Сколько существует натуральных чисел таких что

Сколько существует натуральных чисел таких что

Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Дробную часть от целой отделяйте десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если ва­ри­ант задан учителем, вы можете вписать ответы на задания части С или загрузить их в систему в одном из графических форматов. Учитель уви­дит ре­зуль­та­ты вы­пол­не­ния заданий части В и смо­жет оце­нить за­гру­жен­ные от­ве­ты к части С. Вы­став­лен­ные учи­те­лем баллы отоб­ра­зят­ся в вашей статистике.

Сколько существует натуральных чисел n не превосходящих 2017, таких что квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с целочисленными коэффициентами?

В тридесятом государстве 29 февраля одного стародавнего года на ярмарке купец продавал сапоги-самоплясы за 2000 алтын. По правилам торговли, цена на товар корректируется каждое утро перед открытием. Цену можно увеличить на 10%, можно уменьшить на 1% или на 12% относительно цены предыдущего дня, а можно вообще не менять. При этом цена должна быть целым числом алтын, округлять ее нельзя. 1 апреля того же года боярин из торговой инспекции обнаружил, что у того же купца те же сапоги-самоплясы стоят 2017 алтын, и составил акт о нарушении правил торговли. Купец в ответ на это заявил, что никаких нарушений он не допускал. Кто из них прав?

Источник

Сколько существует натуральных чисел таких что

Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).

а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 10 нулями?

б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 17 нулями?

в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 75, для каждого из которых десятичная запись числа n! · (75 − n)! оканчивается ровно 17 нулями?

Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.

а) Пусть n = 45. Есть ровно 9 чисел кратных 5 от 1 до 45, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 10 двоек наберется (там есть 22 четных числа, дающих минимум по одной двойке).

нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому или 14 и или 2. Нас интересует вариант 15 + 2 (вариант 14 + 3 означал бы, что n не кратно 5, но кратно 25, что невозможно). Значит, n кратно 5, но не 25. Таких чисел 12.

Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 38, поэтому его факториал содержит не менее 19 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.

Источник

Сколько существует натуральных чисел таких что

Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).

а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями?

б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 23 нулями?

в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 100, для каждого из которых десятичная запись числа n! · (100 − n)! оканчивается ровно 23 нулями?

а значит, для каждого такого n десятичная запись числа n! · (100 − n)! оканчивается ровно

Число равно 20 при n, кратных 5, и равно 19 при n, не кратных 5.

Число равно 4 при n, кратных 25, и равно 3 при n, не кратных 25.

Значит, для числа получили:

− k = 24 при n, кратных 25,

− k = 23 при n, кратных 5, но не кратных 25,

− k = 22 при n, не кратных 5.

Следовательно, натуральное число n, меньше 100, будет искомым тогда и только тогда, когда оно кратно 5, но не кратно 25. Значит, существует ровно 16 искомых натуральных чисел.

Ответ: а) да; б) нет; в) 16.

Приведём другое решение.

Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.

а) Пусть n = 40. Есть ровно 8 чисел кратных 5 от 1 до 40, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 9 двоек наберется (там есть 20 четных чисел, дающих минимум по одной двойке).

в) Среди чисел от 1 до n ровно кратны 5 и ровно кратны 25, поэтому степень пятерки в n! равна

нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому или 20 и или 4. Нас интересует вариант 20 + 3 (вариант 19 + 4 означал бы, что n не кратно 5, но кратно 25, что невозможно). Значит, n кратно 5, но не 25. Таких чисел 16.

Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 50, поэтому его факториал содержит не менее 25 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.

Источник

Сколько существует натуральных чисел таких что

Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).

а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 10 нулями?

б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 17 нулями?

в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 75, для каждого из которых десятичная запись числа n! · (75 − n)! оканчивается ровно 17 нулями?

Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.

а) Пусть n = 45. Есть ровно 9 чисел кратных 5 от 1 до 45, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 10 двоек наберется (там есть 22 четных числа, дающих минимум по одной двойке).

нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому или 14 и или 2. Нас интересует вариант 15 + 2 (вариант 14 + 3 означал бы, что n не кратно 5, но кратно 25, что невозможно). Значит, n кратно 5, но не 25. Таких чисел 12.

Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 38, поэтому его факториал содержит не менее 19 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.

Источник

Сколько существует таких натуральных чисел n, что остаток от деления 2003 на n равен 23?

Сколько существует таких натуральных чисел n, что остаток от деления 2003 на n равен 23?

Можно отнять остаток и тогда число должно нацело делится на n.

То есть 1980 делится на n нацело причем n&gt ; 23 в противном случае остаток от деления не был бы 23.

Разложим на простые множител число 1980 = 2 * 2 * 5 * 3 * 3 * 11 = (2 ^ 2) * (3 ^ 2) * 5 * 11.

Количество множителей найдем по формуле :

Где k1, k2, это степени делителей в разложении числа на простые множители.

Находим (1 + 2)(1 + 2)(1 + 1)(1 + 1) = 3 * 3 * 2 * 2 = 36 делителей у числа 1980 но нужно отобрать те что больше 23.

Делители числа 1980 которые меньше 23 это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 15, 18, 20, 22 то есть 14 чисел.

СКОЛЬКО СУЩЕСТВУЕТ ЧЁТНЫХ ДВУХЗНАЧНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ?

СКОЛЬКО СУЩЕСТВУЕТ ЧЁТНЫХ ДВУХЗНАЧНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ?

А СКОЛЬКО ТАКИХ НЕ ЧЁТНЫХ ЧИСЕЛ?

Существует ли число, которое при делении на все натуральные числа дает остаток 1?

Существует ли число, которое при делении на все натуральные числа дает остаток 1?

Выясните, существуют ли натуральные числа, обладающие следующими свойствами?

Выясните, существуют ли натуральные числа, обладающие следующими свойствами.

Остаток от деления такого числа на 3 равен 1 ; на 4 равен 2 ; на 5 равен 3 ; на 5 равен 4.

Если такие числа существуют, укажите наименьшее из них.

Выясните, существуют ли натуральные числа, обладающие следующими свойствами?

Выясните, существуют ли натуральные числа, обладающие следующими свойствами.

Остаток от деления такого числа на 3 равен 1 ; на 4 равен 2 ; на 5 равен 3 ; на 5 равен 4.

Если такие числа существуют, укажите наименьшее из них.

Сколько существует чётных двузначных натуральных чисел?

Сколько существует чётных двузначных натуральных чисел?

А сколько таких же нечётных чисел?

Сколько существует чётных двухзначных натуральных чисел?

Сколько существует чётных двухзначных натуральных чисел?

А сколько таких же нечётных чисел?

Какой наименьший остаток может получится при делении натуральных чисел?

Какой наименьший остаток может получится при делении натуральных чисел.

Остаток от деления некоторого натурального числа на 6 равен 4, остаток от деления на 15 равен 7?

Остаток от деления некоторого натурального числа на 6 равен 4, остаток от деления на 15 равен 7.

Чему равен остаток от деления числа на 30?

Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3?

Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3?

Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3?

Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3?

Пока что только второй и третий.

13 миллионов, 487 тысяч, 9 сотен и пять единиц.

24 : 8 = 3раза Ответ : в 3раза меньше израсхрдовали муки, чем крапы.

Решение задания смотри на фотографии.

24 : 8 = 3 (раза). Ответ : в 3 раза меньше израсходовали муки чем крупы ; в 3 раза больше израсходовали крупы, чем муки. Отметь мой ответ «как лучший», и к тебе вернётся 2 балла : ).

Источник