем самым масса малого шара равна 128 граммам.
Аналоги к заданию № 506336: 518664 506436 506868 518608 Все
Однородный шар диаметром 4 см весит 256 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Масса тела равна произведению его плотности на объем: Объем шара вычисляется по формуле
Поскольку шары сделаны из одного материала, их плотности равны, а значит, массы относятся как объемы. Все шары подобны друг другу, объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому масса m малого шара относится к массе M большого так же, как куб отношения радиуса r малого шара к радиусу R большого:
Найдем массу малого шара:
граммов.
Приведем другое решение.
Плотность тела равна отношению его массы к объему: Шары изготовлены из одного материала, поэтому их плотности равны. Пусть неизвестная масса равна m, найдем ее из условия равенства плотностей шаров:
Тем самым масса малого шара равна 500 граммам.
Отношение объема шара к объему куба
Объем второго шара в 1331 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности второго шара больше площади поверхности первого?
Объемы шаров соотносятся как кубы их радиусов:
откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:
Объем первого шара в 2197 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Объемы шаров соотносятся как
Откуда Площади их поверхностей соотносятся как
Даны два шара. Диаметр второго шара в 8 раз больше диаметра первого. Во сколько раз площадь поверхности второго шара больше площади поверхности первого?
Площади поверхностей шаров относятся как квадраты их радиусов, поэтому:
Объем второго шара в 216 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Найдем отношение объемов шаров:
откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:
Объем второго шара в 1000 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Найдем отношение объемов шаров:
откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:
Отношение объема шара к объему куба
Объем шара равен 288 Найдите площадь его поверхности, деленную на
Объем шара радиуса вычисляется по формуле
откуда
Площадь его поверхности:
Объем шара равен 18 432 Найдите площадь его поверхности, деленную на
Объем шара радиуса вычисляется по формуле
откуда
Площадь его поверхности:
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.
Запишем формулу для объёма шара:
Объём конуса в 4 раза меньше:
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса.
Запишем формулу для объёма шара:
Объём конуса в 4 раза меньше:
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 156. Найдите объём конуса.
Запишем формулу для объёма шара:
Объём конуса в 4 раза меньше:
Здравствуйте, почему в формуле объёма конуса вместо высоты написали радиус ведь кончик конуса не достаёт внутреннюю поверхность шара?
Конус вписан в шар, поэтому его вершина принадлежит поверхности этого шара.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 112. Найдите объём конуса.
Запишем формулу для объёма шара:
Объём конуса в 4 раза меньше:
В правильный тетраэдр ABCD вписан шар. Из точки D на грань ABC тетраэдра опущена высота DE. Точка P является серединой отрезка DE. Через точку P проведена плоскость, перпендикулярно к DE. Из всех точек, которые принадлежат одновременно шару и проведенной плоскости, взята точка O, являющаяся ближайшей к точке A. Найти расстояние от точки O до грани ABD, если объем шара равен 1.
Пусть площадь основания тетраэдра равна S, а высота h. Тогда радиус описанной сферы равен поэтому середина высоты DE (точка P) лежит на поверхности шара и противоположна E. Плоскость, перпендикулярная DE, параллельна плоскости основания пирамиды, поэтому является касательной плоскостью к шару. Следовательно, O совпадает с P.
Опустим перпендикуляры из O и центра шара на грань ABD. Образуются два подобных прямоугольных треугольника, причем коэффициент подобия равен поэтому
Осталось найти r. Поскольку то
поэтому ответ
Ответ:
Отношение объема шара к объему куба
Объем второго шара в 1331 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности второго шара больше площади поверхности первого?
Объемы шаров соотносятся как кубы их радиусов:
откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:
Объем первого шара в 2197 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Объемы шаров соотносятся как
Откуда Площади их поверхностей соотносятся как
Даны два шара. Диаметр второго шара в 8 раз больше диаметра первого. Во сколько раз площадь поверхности второго шара больше площади поверхности первого?
Площади поверхностей шаров относятся как квадраты их радиусов, поэтому:
Объем второго шара в 216 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Найдем отношение объемов шаров:
откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:
Объем второго шара в 1000 раз больше объема первого. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Найдем отношение объемов шаров:
откуда Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов: