планируется взять кредит на некоторую сумму на 8 лет
Планируется взять кредит на некоторую сумму на 8 лет
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,35 млн руб.?
Пусть кредит взят на n лет. По условию долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
5, 
. 
0.
По условию каждый январь долг возрастает на 16%. Значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
5,8, 
. 
Следовательно, наибольшая выплата составляет 
Получаем 
а значит, 
Планируется взять кредит на некоторую сумму на 8 лет
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?
Приведём авторское решение.
Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
По условию, каждый январь долг возрастает на 20%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
Всего следует выплатить
(млн рублей).
Общая сумма выплат равна 7,5 млн рублей, поэтому 
Планируется взять кредит на некоторую сумму на 8 лет
В июле клиент планирует взять кредит в банке на сумму 
млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 
% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планирует клиент взять кредит, если наибольший годовой платёж составит 
млн рублей?
Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
По условию, каждый январь долг возрастает на 20%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
Получаем 
откуда 
Планируется взять кредит на некоторую сумму на 8 лет
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?
Приведём авторское решение.
Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
По условию, каждый январь долг возрастает на 20%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
Всего следует выплатить
(млн рублей).
Общая сумма выплат равна 7,5 млн рублей, поэтому
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?
По формуле для переплаты П при выплате суммы кредита S = 20 млн рублей дифференцированными платежами имеем:
где n — искомое число месяцев, а r = 30 — величина платежной ставки в процентах (см. Гущин Д. Д. «Встречи с финансовой математикой»; для получения полного балла доказательство этих формул необходимо приводить на экзамене). По условию, переплата П равна 
млн рублей
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
Пусть кредит взят на n лет. Обозначим сумму кредита S = 16 млн руб, а процентную ставку — 
В соответствии с условием задачи заполним таблицу:
| Год | Долг в июле до начисления процентов | Долг в январе после начисления процентов | Выплата | S |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |  |
Суммируем все выплаты:
Подставив численные значения, найдём n:
Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.
Конечно же, я сочувствую абитуриентам, для которых ЕГЭ – все-таки большой стресс. Экзамен – это испытание не только знаний, но и хладнокровия, и способности действовать в сложной ситуации. И может быть, сказать себе: «Да, задача необычная, но я знаю общий подход к решению таких задач – справлюсь и на этот раз».
Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Они своеобразны. Их невозможно решить без подготовки, без знания того, как вообще устроены задачи ЕГЭ на кредиты.
Запомним: есть всего два характерных типа «банковских» задач, или задач на кредиты.
О двух схемах решения задач на кредиты – мой краткий теоретический материал.
Более подробно я рассказываю теорию и решаю такие задачи на своих мастер-классах и интенсивах. Чтобы узнать о них, подпишись на нашу рассылку.
Посмотрим с этой точки зрения на «банковские» задачи ЕГЭ-2018.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит,
Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей).
Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:
После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).
Значит, первая выплата равна kS – (S – X) (смотри схему).
Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).
…
Последняя выплата: k ( S – 20 X).
Найдем общую сумму выплат Z.
Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X).
Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k.
Упростим выражения в скобках:
k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z.
В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии:
В этой задаче мы тоже ее используем.
k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.
Осталось подставить числовые значения.
S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.
Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.
Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.
S = 1000000 рублей = 1000 (тыс. рублей) – сумма кредита,
Х = 40 (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга,
Z = 1378 (тыс. рублей) – общая сумма выплат,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.
Рисуем уже знакомую схему погашения кредита.
Первая выплата: kS – (S – X).
Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).
Последняя выплата: k ( S – n X).
По условию, 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.
Значит, S – nX = 200. Подставим числовые данные:
1000 – 40 n = 200; тогда n = 20, n + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно – количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому очень кратко повторим основные моменты решения
Общая сумма выплат Z:
Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X) =
= k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) =
= k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1).
Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:
По условию, Z = 1378 (тыс. рублей).
Выразим k из формулы S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z:
Подставим данные из условия задачи.
Третья задача из числа «кошмаров» ЕГЭ-2018 по математике. Та же схема!
3.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Тоже задача второго типа – есть информация об уменьшении суммы долга. Точно также будем вести расчеты в тысячах рублей.
Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.
S = 300 (тыс. рублей) – сумма кредита,
n = 21 – количество месяцев,
Х – ежемесячное уменьшение суммы долга,
Z – общая сумма выплат.
Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей.
Значит, S – 20 X = 100. Подставив данные из условия, найдем, что Х = 10.
Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2).
Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1).
Подставляем данные из условия: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (тыс. рублей).
Ответ: 384000 рублей.
Хочешь узнать решения всех сложных задач ЕГЭ? Подпишись на нашу рассылку.