отношение меры области благоприятствующей появлению события к мере всей области называется

Классическое и геометрическое определения вероятности

В практической деятельности часто приходится сталкиваться со случайными событиями, т.е. с событиями, которые могут произойти, но могут и не произойти по причинам, не поддающимся непосредственному учету в данных условиях. Изучение количественных закономерностей, которым подчиняются массовые однородные случайные события, и составляет предмет теории вероятностей.

При классическом определении вероятность события определяется равенством:

, (10.8)

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A; n – общее число произведенных испытаний.

Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания.

Этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области, т.е.

. (10.9)

Пример 1. Найти вероятность того, что получится слово «ананас», если на отдельных карточках написаны три буквы «А», две буквы «Н» и одна буква «С».

А – получится слово «АНАНАС».

Общее число случаев равно числу перестановок с повторениями из шести элементов, т.е. , из которых событию A благоприятствует одна комбинация m = 1. Искомая вероятность

.

Пример 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.

А–сумма выпавших очков равна 7.

При бросании одной игральной кости возможны 6 элементарных исходов (1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков), каждый из которых может сочетаться с 6-ю исходами на второй кости. Следовательно, общее число элементарных исходов равно n = 6·6 = 36.

Благоприятствующими являются следующие элементарные исходы: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1, т.е. их число равно m = 6.

Согласно классическому определению вероятности, получаем:

.

Пример 3. В бригаде работают 6 мужчин и 4 женщины. Среди членов бригады разыгрываются 7 билетов в театр. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 3 женщины.

А– среди обладателей 7 билетов окажутся 3 женщины.

Общее число возможных элементарных исходов равно числу сочетаний из 10 элементов по 7 элементов, т.е.

.

Подсчитаем число благоприятствующих исходов. 3 женщин из 4 можно отобрать способами, оставшихся 4 человек из 6-ти можно отобрать способами. Следовательно,

.

Искомая вероятность равна:

.

Пример 4.Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой: а) 3 карточки; б) все 6 карточек. Какова вероятность того, что получится слово: а) «ТОР»; б) «ТЕОРИЯ»?

Различные комбинации трех букв из имеющихся шести представляют размещения, т.к. могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их следования, то есть общее число случаев , из которых благоприятствуют событию A m = 1 случай.

.

б) В– получение слова «ТЕОРИЯ».

Различные комбинации шести букв из имеющихся шести представляют собой перестановки, т.к. отличаются только порядком следования букв; т.е. общее число случаев , из которых благоприятствуют событию B m = 1 случай. Поэтому

.

Пример 5. На отрезок единичной длины наудачу поставлена точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/3.

Пусть А –расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/3.

Построим отрезок OA единичной длины и разобьем его точками C и D таким образом, чтобы │OC│=1/3 и │DA│=1/3.

Требование задачи будет выполнено, если точка попадет на отрезок CD длины 1/3. Тогда, согласно геометрической вероятности, искомая вероятность вычисляется по формуле:

.

Дата добавления: 2018-11-26 ; просмотров: 1676 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Теория вероятностей, формулы и примеры

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличное онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся на пробное занятие!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Пространство элементарных событий. Определение вероятности

п.1. Опыт(испытание) и событие (исход)

Выпадение орла или решки

Попадание в 10 или в 9,… на мишени, или в молоко, или выстрел мимо мишени

Подбрасывание игрального кубика

Выпадение 6 или 5,… или 1

Выбор карты из колоды

Выбор пикового туза или любой другой из 54 карт

Ставка при игре в рулетку

Выигрыш на «7 красное» или любой другой из ставок

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в условиях данного опыта.
Событие называется возможным (случайным), если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта.
Например:
1) При бросании кубика выпадение 2 – это возможное событие, а выпадение 8 – невозможное. Достоверное событие «1 или 2 или 3 или 4 или 5 или 6».
2) При бросании монеты выпадение орла – это возможное событие, а зависание монеты в воздухе – невозможное. Достоверное событие «орёл или решка».

События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного опыта.
Например:
1) Нельзя одновременно A=«попасть в 10» и B=«промахнуться» при стрельбе. События A и B – несовместны.
2) Нельзя одновременно C=«достать белый шарик» и D=«достать черный шарик» из коробки. События C и D – несовместны.

События называют равновозможными, если по условиям опыта ни одно из событий не имеет преимуществ перед другими при появлении.

п.2. Пространство элементарных событий

Например:
Пусть при бросании кубика A= <1;3;5>– выпадение нечётного числа. Событие A будет происходить каждый раз при наблюдении элементарных событий 1 или 3 или 5.

п.3. Классическое определение вероятности

Данное определение сформулировано Лапласом в 1795 г. в курсе лекций «Опыт философии теории вероятностей».
Рассмотрим пространство элементарных событий, которое состоит из конечного числа элементарных исходов:

п.4. Геометрическое определение вероятности

Недостатком классического определения вероятности является требование конечности множества событий.
Но нам известны удачные модели бесконечных множеств, которые используются даже в элементарной математике: числовые прямые, системы координат на плоскости и в пространстве. Попробуем их использовать.
Например, рассмотрим опыт со стрельбой в мишень радиуса R=1. Пусть стрелок всегда попадает в мишень. Пространство элементарных событий ограничено кругом x 2 + y 2 ≤1. Круг содержит в себе бесконечное множество точек и все возможные исходы (свойство полноты). Случайное попадание в эту область равновероятно для любой точки (свойство равновозможности). Одновременно попасть в две разные точки области невозможно (свойство несовместности).
Пусть событие A, которое нас интересует, описывается другим ограничением: попаданием в круг \(\mathrm< \left(x-\frac12\right)^2+y^2\leq \frac14. >\)
Тогда:

\begin \mathrm< \Omega: x^2+y^2\leq 1,\ \ \left(x-\frac12\right)^2+y^2\leq \frac14. >\\ \mathrm< S_A=\frac<\pi r^2><2>=\frac<\pi><2>\cdot \frac14=\frac<\pi> <8>>\\ \mathrm< S_<\Omega>=\frac<\pi r^2><2>=\frac<\pi><2>\cdot 1=\frac<\pi> <2>>\\ \mathrm< P(A)=\frac<\pi><8>:\frac<\pi><2>= \frac14 > \end

Геометрическое определение вероятности можно использовать при моделировании бесконечных множеств любой размерности: от одномерных (прямая, на которой определена длина) до многомерных (N-мерные пространства, на которых определены свои меры) (см. также §38 данного справочника).

п.5. Статистическое определение вероятности

Многочисленные опыты с подбрасыванием монеты показывают, что число выпадений «орла» приближается к 1/2, может быть немного больше или меньше, но никогда не равно половине в точности.

К-во бросков монеты

Частота выпадения орла

В принципе, чем больше будет проведено опытов, тем ближе будет экспериментальная величина к теоретической. Поэтому, с точки зрения статистики:

Такое понимание вероятности очень продуктивно, т.к. позволяет вывести важные теоремы, которые широко используются в статистике и других областях прикладной математики.

В современной математике вероятность определяется аксиоматически, в рамках аксиоматики Колмогорова. Если ваша будущая профессия будет связана с математикой, вам обязательно об этом расскажут.

п.6. Примеры

Пример 1. Из хорошо тасованной колоды в 32 карты выбирается наугад одна карта. Какова вероятность того, что это:
1) туз;
2) карта бубновой масти;
3) либо король, либо дама, либо валет;
4)* какова вероятность, что в данной колоде сверху – пиковая дама?

1) Всего карт n = 32, тузов k = 4
Вероятность выбрать туз: \(\mathrm< P=\frac=\frac<4><32>=\frac<1><8>=0,125 >\)
2) Всего карт n = 32, бубновой масти k = 8
Вероятность выбрать карту бубновой масти: \(\mathrm< P=\frac=\frac<8><32>=\frac<1><4>=0,25 >\)
3) Всего карт n = 32, королей, дам и валетов k = 12
Вероятность выбрать короля, даму или валета: \(\mathrm< P=\frac=\frac<12><32>=\frac<3><8>=0,375 >\)

4) Каждое тасование колоды – это перестановка без повторений (см.§34 данного справочника)
Общее количество возможных перестановок: P₃₂=32!
Если зафиксировать первую карту – пиковую даму, то общее количество возможных перестановок оставшихся карт P₃₁=31! – количество вариантов колод с пиковой дамой наверху.
n = 32!, k = 31!
Искомая вероятность:\(\mathrm< P=\frac=\frac<31!><32!>=\frac<1><32>=0,03125 >\)
Ответ: 1) 0,125; 2) 0,25; 3) 0,375; 4) 0,03125.

Пример 2. В слове «КОРОНАВИРУС» наугад выбирается одна буква.
Какова вероятность, что это буква:
1) гласная;
2) согласная;
3) буква «Р»;
4) буква «Ц».

1) Всего букв n = 11, гласных букв k = 5
Вероятность выбрать гласную букву: \(\mathrm< P=\frac=\frac<5> <11>>\)
2) Всего букв n = 11, согласных букв k = 6
Вероятность выбрать согласную букву: \(\mathrm< P=\frac=\frac<6> <11>>\)
3) Всего букв n = 11, букв «Р» k = 2
Вероятность выбрать букву «Р»: \(\mathrm< P=\frac=\frac<2> <11>>\)
4) Всего букв n = 11, букв «Ц» k = 0
Вероятность выбрать букву «Ц»: \(\mathrm< P=\frac=0 >\) – невозможное событие.
Ответ: \(\mathrm< 1)\ \frac<5><11>;\ 2)\ \frac<6><11>;\ 3)\ \frac<2><11>;\ 4)\ 0. >\)

Пример 4. Деревянный куб покрасили и распилили на 1000 кубиков.
Какова вероятность, что случайно выбранный кубик имеет:
1) три окрашенных грани;
2) две окрашенных грани;
3) одну окрашенную грань;
4) ни одной окрашенной грани?

1) Три окрашенных грани будут иметь кубики на вершинах куба.
Вершин у куба 8, значит k = 8. Вероятность \(\mathrm< P=\frac<8><1000>=0,008>\)
2) Две окрашенных грани будут иметь кубики на ребрах куба, кроме вершин.
Всего ребёр у куба 12, на каждом ребре по 8 кубиков без вершин, k = 12 · 8 = 96.
Вероятность \(\mathrm< P=\frac<96><1000>=0,096>\)
3) Одну окрашенную грань будут иметь кубики на гранях куба, кроме ребер и вершин.
Всего граней у куба 6, на каждой грани по 8 · 8 = 64 внутренних кубика, k = 6 · 64 = 384. Вероятность \(\mathrm< P=\frac<384><1000>=0,384>\)
4) Неокрашенными будут k = 8 · 8 · 8 = 512 кубиков.
Вероятность \(\mathrm< P=\frac<512><1000>=0,512>\)
Ответ: 1) 0,008; 2) 0,096; 3) 0,384; 4) 0,512.

Источник