передаточная функция звена w p это отношение
1. Передаточные функции последовательного и параллельного соединения звеньев.
Переходная функция
Под динамическим звеном понимают устройство любого вида и конструктивного оформления, описываемое определенным дифференциальным уравнением или передаточной функцией.
В качестве входного воздействия часто используется единичная ступенчатая функция g ( t )=1( t ), при t t )=0.
Передаточная функция последовательного соединения
При последовательном соединении выходная величина каждого звена, кроме последнего, является входной величиной для следующего звена.
Параллельное соединение
При параллельном соединении все звенья имеют одну входную величину, выходные величины суммируются.
2. Передаточная функция замкнутой системы.
Виды обратной связи
Обратная связь может быть:
— положительной, если сигнал Х, снимаемый с выхода звена с обратной связью, суммируется с сигналом g ( t ) на входе.
— отрицательной, если Х вычитается.
Передаточная функция замкнутой САУ
Выведем формулу передаточной функции для замкнутой системы:
В качестве входной величины, помимо g ( t ), используется невязка. Невязка – разность между значением функции, вычисленным по результатам измерений, и истинным ее значением, возникающая вследствие неизбежных погрешностей измерений. Ниже представлена схема системы, замкнутой по невязке.
Для системы, замкнутой по E и g передаточная функция выглядит следующим образом:
3. Устойчивость линейных систем (вывод).
Определения
Устойчивость линейных систем
Общее решение линейного неоднородного уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного решения и некоторого частного решения данного неоднородного уравнения.
Находим характеристический паленом, его корни и в зависимости от того, к какому виду они относятся определяем условия, при которых САУ будет устойчивой. Корни могут быть:
1) действительными кратными;
2) действительными и различными;
4) комплексными кратными.
Система будет находиться на границе устойчивости при наличии либо нулевого характеристического корня, либо пары число мнимых корней. (a=0)
Формулировки
Критерий устойчивости Михайлова относится к графическим критериям, он мало зависит от размерности системы и может быль реализован программно-аппаратными средствами. Кривая Михайлова строится как годограф X(Y).
Вывод формул
Характер системы определяется характеристическим полиномом:
Рассмотрим зависимость между критерием Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения при изменении w= [0,∞).
1. Предположим, что p1= – вещественное отрицательное число. p1=-a1, a1>0
(jw-p1)=(jw+a1). Вектор OB при займет положение π/2.
2. Предположим, что p1 – вещественное положительное число. p1=a1, a1>0.
5. Частотная передаточная функция и частотные характеристики (определения, формы записи, графики).
Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Частотная передаточная функция (ЧПФ), описывающая данную зависимость является важнейшей характеристикой динамических звеньев.
Рассмотрим динамическое звено, которое задано уравнением:
Используя формулы Эйлера:
Найдем остальные компоненты для уравнения (*)
И подставим их в уравнение
Формы представления ЧПФ
Виды ЧПФ
1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)
строится в комплексной плоскости, представляет собой геометрическое место точек концов векторов (годограф), соответствующее ЧПФ в комплексной форме. Т.к. w может быть (+) и (–), то строится только положительная ветвь, а отрицательная – зеркально отображается.
Построение АФФЧХ по вещественным и мнимым частям – трудоемкая работа, проще строить ее, используя полярные координаты при непосредственном вычислении модуля и фазы.
2. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
Показывает, как звено пропускает сигнал различной частоты.
3. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ)
Показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.
Передаточная функция звена w p это отношение
6.1. Понятие частотных характеристик
Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал
то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания
Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики
pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.
Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:
По аналогии с передаточной функцией можно записать:
.
W(j
) есть комплексная функция, поэтому:
; 
В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L() и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) 
(). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:
ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина () откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы:
ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.
6.2. Частотные характеристики типовых звеньев
Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики. Для этого необходимо подставить в нее j вместо p, получим АФЧХ W(j). Затем надо выразить из нее ВЧХ P() и МЧХ (Q(). После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A() и ФЧХ (), а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA() (ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).
6.2.1. Безынерционное звено
Некоторые ЧХ показаны на рис.50. Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.
6.2.2. Интегрирующее звено
Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть
6.2.3. Апериодическое звено
При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ:
;
;
;
;
6.2.4. Инерционные звенья второго порядка
При k = 1 передаточная функция звена:
В виду сложности вывода выражений для частотных характеристик рассмотрим их без доказательства, они показаны на рис.53.
Реальная ЛАЧХ при значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем меньше коэффициент демпфирования 
. Точную кривую можно построить, воспользовавшись кривыми отклонений, которые приводятся в справочниках. В предельном случае = 0 получаем консервативное звено, у которого при амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности (рис.54).
6.2.5. Правила построения ЧХ элементарных звеньев
При построении ЧХ некоторых звеньев можно использовать “ правило зеркала ”: при k = 1 ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев с обратными передаточными функциями зеркальны относительно горизонтальной оси. Так на рис.55 изображены ЧХ идеального дифференцирующего и идеального форсирующего звеньев.
Для примера на рис.56 приведены частотные характеристики апериодического звена при k = 10 и T = 1c. При этом ЛАЧХ апериодического звена с k = 1 поднята вверх на 20lg10 = 20.
2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13
Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.
Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.
В предыдущих сериях:
В это части будут рассмотрены:
2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.
2.12. Mетод переменных состояния.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния.
Попробуем применить, полученные знания на практике, создавая и сравнивая расчетные модели в разных видах. Будет интересно познавательно и жестко.
2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)
Рассмотрим динамическое звено САР изображенное на рисунке 2.9.1
Предположим, что уравнение динамики имеет вид:
где: 
— постоянные времени;
— коэффициент усиления.
Пусть известны отображения:
Найдем изображения для производных: 
Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:
B(s) — слагаемое, которое определяется начальными условиями, при нулевых начальных условиях B(s)=0.
W(s) — передаточная функция.
Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного сигнала к входному воздействию при нулевых н.у.
После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.
Пример
Построить выходной сигнал звена САР при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях, если уравнение динамики звена имеет следующий вид:
входное воздействие: 
— единичное ступенчатое воздействие.
Выполним преобразование Лапласа:
Подставим в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:
Для получения выходного сигнала из уравнения в изображениях выполним обратное преобразования Лапласа:
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
Определение: Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.
Определение: Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.
На этом месте можно вспомнить, что преобразование Лапласа это интеграл от 0 до бесконечности по времени (см. предыдущий текст), а импульсное воздействие при таком интегрировании превращается в 1 
тогда в изображениях получаем что:
Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.
Для единичного ступенчатого воздействия преобразование Лапласа тоже известно (см. предыдущий текст):
тогда в изображениях получаем, что реакция системы 
на ступенчатое воздействие, рассчитывается так:
Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие рассчитывается обратным преобразованием Лапласа:
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона
Предположим, что на вход системы поступает произвольное воздействие x(t), заранее известное. Найти реакцию системы y(t), если известны входное воздействие x(t) и весовая функция w(t).
Представим, что входное воздействие представляет собой последовательность прямоугольных импульсов до времени t и ступеньки высотой x(t) в момент времени t. см.рис. 2.11 Для каждого импульса мы можем записать реакцию системы через весовую функциию:
где:
— значение отклика по завершению предыущего импульса;
— время завершения текущего импульса;
— значение весовой функции в начале текущего импульса.
Тогда для определения занчения отклика в произвольный момент времени необходимо сложить все импульсы и ступенчатое воздействие в момент времени t:
Переходя к пределам
если перейти от t к бесконечности мы получим формулу интеграла Дюамеля-Карсона, или по другому «интеграла свертки» который обеспечивает вычисление оригинала функции по произвдению изображения двух функций:
где 
— вспомогательное время
Для вывода аналогичной зависмости от переходной функции вспомним что изображение весовой и переходной функции связаны соотношением: 
запишем выражение изображения для отклика в операторной форме:
Используя интеграл свертки получаем, что при известной переходной функции (h(t)) и известному входному воздействию х(t) выходное воздействие рассчитывается как:
2.12. Mетод переменных состояния.
До этого мы рассматривали системы с одной передаточной функцией, но жизнь всегда сложнее и как правило в системах есть несколько передаточных функций несколько входных воздейстий и несколько реакций системы. (см. рис. 2.12.1)
В этом случае наиболее удобной формой пердставления систем для их анализа и расчета оказался метод переменных состояния. Для этого метода, вместо передаточных функций связывающих вход с выходом используются дополнительные переменные состояния, которые описывают систему. В этом случае можно говорить, что состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. см. рис. 2.12.2
В методе состояний, производные всех переменных состояния, в общем случае зависит от всех переменных и всех входных воздействия, и могут быть записаны в представленной ниже системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первой степени. Эта система уравнений называю системой ОДУ в форме Коши:
Выход из системы зависит от переменных состояния и, в общем случае от входных воздействий и описывается следующей системой уравнений:
где:
n — количество перемнных состояния,
m — количество входных воздействий,
p — количество выходных переменных;
Данная система уравнений может быть записана в матричной форме:
где:
— вектор входа (или вектор управления);
— вектор столбец производных переменных состояния;
— вектор столбец переменных состояния;
— вектор выхода;
— собственная матрица системы [n x n],
— постоянные коэффициенты;
— матрица входа [n x m],
— постоянные коэффициенты;
— матрица выхода а [p x n],
— постоянные коэффициенты;
— матрица обхода [p x m],
— постоянные коэффициенты;
В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми: D = 0.
Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать различные технические системы. Явная формула для расчета производных позволяет достаточно просто осуществлять численное интегрирование по времени. И это используется в различных программах моделирования
Другое использование данного представления для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.
Еще одним преимуществом данного описания, является то, что уравнения в форме Коши можно получить из законов физики
Пример решения задачи в форме коши.
Рассмотрим задачу моделирования гидравлического привода, при следующих условиях:
Уравенение движение плунжера:
Где: 
– площадь плунжера, 
– жесткость пружины, 
– коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.
Поскольку дифференциальное движения это уравнение второго порядка, превратим его в систему из двух уравнений первого порядка, добавив новую переменную — скорость 
, тогда 
Уравнение давления в камере, для упрощения принимаем что изменениям объема камеры из-за перемещения плунжера можно пренебречь:
Где: Q – расход в камеру, V — объем камеры.
Расход через дроссель:
Где: f– площадь дросселя, 
– давление в источнике, p – давление в камере.
Уравнение дросселя не линейное, по условию задачи, давление входное изменяется скачком, от 0 до 200 бар, проведем линеаризацию в окрестности точки давления 100 бар тогда:
Подставляем линеаризованную формул расхода в формулу давления:
Таким образом общая система уравнений в форме Коши, для рис 2.12.3 привода принимает вид:
Матрицы A, B, С, В для матричной формы системы уравнений принимают вид:
Проверим моделированием в SimInTech составленную модель. На рисунке 2.12.13 представлена расчетная схема содержащая три модели:
1 — «Честная» модель со всеми уравнениями без упрощений.
2 — Модель в блоке «Переменные состояние» (в матричной форме).
3 — Модель в динамическом блоке с линеаризованным дросселем.
Все условия задачи задаются как глобальные константы проекта, в главном скрипте проекта, там же расчитываются на этапе инициализации расчета, площади плунжера и проходного сечения дросселя см. рис. 2.12.5:
Рисунок 2.12.5 Глобальный скрипт проекта.
Модель на внутреннем языке программирования представлена на рис. 2.12.6. В данной модели используется описание модели в форме Коши. Так же выполняется учет изменения объема дросселя на каждом шаге расчета, за счет перемещения плунжера (Vk = V0+Ap*x.)
Рисунок 2.12.6 Скрипт расчета модели в форме Коши.
Модель в матричном форме задается с использованием глобальных констант в виде формул. (Матрица в SimInTech задается в виде последовательности из ее столбцов) см. рис. 2.12.7
Результаты расчета показывают, что модель в матричной форме и модель на скриптовом языке в форме Коши, практически полностью совпадают, это означает, что учет изменения объема полости практически не влияют на результаты. Кривые 2 и З совпадают.
Процедура линеаризация расхода через дроссель вызывает заметное отличие в результатах. 1-й график c «честной» моделью дросселя, отличается от графиков 2 и 3. (см. рис. 2.12.8)
Сравним полученные модели, с моделью созданной из библиотечных блоков SimInTech, в которых учитываются так же изменение свойств реальной рабочей жидкости — масла АМГ-10. Сама модель представлена на рис. 2.12.9, набор графиков на рисунке 2.12.10
На графиках видно, что уточненная модель отличается от предыдущих, однако погрешность модели составлят наших упрощенных моделей составляют примерно 10%, в лишь в некоторые моменты времени.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно
Рассмотрим несколько вариантов перехода от описания «вход-выход», к переменным состояния:
Вариант прехода зависит от правой части уравнения с переменными «вход-выход»:
2.13.1. Правая часть содержит только b0*u(t)
В этом варианте, в уравнениях в правой части отсутствуют члены с производными входной величины u(t). Пример с плунжером выше так же относится к этому варианту.
Что бы продемонстрировать технологию перехода рассмотрим следующее уровнение:
Для перехода к форме Коши ведем новые переменные:
И перепишем уравнение относительно y»'(t):
Используя эти переменные можно перейти от дифференциального уравнения 3-го прядка, к системе из 3-х уравнений первого порядка в форме Коши:
Соотвественно матрицы для матричного вида уравнений в переменных сосотяния:
2.13.2. Правая часть общего вида
Более сложный случай, когда в уравнениях есть производные от входных воздействий и уравнение в общем случае выглядит так:
Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:
Тогда можно представить уравнение в изображениях в виде:
Разделим уравнение в изображениях на произведение полиномов 
, получим:
Где: 
— некоторая комплексная величина (отношение двух комплексных величин). Можно считать, что отображение величины 
. Тогда входная величина может быть в изображениях представлена как:
Вренемся к оригиналу от изображений получим: 
,
где: 
— дифференциальный оператор.
А это дифференциальное уравнение n-го порядка мы можем преобразовать к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка, как это мы делали выше:
Таким образом, мы получили систему уравнение в форе Коши, относительно переменных состояния 
:
А регулируемую величину (выход системы) мы так же можем выразить через эти переменные, в изображениях:
Перейдем от изображения к оригиналам:
Если обозначить вектор 
, то мы получим уравнения переменных состояниях в матричной форме, где D = 0:
Пример:
Рисунок 2.13.1 Передаточная функция.
Имеется передаточная функция (рис. 2.13.1) в изображениях :
Необходимо преобразовать передаточную функцию к системе уравнений в форме Коши
В изображения реакция системы связана с входным воздействие соотношением:
Разделим в последнем правую и левую часть на произведения 
, и введем новую перменную 
:
Полиномы N(s) и L(s) равны:
Перейдем в последнем выражении от изображения к оригиналам и ведем новые переменные (состояния):
Переходим от уравнения третьего порядка к системе трех уравнений первого порядка:
Или в матричной форме:
Для получения второго матричного уравнения воспользуемся соотношением для новых переменных в отображениях:
Перейдем от изображений к оригиналу:
Таким образом второе уравнение матричной системы выглядит так:
Проверим в SimInTech сравнив передаточную функцию и блок переменных состояния, и убедимся, что графики совпадают см. рис. 2.13.2
Рисунок 2.13.2 Сравнение переходного процеса у блока передаточной функции и блока переменных состояния.