планируется взять льготный кредит на целое число миллионов рублей на 4 года
Планируется взять льготный кредит на целое число миллионов рублей на 4 года
Задание 17. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн рублей.
Обозначим через S млн рублей размер первоначального кредита. В середине первого года долг возрастает на 25 %, то есть, увеличивается в 1,25 раз и становится равным 1,25S. Следовательно, заемщик в 1-й год гасит проценты по кредиту в размере 0,25S. И столько же во второй год. В сумме за 2 года он погашает сумму 0,25S+0,25S=0,5S.
В последние два года (3-й и 4-й) сумма долга сначала возрастает в 1,25 раза (становится равной 1,25S), а затем, погашается равными долями в x рублей, то есть, на конец 3-го года, сумма долга составляет
В 4-й год эта оставшаяся сумма увеличивается снова в 1,25 раз и становится равной 
, а, затем, гасится на x рублей до нуля:
.
Отсюда получаем, что
и общий размер выплат составляет:
По условию общая сумма выплат превышает 9 млн рублей, то есть,
При минимальном целом значении S=5 это неравенство выполняется, следовательно, размер кредита составил 5 млн. рублей.
Планируется взять льготный кредит на целое число миллионов рублей на 4 года
Фирма планирует взять в январе кредит на целое число миллионов рублей на четыре года на следующих условиях:
— в июле каждого года действия кредита долг фирмы возрастает на 10% по сравнению с началом года;
— в конце 1‐го и 3‐го годов фирма выплачивает только проценты по кредиту, начисленные за соответствующий текущий год;
— в конце 2‐го и 4‐го годов фирма выплачивает одинаковые суммы, погашая к концу 4‐го года долг полностью.
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат фирмой превысит 100 млн рублей.
Пусть в кредит взято S миллионов рублей, а равные выплаты составляют по A миллионов рублей. Тогда:
− после первого года долг стал 
выплачено 
долг снова стал S;
− после второго года долг стал выплачено A, долг стал 
− после третьего года долг стал 
выплачено 
долг снова стал
− после четвертого года долг стал выплачено A, долг стал 0.
Общий размер выплат тогда равен
По условию, 
откуда 
Значит, наименьшее S это 77 миллионов.
Планируется взять льготный кредит на целое число миллионов рублей на 4 года
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 | Июль 2020 |
| Долг (в млн рублей) | S | 0,8S | 0,5S | 0,1S | 0 |
Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:
По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 15%, значит, долг в январе каждого года равен:
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:
По условию, сумма выплат должна быть меньше 50 млн рублей.
Наибольшее целое решение этого неравенства — число 36. Значит, искомый размер кредита — 36 млн рублей.
Задание № 17. Финансовые задачи. Льготный кредит
В работе рассмотрено решение финансовых задач на определение наибольшего (наименьшего) размера льготного кредита.
Просмотр содержимого документа
«Задание № 17. Финансовые задачи. Льготный кредит»
Задание № 17. Финансовые задачи. Льготный кредит
Задача 1. (вариант 1 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 9 млн. руб.
Пусть а млн. руб. – сумма кредита
р = 20 % – процентная ставка
коэффициент наращивания
n = 5 лет – период кредитования
х руб. – сумма платежа в конце 4-го и 5-го годов
После пятого платежа долг равен нулю:
Все выплаты составляют:
По условию общая сумма выплат меньше 9 млн. рублей:
Наибольшее целое 
Ответ: 4 млн. рублей.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.
Пусть а млн. руб. – сумма кредита
р = 20 % – процентная ставка
коэффициент наращивания
n = 5 лет – период кредитования
х руб. – сумма платежа в конце 4-го и 5-го годов
После пятого платежа долг равен нулю:
Все выплаты составляют:
По условию общая сумма выплат превысит 10 млн. рублей:
Ответ: 6 млн. рублей.
Задания для самостоятельного решения:
1. (вариант 2 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 10 млн. руб.
Ответ: 5 млн. рублей.
2. (вариант 3 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 10 млн. руб.
Ответ: 5 млн. рублей.
3. (вариант 4 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн. руб.
Ответ: 3 млн. рублей.
4. (вариант 5 из сборника ЕГЭ 2020, Ященко И.В., 50 вариантов)
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 15% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн. руб.
Ответ: 4 млн. рублей.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн. руб.
Планируется взять льготный кредит на целое число миллионов рублей на 4 года
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 | Июль 2020 |
| Долг (в млн рублей) | S | 0,8S | 0,5S | 0,1S | 0 |
Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.
Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:
По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 15%, значит, долг в январе каждого года равен:
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:
По условию, сумма выплат должна быть меньше 50 млн рублей.
Наибольшее целое решение этого неравенства — число 36. Значит, искомый размер кредита — 36 млн рублей.