отношение объемов пирамид с общей вершиной

Решение задачи 14. Вариант 216

На боковых ребрах EA EB EC правильной четырехугольной пирамиды
ABCDE расположены точки M N K соответственно, причем EM:EA=1:2, EN:EB=2:3, EK:EC=1:3
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M N K
б) В каком отношении плоскость MNK делит объем пирамиды?

Искомое сечение MNKP — четырехугольник.

Будем применять подобие многогранников, а именно треугольных пирамид.

Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. (у нас такое имеется)

То есть вся задача сводится к нахождению EP:PD

Сделаем выносной чертеж на треугольник AEC, чтобы найти отношение ES:SO, и позже найти отношение EP:PD

Проведем прямую MM1 параллельную AC, для того, чтобы использовать теорему Менелая.

Выразим отношение ES:SO1, MO1:MM1=1:2 (так как MM1 — средняя линия)

Рассмотрим треугольник EBD

Проведем NN1 параллельную BD и применим теорему Менелая

NO2:NN1=1:2 (та как O2-середина отрезка NN1)

Мы уже узнали, что EO=10 частей. Пусть EO=10y

​ \( O_<2>O=\frac<10><3>y \) ​ (так как EN:EB=2:3, т.е O2O- треть от EO)

Все отношения мы знаем, подставляем и находим ​ \( \fracP>=\frac<4> <3>\) ​

EN1=2x — по условию, значит ​ \( EN_<1>=EP+PN_<1>=3z+4z=7z \) ​

Значит ​ \( z=\frac<2x> <7>\) ​ отсюда ​ \( EP=\frac<6x> <7>\) ​

Теперь все отношения мы знаем, находим отношения объемов пирамид

​ \( V_=V_ \) ​ (эти пирамиды равны одинаковые)

Источник

Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.

Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем — вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали. Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.

Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в раз меньше, чем у куба.

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители.

Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.

Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
.

Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Если решать «в лоб», считая, что — основание, то у нас получится задача по стереометрии из второй части ЕГЭ. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в раз меньше, чем у шестиугольной.

Если в условии задачи по стереометрии дан рисунок — значит, повезло. Рисунок — это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» — не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты 🙂

Здесь главное — понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр — правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.

Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

А теперь — самые сложные задачи по стереометрии из первой части варианта ЕГЭ. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

Поздравляем! Задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ по математике освоены — от простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт.

Подсказка к задаче :

Источник

Сравнение объемов многогранников

Разделы: Математика

«В задачах по элементарной геометрии приходиться пользоваться очень остроумными,
подчас тонкими приемами, и тот, кто в своей молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет».
Э. Борель

Цель урока: продолжить изучение свойств многогранников, которые можно использовать для решения задач на сравнение их объемов; показать их применение в задачах; развивать умение учащихся применять полученные знания в конкретных ситуациях.

Оборудование: модели многогранников, мультимедийная установка, компьютерный класс, карточки для решения задач.

Ход урока

После решения данных задач проводим проверку ответов, обсуждаем особенности задач.

Вопросы по задачам:

— В чем заключается прием, используемый при решении задачи № 1?

— Какое свойство пирамиды, одна из боковых граней которой перпендикулярна плоскости основания, используется в решении задачи № 2?

— Какая формула связывает площадь основания и площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при ребрах основания равны?

3. Повторение материала, изученного на прошлом уроке.

Среди стереометрических задач часто рассматриваются не только задачи на вычисление объемов, но и на сравнение объемов многогранников, на нахождение отношения объемов частей, на которые многогранник разбивается секущей плоскостью.

В планиметрии мы изучали свойства площадей треугольников, четырехугольников, например:

— отношение площадей треугольников с общим основанием равно отношению их высот;

— медиана делит треугольник на два равновеликих;

— отношение площадей треугольников, имеющих равный угол, равно отношению произведений сторон, заключающих равный угол;

— если в трапеции провести диагонали, то треугольники, прилежащие к боковым сторонам будут равновелики; а треугольники, прилежащие к основаниям, подобны.

На прошлом уроке мы рассмотрели ряд свойств многогранников, связанных с их объемами:

— объемы пирамид с равными высотами пропорциональны площадям их оснований;

— объемы пирамид с общим основанием пропорциональны проведенным к нему высотам;

— объемы тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы, относятся как произведения длин ребер, образующих эти углы;

— отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия;

— плоскость, проходящая через ребро тетраэдра и середину противоположного ребра тетраэдра, делит его на две равновеликие части.

Доказательство данных свойств можно изучить в Приложении 1 (фрагмент реферата ученицы 11 класса по теме «Сравнение объемов многогранников», раздел «Некоторые интересные свойства объемов многогранников»).

А) Какие из перечисленных свойств вы использовали при выполнении домашнего задания (2.289; 2.328, [2])? Чертежи заготовлены заранее, решение задач обсуждаем.

Б) Работая в парах на компьютерах, примените изученные свойства для решения задач № 4, 5, 6, 7, 8, дополнительно задача № 9 (Диск » Стереометрия» 1С, [7], тема «Сравнение объемов многогранников»).

После окончания работы на компьютере фронтально проверяем решения задач, вынося чертежи и условие данных задач на доску через мультимедийную установку.

В) Используя каркасные модели, устно решаем задачу: Как провести сечение тетраэдра и параллелепипеда, чтобы объем отсеченного многогранника был равен половине, четверти, девятой, восьмой части исходного объема?

Г) На листах, где решали задачи на готовых чертежах, постройте сечения так, чтобы объем отсеченного многогранника был равен половине, трети и двадцать седьмой части объема тетраэдра.

4. Изучение нового материала. При определении объемов самых разных по форме многогранников можно эффективно использовать свойства ортогонального проектирования.

Выведем формулу для вычисления объема тела, полученного при пересечении призматической поверхности двумя плоскостями. Для этого рассмотрим теорему и следствие из нее:

Покажем применение данной формулы при решении задачи:

Площадь основания АВС прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 10. Точки К, Р, М лежат на ребрах АА₁, ВВ₁,СС₁, причем АК=6. Определите объем треугольной пирамиды MAKP.

Ортогональной проекцией сечений КРМ и АРМ на плоскость АВС является треугольник АВС, площадь которого равна 10. AK= a = 6, в = с = 0, тогда объем пирамиды МАКР равен

V= * 10 = 20.

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание: 2.325; 2.330, [2]; выучить свойства многогранников, которые используются для сравнения их объемов.

Источник

Избранные разделы математики для старшей школы программа элективного курса и методические указания

Найдите объём тетраэдра, радиусы вписанной и описанной сфер, если противоположные рёбра тетраэдра попарно равны 5, 6, 7.

3. Объёмы тетраэдров, имеющих равный трёхгранный угол

И сходя из рисунка, подобия треугольников и теоремы о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол, определим отношение объёмов тетраэдров, имеющих равный трёхгранный угол Таким образом, отношение объёмов равно отношению произведений трёх рёбер, исходящих из вершины общего трёхгранного угла каждого тетраэдра.

Пример: В треугольной пирамиде ABСD на ребре AD взята точка М, а на ребре AB взята точка К так, что AМ : МD = 7 : 3, АК : КВ = 1 : 4. Сколько процентов от объёма пирамиды ABСD составляет объём пирамиды AMKС?

8. Методы решения заданий С2

Б ольшинство задач С2 в настоящее время затрагивают тему двугранного угла или угла между прямыми, прямыми и плоскостями. Рассмотрим характерные задачи на тему углов в многогранниках.

Задача 3. В половине октаэдра РАВСD точка Е – середина ребра РD, а точка М – середина ребра РС. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и DМ.

Задача 4. В правильном тетраэдре РАВС точка Е – середина ребра РВ, а точка М – середина ребра РС. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВМ.

Задача 5. В правильном тетраэдре DАВС точка Р, N, R – середины рёбер АD, АС, ВD соответственно, О – центр грани АВС. Найдите косинус угла между прямыми ОР и NR.

Самостоятельная работа №1

1. В треугольнике АВС биссектриса уг- ла А делит высоту, проведённую из

вершины В, в отношении 5 : 4, считая

от точки В. Найдите радиус окружно- сти, описанной около треугольника АВС, если ВС = 12см.

2. Найдите площадь трапеции, диагона- ли которой равны 8 см и 15 см, а средняя линия равна 8,5 см.

3. Три окружности, радиусы которых равны 2см, 3см и 10см, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

1. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13см,

ВС = 24см. Найдите, в каком отношении, считая от вершины В, биссектриса угла А делит высоту, проведённую из этой вершины.

2. Найдите площадь трапеции, диагона- ли которой равны 20 см и 21 см, а средняя линия равна 14,5 см.

3. Три окружности, радиусы которых равны 4см, 8см и 12см, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Самостоятельная работа №2

2. Найти косинус угла, образованного плоскостью с координатной плоскостью XOY.

3. АВСD – тетраэдр. А(1;-4;-1), В(0;-2;1), С(2;0;0), D(5;2;4). Найти длину проекции ребра СD на плоскость АВС.

2. Найти угол между плоскостями и

3. АВСD – тетраэдр. А(-2;0;0), В(1;2;2),

С(-2;4;2), D(2;2;4). Найти величину угла между ребром АD и высотой, опущенной из вершины D на плоскость АВС.

Методическое обеспечение раздела 3

Функции в задачах с параметрами

в курсе старшей школы и на вступительных экзаменах

За основу раздела №3 принимается сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы [2]. Ниже приведены самостоятельные работы на параметры по всем разделам алгебры старшей школы. Выполнение этих работ является необходимой подготовкой к выполнению заданий С5 в ЕГЭ.

Самостоятельная работа №1

2. Для каждого значения параметра а

найдите число решений уравнения

и имеют хотя бы один общий корень.

5. Определите, при каких значениях параметра а неравенство верно для всех

2. Для каждого значения параметра а

найдите число решений уравнения

и имеют хотя бы один общий корень.

5. Определите, при каких значениях параметра а неравенство верно для всех

Самостоятельная работа №2

имеет хотя бы одно решение.

2. При каждом значении параметра а

имеет хотя бы одно решение.

2. При каждом значении параметра а

Самостоятельная работа №3

Самостоятельная работа №4

2. Для всех значений параметра а решите уравнение:

2. Для всех значений параметра а решите уравнение:

Самостоятельная работа №5

4. При каком значении а уравнение

имеет единственное решение.

4. При каком значении а уравнение

имеет единственное решение.

Самостоятельная работа №6

имеет хотя бы одно решение.

3. Для всех значений параметра а решить неравенство:

имеет хотя бы одно решение.

Методическое обеспечение раздела 4

Подготовка к единому государственному экзамену

Источник

Отношение объемов пирамид с общей вершиной

S бок – площадь боковой поверхности (сумма площадей боковых граней);

S осн – площадь основания пирамиды;

h – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды также имеем

S бок = P осн Ч 1 (10)

где P осн – периметр основания пирамиды;

1 – длина апофемы (высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды).

S бок – площадь боковой поверхности (сумма площадей боковых граней – трапеций);

V – объем усеченной пирамиды.

h – высота усеченной пирамиды;

Для правильной усеченной пирамиды также имеем

1 – апофема (высота боковой грани – трапеции).

Показать, что для любой пирамиды (усеченной пирамиды) справедлива формула Эйлера.

При решении задач, связанных с пирамидой, полезными являются приведенные далее утверждения 1 – 3.

Следующие три предложения а) – в) равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром описанной окружности около многоугольника в основании;

б) боковые ребра пирамиды равны;

в) боковые ребра образуют равные (острые) углы с плоскостью основания пирамиды.

Следующие три предложения а) – в) равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании;

в) двугранные углы при основании пирамиды равны.

Следующие три предложения а) – в) равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды;

в) плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания.

Доказать утверждения 1 – 3.

Для более ясного различия формулировок утверждений 2 и 3 приведем задачу, иллюстрирующую применение этих утверждений.

в случае а) и в случае б).

Упражнение 7.2.4. (КубГУ, матем., 1982 г.)

Для тренировки рекомендуем самостоятельно выполнить следующие упражнения 7.2.5 и 7.2.6.

Заметим, что таких задач можно сформулировать более сорока.

Определенный интерес представляют задачи на правильную пирамиду, в которых по одному известному элементу можно найти другой элемент.

Пример 7.2.7. (КубГУ, матем., 1973 г.)

Теперь рассмотрим некоторые задачи, когда пирамида (усеченная пирамида) не является правильной.

Пример 7.2.9. (КубГУ, эконом., 1992 г.)

Откуда из D AOS окончательно находим

Упражнение 7.2.10. (КубГУ, эконом., 1989 г.)

Площади верхнего и нижнего оснований усеченной пирамиды соответственно равны 1 и 4 (кв. ед). Параллельно основанию проведена плоскость, делящая пирамиду на две равновеликие части. Определить площадь сечения и отношение, в котором секущая плоскость делит высоту пирамиды. Решение

Сначала отметим, что отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Для применения этого факта достроим данную усеченную пирамиду до пирамиды (см. рисунок).

где и – площади оснований данной пирамиды.

Пример 7.2.15. (КубГУ, матем., 1993 г.)

Не ограничивая общности рассуждений, по условию задачи можем считать, что BK = BL = 1 и DN = DM = 2 (при BK = BL = 2 и DN = DM = 1 получаем симметричную фигуру относительно плоскости симметрии тетраэдра, проходящей через ребро АС).

Откуда следует, что

Упражнение 7.2.16. (КубГУ, эконом., 1993 г.)

Вычислить площадь ортогональной проекции правильного тетраэдра с ребром a на плоскость, параллельную его двум скрещивающимся ребрам.

В заключение приведем некоторые задачи, в которых рассматриваются конфигурации из многогранников.

Пример 7.2.17. (КубГУ, матем., 1979 г.)

Упражнение 7.2.18. (КубГУ, эконом., 1990 г.)

У правильной четырехугольной пирамиды боковые ребра равны 5 см, а высота – 3 см. В эту пирамиду вписываются всевозможные пирамиды с вершинами в центре ее основания и с основаниями, являющимися ее плоскими сечениями, перпендикулярными к высоте. Найти высоту той из вписанных пирамид, объем которой наибольший.

Источник